探析分类讨论思想在中学代数教学中的应用

摘 要：中学数学可以宏观分解成数与代数、空间与图形、概率与统计三个部分，其中代数部分知识和分类讨论思想关系极为密切。本文分析了当前中学数学中，涉及分类讨论思想的题目类型，明确这一思想在学习过程对于学生的助益效果，在此基础上研究在授课实践过程如何培养学生的这一思想，从而让学生可以具备该意识。

关键词：分类讨论思想;中学教育;代数教学

一、 引言

分类讨论思想在目前代数类题目中的使用方法有两种，一种是显性的思想使用，另一种是隐性的思想使用，后者的学习难度和使用难度显然更高。当学生具备了该思想之后，可以让学生的思维完整度提高，让学生的数学学习水平提高，此外具备分类讨论思想后，对于后续学习中的其他理科科目的学习大有助益，为学生整体的素质提高奠定了基础。

二、 分类讨论思想在中学代数题目中的常见模式

（一）显性应用模式

显性应用模式中，本质上和该思想的应用有一定的区别，通常是在题干中已经展示了该思想。比如题目是：某商品的销售过程中，单次销售量越高，则产品的单价越少。购买数量不高于100件时，产品的单价是200元/件，多于100件但是不多于300件时，产品的售价打九折。产品数量多于300件时，产品的售价打七折，某消费者分3从该经销商中采购商品，分别为100件、150件和350件时，需要提交的总货款是多少？该题目的计算过程要求学生列出分段方程，之后计算不同采购数量情况下的货款。

显性应用模式中，学生通常可以直接按照题干中的信息列出方程，之后计算各项参数，学生接触这类题目后，可以让学生具备分类讨论思想的基本应用思想。

（二）隐性应用模式

隐性应用模式要求学生解题过程自主采用分段式数据分析模式，以获取正确的结果，这类题目学生的掌握水平较差，尤其是当题目中含有“陷阱”时，题目的得分率会进一步下降。比如题目：某商品的稳定度公式为y=（100-20t）/100，其中t是该设备的运行时间（单位：千小时），而运行故障的严重程度计算方法是a=3y+6y2，其中y不可让其降低到0，最低限定值是50%，到达这一参数时要进行维修，维修后的稳定度可以达到100%，且计算公式不变。则在该设备的运行过程中，设备运行3千小时时，该设备的故障严重程度为多少？

该题目中的“陷阱”是汽车在行驶2.5千小时已经需要维修，分类讨论思想要把运行时间分成[0，2.5]、（2.5，3]两个时间段，该过程学生要自主按照分类讨论思想构建计算方程，之后带入数据计算。

三、 分类讨论思想在中学代数学习中对学生的帮助效果和教学问题

（一）分类讨论思想健全

中学数学中，题目的失分点大部分集中在分类讨论思想的使用方面，尤其是上文中提及的“陷阱”类题目，当学生不具备该思想时，自然无法正确解题。

在教学过程中，教师让学生深度掌握该数学思维，或者在考虑事务时提高思维缜密程度时，可以让学生主动找到该题目中存在的各项内容，之后充分提高学生的学习效果。

目前的教学问题是，教师通常只让学生具备显性分类讨论思想，对于隐性使用方面的介绍水准较低，显然不利于学生的后续学习过程，同时大部分的教师只是让学生记忆已经计算后题目的形式，虽然该方法可以在一定程度上视作帮助学生构建力记忆模型，但是从实际使用效果上来看，这一倾向于习题背诵的方法未能觸及学生的核心素养建设，导致学习效率、学习质量和知识使用方法掌握过程事倍功半。

（二）自主分析各项可能性

无论是中学习题解答还是日常事务的处理，中学生都要做好全角度切入，之后解决各项问题，要求学生可以自主分析可能存在的各类可能性。学生具备分类讨论思想之后，在数学题目的解答过程会先分析和询问，自主提出的问题有“该题目是否要分类讨论？”“该题目的可能结果有多少？”“该题目中是否含有‘陷阱？”等，在具备了这类“怀疑”思想之后，可以降低错误率。

目前的教育问题是，一方面由于教师只是使用显性分类讨论题目让培养学生个人能力，另一方面大量学生在该过程中未能完成可以合理使用的专业性技术，从而让学生的学习水平下降。此外分类讨论思想培养要由表及里，并非让学生面对所有问题都要陷入“题目怀疑”状态，该方法在学生初步接触思想建立过程可以使用，之后则要做到熟能生巧，目前教师使用的方法是让学生大量完成习题，不但让学生的学习负担加重，而且长期使用会让学生的数学学习热情下降。

（三）提高学生思维缜密度

数学核心素养要求学生具备人文思想、技术主动探究思想、科学性思想等，都需要缜密的思维体系支持，包括对于各类问题的自主分析能力、各项知识体系的分析能力等。当学生掌握力分类讨论思想之后，在各类事务的考虑和数学题目的分析过程中，会主动利用分类讨论思维分析所有的问题，从中获得正确的结果。

问题在于，当前教师的授课侧重点偏移问题，导致有的学生对于这一项目的管理水平严重不足，此外从作用水平上来看，学生不重视分类讨论思想，问题解决水平不符合教学过程的期望值。另外分类讨论思想本质上是一种条理性的思考和问题研究思路，学生可以形成顺序化的学习和研究结构，由于教师未能让学生夯实思想的建设基础，导致学生的思维依然趋于混乱。

