建筑荷载下老采区地表残余变形判别的状态空间方法

朱广轶，孙传博

(沈阳大学建筑工程学院，辽宁 沈阳 110044)

0 引言

煤矿老采区地表面积巨大，利用前景广阔[1]。老采区地表建筑物如何建设取决于老采区的稳定性。如何判断老采区是否会“活化”即地表是否产生残余移动变形，这是目前研究的热点。针对老采区“活化”的原因，结合前人研究[2]，提出以下4种类型：

(1)老采区受到采动破坏的顶板在上覆岩层的自重荷载作用下，围岩发生存在蠕变。

(2)受地下水的渗透作用，岩体力学性质发生改变，产生残余变形，砌体梁结构强度衰减并在上覆岩层自重荷载下产生再压实。

(3)由于压密区破碎岩体和支撑压力区煤柱的强度衰减,造成处于相对稳定状态的老采区上覆岩体砌体梁结构二次失稳变形。

(4)受外力作用，老采区上覆岩体结构发生二次失稳变形，这些外力主要包括：地震力、区域地质构造活动引起的构造应力、附近采动或爆炸造成的扰动作用力、地面新建建筑物的附加荷载作用等。

前3种情况移动变形非常缓慢，可采用地表残余变形预测的方法进行计算，朱广轶等[3-4]研究了老采区上方地基稳定性的评价方法，提出的地表残余变形预测方法弥补了规程空白。能够在短时间内对老采区“活化”造成决定性影响的是地表建筑物附加荷载扰动作用引起的老采区顶板覆岩结构的二次失稳，这可以归结为地表新建建筑物荷载附加应力造成的老采区地表残余移动变形问题。诸多学者通过多种方法对其进行了研究，滕永海等[5]提出了以建筑物荷载影响深度与老采区导水裂缝带发育高度不相互重叠来确定建筑物的层数;张俊英等[6-7]通过相似材料模拟实验及数值模拟方法，得到了老采区地表新增荷载与老采区上方覆岩的相互影响关系; 海龙等[8]采用物理模拟的方法揭示老采区新建建筑的选址准则和荷载标准；LI LIANG等[9]基于相似材料模型提出了关键层和采矿扰动对建筑荷载附加应力扰动深度的影响；XU PING等[10]通过数值模拟研究了地层结构及上覆岩层与建筑物荷载附加应力影响深度的关系；任连伟等[11]基于工程实例提出了一种新的老采区地基荷载影响深度判别准则；LIU Z X[12]等通过对老采区地表建筑密集度的研究，提出了建筑建筑群多重压力对附加应力扰动深度的影响。

目前，对由建筑荷载造成的老采区地表残余移动变形问题进行判别时所采用的建筑荷载附加应力影响深度计算方法未能考虑到老采区上覆岩层的分层特性与竖向非均质性，故应在计算中考虑到地基成层性的影响。本文采用状态空间理论，着重分析了具有成层特性的上覆土层对老采区地表残余变形判别方法的影响。

1 老采区残余移动变形判别

现行规程认为停采3～5年后，老采区地表已稳定。实际上煤层停采后留下的老采区边界处依旧存在未压实的空洞，覆岩结构(图1)并未完全稳定，当其受到外界因素如新建建筑物荷载的影响，且承载能力不足以承受来自上部的建筑荷载引起的附加应力时，老采区断裂带会发生进一步破坏，产生老采区“活化”现象，即地表残余移动变形。

图1 老采区覆岩结构Fig.1 Old goaf strata structure

建筑物荷载影响深度、导水裂缝带发育高度与老采区埋深之间的关系(图2)是确定建筑荷载引起的附加应力能否导致老采区地表发生残余移动变形、新建建筑物地基是否稳定的重要判别标准。

图2 建筑物荷载影响深度与导水裂缝带的关系Fig.2 Relationship between depth of influence of building load and water-conducting crack zone

如图2所示，若建筑物荷载影响深度未进入老采区导水裂缝带，则新建建筑物不会引起老采区“活化”，老采区与建筑物都将处于稳定状态；若建筑物荷载影响深度进入老采区导水裂缝带，新建建筑物将引起老采区导水裂缝带进一步发育，导致老采区与建筑物均处于不稳定状态并发生残余移动变形。

