关于分部积分计算需要注意的几点

杨迎娟　田凯利

摘  要：该文通过对高等数学中分部积分计算公式的研究，说明在分部积分计算时，除了记住“反对幂指三”的计算顺序之外，还需要特别注意的几点。将计算分部积分的题型进行分类，并且通过具体的例题说明分部积分计算的技巧和经验。进一步加深学生对概念和公式的理解，提高教学效果。

关键词：分部积分  被积函数  原函数  教学效果

中图分类号：G642    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）02（c）-0137-02

Abstract： This paper studies the calculation formula of the integral of the division in higher mathematics. Besides remembering that the order of calculation is inverse trigonometric function， logarithmic function， power function， exponential function and trigonometric function， and the points needing attention when calculating the integral of the division are explained. Through specific examples to illustrate the skills and experience of calculation of integration by parts to deepen the understanding of concepts and formulas for students and improve teaching results for teacher.

Key Words： Integration by parts; Integrand; Primitive; Teaching effect

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2020.06.137

關于分部积分计算需要注意的几点

杨迎娟  田凯利

（安徽工程大学数理学院  安徽芜湖  241000）

摘  要：该文通过对高等数学中分部积分计算公式的研究，说明在分部积分计算时，除了记住“反对幂指三”的计算顺序之外，还需要特别注意的几点。将计算分部积分的题型进行分类，并且通过具体的例题说明分部积分计算的技巧和经验。进一步加深学生对概念和公式的理解，提高教学效果。

关键词：分部积分  被积函数  原函数  教学效果

中图分类号：G642    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）02（c）-0137-02

Abstract： This paper studies the calculation formula of the integral of the division in higher mathematics. Besides remembering that the order of calculation is inverse trigonometric function， logarithmic function， power function， exponential function and trigonometric function， and the points needing attention when calculating the integral of the division are explained. Through specific examples to illustrate the skills and experience of calculation of integration by parts to deepen the understanding of concepts and formulas for students and improve teaching results for teacher.

Key Words： Integration by parts; Integrand; Primitive; Teaching effect

分部积分是不定积分计算方法中的一类重要的、基本的计算方法，它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。分部积分的主要作用是将不容易直接求出结果的不定积分通过转化为等价的容易求出积分结果的不定积分。

1  分部积分的原则

由导数公式（uv）'=u'v+uv'，积分可得。移项可得分部积分公式：或者。在进行函数的分部积分时，选取u及v'的原则：

（1）v比较容易求出。

（2）公式右边的不定积分比公式左边的不定积分容易计算出来结果。

2  计算需要注意的几点

在进行分部积分计算的时候，对于被积分的函数，一般按照“反对幂指三”的顺序，前者为u，后者为v[1]。该文对分部积分的题型进行分类，通过分类说明分部积分计算中要注意的几点。

（1）“直接分部化简”型。

例1 求。

这类题型就是直接分部化简的类型，按照“反对幂指三”的顺序，设定幂函x数作为u，三角函数作cosx为v'，计算结果为xsinx+cosx+C。同理，如果求，那就要把反三角函数作为u，x作为v'。这类题型记住被积分函数的选取顺序，直接化简积分。

（2）“循环解出”型。

例2 求。

这类题目是指数函数和三角函数乘积的分部积分，如果按照“反对幂指三”的顺序，设定作为u，作为v'。但是与第一种情形不同，选取相应的被积函数之后不能直接求解出积分结果，而是又出现一个指数函数和三角函数乘积的不定积分。这类题型我们称之为“循环解出”型，对于这类题型必须注意两次对于函数选取的类型必须一致。即对于不定积分，继续选择作为u，作为v'。此时一定要对学生强调“循环解出”类型的题目必须在两次所选取的函数类型要一致，否則会越解越麻烦。而且，这类题型也可以将作为u，作为v'。

移项，可得。

（3）“递推公式型”型。

对于含有自然数n的积分，通过分部积分建立递推公式。

例3 求。

这类不定积分含有自然数n，选择作为u，1作为v'。化简整理可得结果中含有项，即In+1。因此建立一个关于In+1与In的递推公式，从而解出不定积分的结果。这类题型有明显的自然数n，只有通过建立递推公式才能巧妙地解出。

得递推公式。已知，利用递推公式可求得In。

（4）“整体换元”型。

例4 求。

这类题型学生会出现一个常见的错误。第一步都是凑微分，得到，然后按照分部积分的题型求解，即：

移项，可得0=1。学生会问这难道是一个错题？显然这个不定积分是正常的题型，为什么会得出这样的惊人的结果？

首先，移项作两个不定积分的相减，得到结果是0，这是第一个错误，因为不定积分是原函数的全体，不是数，相减不应该为0。其次，这个类题型的正确做法是整体换元。即：

让学生学到如此简单的解法，再次感受到做题时整体考虑问题的重要性。同时让学生掌握：不是出现乘积形式的被积函数就一定要用分部积分，解题最关键的是解法简单，结果简洁。

3  结语

当被积函数是乘积的形式的不定积分，一般首先想到用分部积分公式计算。对被积函数的类型分类之后，按照“反对幂指三”的顺序，计算不定积分。但是对于其他3类的题型，计算要注意上述需要注意的几点，以免在计算的时候越算越麻烦。对于一道数学题目，要做到灵活运用合适的方法解题，需要学习过程中慢慢积累和总结。有的时候需要将分部积分和换元法结合使用，例如不定积分的求解，可以先分部积分再换元，也可以先换元再用分部积分。引导学生尝试两种方法来解题，让学生体会不同解法的利弊，归纳总结出属于自己的知识点。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 周明儒.高等数学[M].南京：南京大学出版社，2005.

[3] 余显志.不定积分分部积分法教学小记[J].课程教育研究，2019（19）：127-128.

[4] 李东方.浅谈不定积分的计算方法[J].科技风，2019（25）：68.