论辐射效应态氢原子电子的概率位移

马文宇

摘  要：物质产生辐射，各种元素的电子受不同辐射光子的影响都会产生康普顿效应，尽管效应的强度不同。物质元素的电子受辐射时产生了康普顿效应称为辐射效应，产生辐射效应后电子的状态称为辐射效应态。氢原子结构简单，氢原子符合波尔理论，即氢原子核外电子具有能级轨道，电子吸收或放出能量会发生轨道跃迁;同时氢原子也遵从量子力学，氢原子核外电子有波函数ψ。辐射效应态下，通过分析氢原子中电子分布的不同位置，应用玻恩概率密度理论，可以求出氢原子的电子辐射效应态沿辐射方向的概率位移。

关键词：辐射  辐射效应态  氢原子电子  概率密度  概率位移

中图分类号：G64    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）03（c）-0017-02

物质辐射时散射出粒子。物质被辐射后，物质原子中的电子会被辐射粒子撞击，电子状态发生变化。康普顿效应实验的结果是：原子的核外电子受光子的辐射，散射出的光子散失了一定的能量，传给了受击电子，受击电子有可能逸出原子，也有可能不逸出原子。根据爱因斯坦的光电效应原理，物质受到光辐射，当光辐射能hν>W（逸出功）时电子从物质原子中逸出，并具有一定的动能meve2/2，即光电效应[1]（其中h为普朗克常数，ν为光的频率，me为电子的质量，ve为受击电子的速度）。对于hν

原子的核外电子在辐射效应态，受击电子不逸出原子仍绕原子核运动。以最简单的氢原子为例，基于氢原子很好地服从波尔理论 。

1  康普顿效应的光电效应

如果受击电子获得能量足够大，即h（ν-ν'）>W，光电效应产生。

设氢原子的最大半径为rmax，即最大半径之外，电子不受原子核约束，成为自由电子。由点电荷的电场得出，电子逃逸原子的逸出功为A（ri，rmax），如果不考虑电子的自旋能、震动能，则A（ri，rmax）就是电子的逸出功。

辐射光子与氢原子的电子发生弹性碰撞，辐射光子将部分能量传递给了受击电子，之后散射出低能光子（波长较长的光子），如此，特定频率的光可以求出辐射光子传递给受击电子能量的最大值。按照康普顿效应[2]公式如下。

（1）

式中，λ、v'与λ、v分别散射出的光与入射光的波长和频率，θ为散射光子与原来入射光子方向的夹角。对（1）式两边同乘hvv'/c得：

hv-hv'（h2vv'/mec2）（1-cosθ）        （2）

式（2）即为受击电子获得的能量。对特定入射光，当散射角为π时，（2）式求得最大值，即散射光子的能量最低，入射光子传递给撞击电子的能量最多，θ=π时，即散射光子完全逆向入射方向，受击电子获得的最大能量值为Eπ=2h2vv'/mec2。Eπ>W时就发生光电效应，同时逸出电子具有动能meve2/2。引入光电效应逸出功，即：

Eπ>A（ri，rmax）                     （3）

由（2）式可知，入射光子不是将全部能量转递给了受击电子，而是传递给受击电子的能量如果大于电子的逸出功，就可发生光电效应。这时候，受击电子的跃迁为由ri轨道跃迁至rmax以外。

2  氢原子核外电子辐射效应态的概率位移

2.1 氢原子核外电子辐射效应态的概率密度及概率容

根据氢原子辐射效应下的受击电子的跃迁状态，可以求出辐射效应下的受击电子跃迁偏移，进而求得氢原子核外电子辐射效应态的概率位移。

引入玻恩理论，玻恩认为：在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的概率正比于该时刻、该地点的波函数的平方。在空间某点（x，y，z）附近找到粒子的概率与这区域的大小有关，在这一很小区域x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz范围内，波函数Ψ可以认为不变，粒子在该区域出现的概率将正比于体积元dV=dxdydz的大小，而为|Ψ|2dV=ΨΨ*dV。|Ψ|2=ΨΨ*表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率，即概率密度。因此，在量子力学中，用来描述微观粒子状态的波函数是时间和空间的单值函数。

量子力学中氢原子的波函数可以用Ψ（α，β，r）来表示。考虑到电子的势能是r（半径）的函数，采用球坐标空间某点（α，β，r）代替直角坐标空间某点（x，y，z），即x=rsinαcosyβ，y=rsinαsinβ，z=rcosα所以dV=dxdydz=drsinαcosβ·drsinαsinβ·drcosα。

事实上，辐射时氢原子的电子不是在每处都发生辐射效应，但这种效应总会发生，且频繁发生。

显然|？|2f·&右sinαcosβ就是受击电子在某一时刻某点处发生辐射效应时电子沿辐射方向的概率瞬时偏移量。如果氢原子的电子所能处的区域为V，则电子对整个空间V出现的总概率为1[3]，即：

∫v|Ψ|2·dV=1        （4）

用|Ψ|2f表示氢原子某一时刻在某点处单位体积内电子发生辐射效应的概率（概率密度），则：

∫v|Ψ|2f·dV=Ч（0<Ч<1）        （5）

氢原子某一时刻在某点处单位体积内电子不发生辐射效应的总概率则为（1-Ч）。Ч为氢原子电子发生辐射效应态的总概率，称辐射效应态因子。

|Ψ|2表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率，若dV的区域取的足够小，则单位体积的概率容为1/|Ψ|2（即单位体积内在某一时刻某点处粒子出现一次的单元格数目）。氢原子的电子所能处的区域为V的总概率容为：

N=∫v（1/|Ψ|2）·dV        （6）

2.2 氢原子核外电子辐射效应态的概率位移

用一平面将氢原子分成左右两部分。对式Ψ|2f·&右sinαcosβ进行面右积分，得到下式：

|Ψ（α，β，r）|2f·&右=sinαcosβdαdβdr  （7）

Δ右即为辐射效应态氢原子的电子在面右沿X方向的概率偏移量和。

同理可以得到辐射效应态氢原子的电子在面左的沿X方向的概率偏移量和：

Δ左=|Ψ（α，β，r）|2f·&左=sinαcosβdαdβdr  （8）

则氢原子核外电子辐射效应态沿X方向的总概率位移为Δ=Δ左+Δ左。值得注意的是氢原子核外电子非辐射效应态的总概率位移为零。

Δ氢=Δ/N        （9）

Δ氢即为氢原子的电子辐射效应态沿辐射方向的概率位移。其物理意义是，只要氢原子受到光子辐射且发生辐射效应（康普顿效应），从量子力学的概率角度看，氢原子核外电子整体存在状态具有沿辐射方向的位移。Δ氢未包含光电效应态的电子状况，由于光电效应态的电子已是自由电子。

3  结语

各种元素的电子受不同辐射光子的影响会处于辐射效应态。氫原子符合波尔理论，同时氢原子也遵从量子力学。辐射效应态下，通过分析氢原子中电子分布的不同位置，应用玻恩概率密度理论，可以求出氢原子的电子辐射效应态沿辐射方向的概率位移。

参考文献

[1] 闫学群.光电效应，量子力学—光电效应[M].北京：清华大学出版社，2015：3.

[2] 程守洙，江之永，胡盘新，等.普通物理学（下册）——康普顿效应[M].7版.北京：高等教育出版社，2016：230，252.