四、 分类讨论思想在中学代数教学中的使用方法

（一）思想健全过程中应用

思想的健全过程，要求教师让学生具备思想的显性使用能力和隐性使用能力，以提高对于学生的培养水平。达成目的的流程是：学生综合情况分析—学生思想建设情况—教学过程的查缺补漏。综合情况分析可以研究学生是否具备对涉及分类讨论思想类题目的正确解决能力，思想建设情况分析要总结当前学生对于该思想的掌握完善程度，查缺补漏过程并非一味提高对于学生的训练量，而是采取更为高效的方法，其中综合情况的分析过程主要是通过考核的方法进行。

例如教师的考核题目：某人员要从A地到达B地，中间有三条路径，其开车出行过程考虑一个要素，即到达时间，不同的路径具有不同的特点，为方便描述，所以在时间的计算方面有不同的计算方程，当确定时间相同时，考虑该行驶过程的耗油量。时间的计算公式分别是t=x/2、t=x2/2、t=（2x2-x）/2，其中x是A地到B地的直线距离。单位时间内耗油量第一条线路最少，第二条最多，则当x的数值为1时，选择哪条路线？要选择第一条路线，则直线距离的范围是多少？学生的计算过程，第一个问题只要把数据代入即可计算，之后选择耗油量更少的路线即可，而在第二个问题中，要分别把第一条路线与第二条和第三条路线比较，并且确定选择第一条路线时含有的优势，比如对比过程中，一个优势是第一条路线时间最短，另一个优势是到达时间相同，而第一条的耗油量最少，在得到所有结果后可以获取结果。该方法让学生学会了多个分情况讨论步骤，健全了学生的思想。

（二）可能性分析中的应用

分类讨论思想特点是考虑题目中所有的可能性，之后让学生找到所有贴合要求的内容，这要求学生做到深化审题，找到题目中的所有关键点。

比如现有题目：a2，作为初中生必须掌握记忆性公式之一，必须意识到该得到的结果是|a|，而对于a的讨论要进一步确认，教师带领学生的分析过程中，采用设定a数值的方法让学生自主总结相关结果的可能性，让学生计算a=-2、-4、-8等多种情况，学生自然容易得到正确结果，之后让学生计算a=2、4和8等多种情况，学生也可以很快得到结果，之后让学生分析可以从中得到的结论，之后教师提出的问题则是，让学生分析是否有一个较为特殊的数字并未讨论，一些学生意识到该数字是0。得到结果后大量学生认为当a≥0可以作为一个集合，但是在一些题目中学生容易遗忘该特殊数字，该部分知识介绍中，可以短期内允许学生这样认知，构建出思维缜密度的培养契机。

（三）缜密度提高中的应用

缜密度的提高过程中，目的是让学生在题目的整个解答过程中都要借助该思想指导答题过程，对于一些可以通过缩窄范围得到唯一性结果的题目，教师可以按照这一讲解流程完成教育工作。比如对于上文中提及结论，教师编写的题目是已知方程：0=x2+b2x-4，得到的其中一个结果为2，其中该方程对应的函数图象不对称于y轴，求b的可能值，并说明对应图象对称轴数值属于x轴的正半轴还是负半轴。学生的解题过程中，可以使用一元二次方程的求解方法获取结果，其中一个b的可能结果是0，会导致方程的图像对称于y轴。分类讨论思想的使用过程，正负半轴视作上文结论中的范围限定条件，教师说明，若把b=0的情况纳入x轴正半轴的情况显然不正确，通过规范化知识使用思路的渗透提高学生思维缜密度。

（四）其他思想介绍中的应用

中学数学教学作为各类基础数学知识和数学基础的奠定阶段，要把分类讨论思想和其他的思想融合，包括數形结合思想、数学模型思想、“运动”思想等，其中数学模型建设可以看做是分类讨论思想的记忆基础，分类讨论思想则是剩余思想的学习基石。

对于分类讨论思想的显性使用类题目，构造的数学模型可以是从A地到B地的多种不同道路，不同道路的准入条件不同，满足要求时才可通过，对于隐性使用方法，则是自主探讨不同路径的准入条件，之后通过道路获取结果。当学生具备该模型之后，自然可以掌握分类讨论思想的使用内涵。

对于其他的各项数学思想，要经过分类讨论思想之后使用，比如对于逆向思维，题目是：已知两个方程分别为x2+2mx+6=0和（m+2）x2+4x+4=0，其中至少一个方程有实根，求取m的取值范围。教师除了让学生给出正确结果，同时要求4分钟内给出答案，学生采用分类讨论思想难以解答，则教师可以向学生介绍逆向思维算法，即至少一个方程有实根，只需要找到两个方程都无实根的情况，剩下区间中的所有数字都符合题目的要求。该方法使学生意识到，若分类讨论的情况过于复杂时要主动寻求其他算法，达到了良好的数学思想融合效果。

五、 结论

综上所述，在中学数学教学中，分类讨论思想的使用表现形式包括显性使用方法和隐性使用方法，目前的教学方法包括建设的培养思想不健全、核心素养的体现不明显等，从而导致教育水平下降。解决方法是按照科学的流程限定各类题目的要求，并强化各类数学思想的融合教育成果，以提高教学质量。

参考文献：

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[2]童海燕.分类讨论思想在初中代数教学中的应用研究[J].新课程研究，2019（3）：59-62.

[3]雷秀梅.初中数学新课教学中渗透数学思想的策略研究[D].成都：四川师范大学，2018.

[4]刘玉丹.初中生数学分类讨论方法运用的个案研究[D].南充：西华师范大学，2017.

作者简介：

郭丽霞，福建省泉州市，福建省永春美岭中学。