正项级数的收敛性问题研究

曾春花 余英

摘 要 本文对正项级数的收敛性方法进行了总结，并举例说明了这些方法在解题中的应用。

关键词 正项级数 收敛 发散

数项级数是表示函数的一个形式，也是学习数学分析和高等数学的重要组成部分，而正项级数是数项级数里最基本的级数。对于正项级数敛散性的判别是学习正项级数的的重要内容，判别数项级数的常用方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等，在文献[3，4]中对正项级数的敛散性问题进行了讨论，本文将对正项级数敛散性的判别法进行总结及其比较，并举例说明了这些方法在解题中的应用。

1正项级数收敛性的判别方法

1.1比较判别法

设和都是正项级数 且。

若收敛，则收敛;若发散，则发散。

1.2比值审敛法

若正项级数满足，则当时级数收敛;

当（或）时级数发散，当时级数可能收敛也可能发散。

1.3根值审敛法

若正项级数满足，则当时级数收敛;

当（或）时级数发散。当时级数可能收敛也可能发散。

1.4 p-判别法

设为正项级数 满足，则

（1）如果而则级数发散;

（2）如果，而则级数收敛。

1.5积分判别法

设在区间上函数且单调递减。则正项级数与积分共敛散。

1.6拉贝判别法

若为正项级数，且存在某正整数及常数，

（1）如果对一切，成立不等式则级数收敛;

（2）如果对一切，成立不等式，级数发散。

2判别法的应用

级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此如果通项不趋于0，级数一定发散。但是注意此条件是必要非充分条件，若通项趋于0的级数未必收敛，再考虑用定义或判别法来判别级数的敛散性。在判别收敛性时，要熟记一些重要级数的收敛性，如级数当时发散，当时收敛; 几何级数当时发散;当时收敛。

例1：判别级数的敛散性。

分析：首先判別此级数的通项极限是否为0。

解： 由于，得此级数通项的极限不为零，根据收敛级数的必要条件级数通项的极限必为零，知此级数发散。

例2：判断级数的敛散性。

分析：此级数容易想到用比较判别法来做。

解：当时，，而等比级数收敛，由比较判别得级数收敛。

例3：判断级数的敛散性。

分析：此极限比较法、比值法、根值法都不能判别，这时考虑积分判别法。

解：函数在非负递减，而此积分发散，由积分判别法得原级数发散。

例4：判断级数的敛散性 ， 其中。

解：当时，有，而级数收敛，由比较判别法得原级数在时收敛;当时，有，收敛级数的必要条件级数通项的极限必为零，知此级数在时发散。

例5：设函数在点有连续的二阶导数，且。试证明：

（1）若，则级数发散;

（2）若，则级数收敛。

证明：把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式，有， 介于 0与 之间，则

（1）若，则当充分大时 不变号，可认为 是同号级数，可用正项级数的判别法进行判别。有当时，，得，，由p-判别法得此级数发散;

（2）若，注意到在点连续，在点的某邻域内有界，存在正数，使得，于是，而p级数收敛，由比较判别法得此级数收敛。

3总结

当遇到判别正项级数收敛性问题时，首先考虑收敛级数的必要条件是否满足，级数的通项是否趋于零，若不趋于零级数发散。若趋于零则考虑用比较判别法，通过观察是否容易找出对比的级数;若通项里有阶乘的因式，则优先考虑用比值判别法;若通项里有次幂的因式，则优先考虑用根值判别法;最后再考虑用积分判别法等其他方法来判别。在判别过程中，需熟记一些重要级数的收敛性，对解决收敛性问题会事半功倍。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析：下册（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 同济大学.高等数学：下册（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 赵士元.正项级数敛散性的判别法[J].济南职业学院学报，2017（06）：103-105.

[4] 许绍元.一类正项级数收敛性的一个刻画及其应用[J].吉首大学学报（自然科学版），2018，3（39）：1-4.