1.1 建筑荷载影响深度计算

建筑物荷载影响深度主要取决于建筑荷载的大小和地基土的物理力学性质，通常根据建筑载荷与地基自重间的相互关系确定。地基中应力主要包含两部分：地基土层的自重应力和建筑物荷载附加应力。根据《煤矿老采区岩土工程勘察规范》[13]、《建筑地基基础设计规范》[14]，当土层中有高压缩性土或其他的不稳定因素(如下伏老采区) 时，建筑载荷影响深度应按建筑物载荷附加应力等于相应深度处地基土层总自重应力的10%进行计算(图3)。

图3 地基中应力分布Fig.3 Stress distribution in the foundation

地基土层的自重应力为:

(1)

式中：n—地基土层数;

γi—第i层地基土容重/(kN·m-3)；

hi—第i层地基土厚度/m。

1.1.1基于线弹性半无限空间模型的附加应力Boussinesq解[15]

对于矩形基础建筑物，深度为z处的建筑物载荷附加应力σzB按Boussinesq方法计算时公式为：

(2)

式中：P—建筑物自重均布荷载/MPa；

L—矩形基础的长度/m；

b—矩形基础的宽度/m；

n=L/b，m=z/b。

Boussinesq 地基模型把地基假定为连续均匀各向同性半无限弹性体，该模型考虑了基底压力的扩散作用，比 Winkler 地基模型更为合理，但该其没有考虑到地基土的分层特性以及土体应力-应变关系的非线性等重要因素，故计算结果往往不能符合地基的实际情况[16]。

1.1.2基于状态空间理论的附加应力传递矩阵解

状态空间理论是通过描述系统内部变量的变化来揭示整个系统输入、输出的变化，国内外许多专家学者将该理论应用于弹性层状体对象的研究当中[17-19]，本文将老采区上部层状土层视为横观各向同性的弹性体系统，将其中连续传递的应力与位移即u(x,y,z)、v(x,y,z)、w(x,y,z)、σz(x,y,z)、τzx(x,y,z)、τzy(x,y,z)等物理量视为状态空间，记为Zh，初始状态向量沿地基向下传递，通过传递矩阵将各层物理量的变换联系起来，再根据连续条件与边界条件推导出由传递矩阵表达的建筑荷载附加应力影响深度解析式(图4)。

图4 横观各向同性半空间地基系统Fig.4 Transversely isotropic half-space foundation system

将老采区上部土层的应力平衡方程、位移应变方程、弹性力学物理方程[20]进行形式上的变换，得到一个偏微分方程组：

(3)

(4)

式中：u、v、w——x、y、z方向的位移/m；

σz——z方向应力/MPa；

τyz、τzx——切应力/MPa；

μ——泊松比；

GN——各土层剪切模量/GPa；

对式(3)两边做双重Fourier变换将力学方程转化为状态空间方程：

(5)

(6)

根据常微分方程理论将上述方程表示为:

Rz(ξ,ζ,z)=eBzR0(ξ,ζ,0)

(7)

其中eBz是矩阵指数函数组，令其特征方程的根为λ2=ξ2+ζ2，根据Cayley-hamilton定理可得eBz中各元素表达式。

假设连续条件为上下两土层在接触面上的应力和位移皆完全连续，得N层地基总传递方程为：

RN(ξ,ζ,hN)=Π1R0(ξ,ζ,0)

(8)

由实际情况给出以下边界条件：

(9)

(10)

(11)

由以上连续条件、边界条件及式(8)展开可得下式：

(12)

由式(8)、式(12)可以导出建筑物荷载附加应力在地基中深度为hn处的计算公式(式(13))，对式(13)进行Fourier逆变换即可得到附加应力的解析式(式(14))：

对每种直径的泄漏孔，先计算泄漏孔面积，再计算理论泄漏率。公共管廊区以最低的等级计算，泄漏流量减少系数为0，计算结果见表8所列。对于泄漏孔来说，直径为25 mm的泄漏孔泄漏类型为连续泄漏，直径为219 mm的泄漏孔泄漏类型为瞬时泄漏。

(13)

(14)

式(14)为振荡型Fourier积分，逆变换方法采用求解振荡积分的Moment-free Filon型方法，求解方法可参考文献[21]。

1.2 导水裂缝带发育高度判断

导水裂缝带包括冒落带和裂缝带，受新建建筑物荷载影响时，类似砌体梁结构的断裂带受损岩层极易产生进一步破坏与失稳，进而诱发建筑物地基出现较大的不均匀沉降甚至出现塌陷漏斗、塌陷坑等工程事故，使老采区发生“活化”，极大影响建筑地基稳定性且会使老采区产生残余移动变形。

