构造函数法在高中数学导数求解中的应用探寻

林丽珍

摘要：在对高中生进行数学教学时，其导数教学就占有较大比例，同时导数问题也是历年高考的必考题。因此，如何对学生进行有效导数教学，提升学生的导数求解能力已成为所有高中数学教师重点研究的教学问题。基于此，本文对构造函数法在高中数学导数求解中的应用进行探寻，希望可以为提升学生的导数求解能力提供一些帮助。

关键词：构造函数法;高中数学;导数求解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2020）04-0-01

想要提升学生的导数求解能力，就需要学生熟练掌握函数的导数公式以及各种运算法则，因此就需要高中数学教师能够在对学生进行导数教学时融入构造函数法，不但能够增强学生的记忆，以及了解公式的重要性，同时还能够帮助学生找到正确求解导数问题的方法，进而提升学生的学习效率。

一、构造函数法在导数选择题以及填空题求解中的应用

1.利用導数公式构造函数

高中生在进行导数学习的过程中，经常会遇到这样一道题：f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为偶函数，如果x<0，那么就存在f（x）g（x）+f（x）g（x）>0;同时已知g（-3）=0，最后让学生求f（x）g（x）<0的解集。当高中数学教师在这道题进行讲解使，可以引导学生从f（x）g（x）+f（x）g（x）>0以及推导出的f（x）g（x）<0入手，通过对导数乘法公式进行联想构造出函数h（x）=f（x）g（x），最后结合函数的奇偶性就可以求出最后的结果为{x|x<-3或0

如果将上面的题进行变式，变为：f（x）是R的一个可导函数，如果x≠0，那么就会有f（x）+>0，最后求g（x）=f（x）+1/x有多少个零点。当高中数学教师在对这道变式题进行讲解使，依然可以引导学生采用构造函数法进行求解，首先由题意可以推导出f（x）+=，通过对这个式子进行观察发现可以构造函数为h（x）=xf（x），那么就可以得到h（x）在（-∞，0）上时应该为减函数，h（x）在（0，+∞）上时应该为增函数，那么就可以轻松得到其在x=0时是唯一极小值，即g（x）的零点就是h（x）的解，也就是说h（x）=xf（x）=-1，所以最后可得g（x）=f（x）+1/x有2个零点[1]。

2.利用所求直接构造函数

在求解导数选择题或者填空题时，除了利用导数公式构造函数以外，还可以直接用所求构造函数。例如有这样一道函数问题：函数f（x）在的定义域是R，并且这个函数在定义域上满足条件f（1）=3，已知f（x）的导数为f（x）<2x+1，最后求不等式f（2x）<4x2+2x+1的解集是什么。

由于数学教师已经教会了学生在进行导数求解时可以利用构造函数法进行求解，学生在进行这道题求解时就会直接将f（2x）-（4x2+2x+1）设为h（x），进而求出导数h（x）的公式为2[f（2x）-（2×2x+1）]，最后由已知f（x）<2x+1可以得到h（x）<0，h（1/2）=0，最终求解的结果为{x|x>1/2}。但是，这种方式并不是最简单的求解方式，因此数学教师在对这道题进行讲解时应该对学生进行正确引导，通过对导数问题进行详细分析可以发现，已知题干中提到的f（1）=3和f（x）<2x+1更具有代表性，可以据此构成一个特殊函数：h（x）=x2+2，然后将这个函数带入到所要求解的不等式中。这时学生会发现这种方式比自己求解时所用的方式更简单。也就是说，数学教师在进行导数求解教学时，应该引导学生对问题进行仔细观察，并且能够掌握小题小做的解题方式[2]。

二、构造函数法在导数解答题求解中的应用

上面讲解了构造函数法在导数择题以及填空题求解中的应用，下面探寻关于该种方式在导数解答题求解中的应用。解答题不同于选择题和填空题，在对其进行求解的过程中需要根据解答题的需求进行构造函数，因此在实际教学过程中，数学教师应该引导学生对导数解答题进行观察和分析，进而为接下来进行求导做好铺垫;同时数学教师也要引导学生进行总结、联想和归纳，比如关于x以及lnx运算就是常用的构造函数法，也就需要学生能够在求解过程中不断掌握技巧和重点。

例如，学生在进行导数解答题求解时，会遇到这样一道题：假如L是曲线C：y=在点（1，0）处的切线，最后需要学生求出L的方程以及对曲线C除（1，0）外在直线L下方进行证明。在解题的时候，学生可以根据题意轻松求得L的方程，即y=x-1。但是在进行证明时却出现了分歧，有的学生选择直接构造函数，即令h（x）=x-1-f（x），依据题意可以得到h（x）>0，而且h（x）满足h（1）=0，据此可以求出h（x）的导函数，也就能够求出h（x）的单调性，进而得到h（x）>h（1）=0（x>0，x≠1），从而得到证明;有的学生是在等价变形之后进行构造函数，也就是将h（x）>0变形成x2-x-lnx>0，并记成t（x）=x2-x-lnx，也就可以求出t（x）的导函数为2x-1-1/x，进而求出当01的时候，t（x）>0，所以t（x）在区间（1，+∞）上应该是单调递增函数，也就是t（x）>t（1）=0[3]。

面对这种情况数学教师应该对学生进行正确指导，使学生明白两种求解方式的差异，进而帮助学生养成在进行导数求解时“处处化简”的思维习惯，进而有效提升学生的做题效率。

结语

利用构造函数法对学生进行高中数学导数教学，不但能够帮助学生理解导数问题不同层次的含义，同时还能够激发学生的联想能力、引申能力以及活跃学生的数学思维，使学生找到正确的解决数学导数的帮助，进而激发学生对数学导数的学习兴趣，促使学生逐步提升自身解决问题的能力，推动学生更好的进行数学学习。

参考文献

[1]孙云涛.解析构造函数在高中数学解题中的应用[J].中学数学，2019

（19）：33-34.

[2]邓启龙.构造函数法在与导数有关的不等式问题中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（07）：8-10.

[3]何婷.构造函数求解高中数学问题[J].科学咨询（科技·管理），2018

（06）：144.