根据《煤矿老采区岩土工程勘察规范》[13]，以建筑物荷载影响深度不进入老采区导水裂缝带为判别条件，由式(1)、式(14)可知，老采区地表建筑物地基安全影响深度计算方法及老采区地表残余移动的变形判别依据为：

(15)

hN

(16)

式中：Hmin——最小采深/m；

Hli——裂隙带最大高度/m；

Hk——冒落带最大高度/m；

D——地基埋深/m。

2 实例验证

2.1 数值计算

鹤岗市某小区拟建地面7层住宅楼，住宅楼长60 m，宽45 m，建设地点位于老采区内，该采区开采历史久远，根据本区域地质资料及勘探情况得知，拟建建筑物正下方为22#煤层，停采已超过50年，煤层开采厚度为2.1 m，老采区上部土层物理力学参数见表1。

表1 土层物理力学参数

将采空区地表拟建造的7层住宅楼荷载等效为矩形均布荷载P，取P=200 MPa，荷载分布长度取L=60 m，荷载分布宽度取b=45 m。由表1可知，老采区上覆岩层考虑坚硬覆岩，对冒落带及裂隙带的发育高度计算釆用以下公式[13]：

(17)

(18)

式中：∑M—煤层开釆总厚度/m。

采用Boussinesq解与状态空间解两种方法对附加应力大小进行计算，计算结果见表2。

表2 地基中应力计算结果

2.2 数值模拟验证

采用FLAC3D软件对老采区上部建筑物附加应力影响深度进行模拟验证，将老采区视为水平，倾角取0°，模型尺寸为200×200×55，均分为550 000个单元，在模型顶部中央施加P=200 MPa，模型各项参数选取见表1。地基中建筑物荷载附加应力云图如图5所示。

图5 FLAC3D竖向应力云图Fig.5 Vertical stress cloud

2.3 结果分析

图6为Boussinesq解、本文解及数值模拟验证结果所得应力值与老采区上部土层自重应力随深度的变换曲线。

图6 地基中应力变化曲线Fig.6 Stress curve in the foundation

由图6可以看出，本文所采用的附加应力状态空间解与传统的Boussinesq解在地基上部较为吻合，采用状态空间解计算得到的附加应力影响深度约为-30 m，采用数值模拟得到的附加应力影响深度约为-26 m，采用Boussinesq解得到的附加应力影响深度约为-43 m。

当深度超过-26 m后，Boussinesq解与本文解应力衰减速度出现明显差别且差别愈来愈明显。经分析，两解出现差别的原因主要在于本文解计算中考虑了地基中土层的物理性质和成层性，尤其是硬岩层的影响使建筑物荷载产生的附加应力产生快速衰减，该结果与通过FLAC3D软件进行模拟验证得出的数据相接近，也与文献[9]的相似材料模拟试验所得结论较为符合，这是由于三者皆考虑到了老采区上部土层物理力学性质的影响，反映出本文解的合理性。

由式(16)、(17)、(18)可知该老采区hn> 55 m，已超过老采区最小采深，故该老采区在新建建筑物附加应力影响下会产生残余移动变形，不建议进行工程建设。

3 结论

针对老采区地表残余移动变形问题，本文基于状态空间理论提出了一种新的判别方法，并通过实例验算与数值模拟验证的方式进行了分析，得出以下结论：

(1)地表新建建筑物附加荷载扰动作用引起的老采区顶板二次失稳是各类导致采空区残余移动变形因素中所需时间最短、影响程度最大的一种。

(2)基于状态空间理论的判别依据能够反映出土层的分层特性对附加应力传递深度的影响，当建筑物荷载的附加应力在传递过程中遇到硬岩层时会产生快速衰减，使老采区的安全高度有所增加。

(3)传统的判别方法没有考虑到老采区上部土层的分层特性，缺少合理性，这不但可能造成工程上的安全隐患，也可能造成设计上的资源浪费。与传统方法相比，本文提出的判别方法能够更加细致的判别出老采区是否会产生残余移动变形。新方法弥补了传统方法计算地基中应力-应变问题时局限于线性变化的缺陷，更加符合工程中的实际问题。