基于傅里叶热传导定律[1]关于高温工作服装的设计

高艺倩

（三峡大学 电气与新能源学院，湖北 宜昌443000）

随着科技的发展，人们生活水平的提高离不开各个岗位的工作人员的付出。再艰巨的环境都要完成任务，比如在高温环境中工作时，人体会出现一系列的生理功能改变，这些功能在一定范围内可有幅变化，但若超过限度就会产生不良影响，所以热防护服就成为了防护高温的重要方法之一。热防护服是指在高温中穿的促进人体散发热量的、防止热中暑、烧灼伤等的具有防护功能的服装，除了要有较好的阻燃性，而且要有较高的隔热性能。其原理是减缓热量的转移速度，使热量在人体皮肤上尽少积聚，以保证不被烧灼伤。

1 基于傅里叶热传导定律的算法

在dt 时间内，沿着某面积元ds 的外法线的方向流过的热量dq→和这个面积元两侧的温度的变化率∂u/∂n 成正比，两者的比例系数为W。由于在自然条件下的温度是处于减少的趋势，故在等式的右边有个负号，如下所示：

在上述式子中间的W 为导热系数（单位为W/m2），e→n是该面积元的外法向量。

在对于一个封闭的体积元Ω 的时候，dt 时间内它内部的热量变化为dQ 通过对体积元的闭合面积分，得到以下式子：

得到上述式子之后，再进一步地对时间进行积分，这样就可以得到从t1到t2时刻流入体积元内部的热量Q1，再由高斯公式可以的得到以下式子：

我们在初中的时候学过类似的热力学公式，为某一物体吸收的热量等于这个物体的质量、比热容和温度增量的乘积。根据上述热力学公式我们可以得到以下公式：

变形得到上述式子之后可以根据热量守恒得到化简以后的式子：

如果在物体的内部是存在热源的，那么在dt 的时间内，在（x，y，z）地方的体积元内所产生的热量就是F（x，y，z，t），所以同样地，我们很容易地就得到了含有热源的热传导的Poisson 方程，如下所示：

但却存在一种情况，就是在边界绝热的条件下，如果内部有不灭的热源是没有办法达到热平衡的。如此以来，我们的热传导方程便全部都建立起来了。

三维转一维化思想

在实际生活中，热量的传递是沿着各个方向的，但是在解决问题的时候，为方便分析计算问题，就会将三维的空间转换为一维以后再进行分析。

图1 将三维流动过程一维化

将三维流动的过程一维化思想的核心就是利用等效的方法，直接对截面进行研究，将界面的各个因素都统一地归到一个点的地方，由此得到整个流体的模型其实就为线性分布的点集，这样就能够由研究点和点之间的关系而得到整个为柱形的流体的实际湿度分布情况了。

经过对问题一的分析后能够知道，高温作业专用服装（也就是防热服）的结构有四层，分为Ⅰ层、Ⅱ层、Ⅲ层和Ⅳ层，外界的温度一直为348.15K 不变，服装的初始温度为最开始的298.15K，高温工作专用衣服各层材料的温度会通过热传导的方式改变温度。

每个材料层都有热传导率Wi（i=1，2，L，5）。在问题一中，需要分析当外界温度传入拥有四层不同材料的防热衣的规律，需要求各个层的温度分布[2]。

由于在服装里面各层的材料是均匀的，所以，将需要分析的热传导方程从三维归为一维的方程来进行研究。所以每层材料都能够化为一维热传导方程，如下所示：

其中，ui为需要求解的第i 个材料层的温度分布；Wi、ci、ρi为此层材料的传热系数、比热和密度，以上几者都为已知的常数，并且：

由模型假设二可知在层与层界面之处的传导率处于平衡的状态，并且温度相等，即：

以上述分析为基础，将第Ⅳ层假设为空气层（W5是其传热系数）的情况下，所建立的热传导微分方程模型为：

当i=1，2，3（也就是在分析前三层）的时候，由于温差较小，所以不需要考虑到热对流的影响。当i=4（也就是在第Ⅳ层）的时候，由于温差较大所以要考虑到热对流的影响。并且在上式中的q 表示的是热对流产生的影响。运用附件二中测得的每一秒中的假人皮肤表面的动态温度作为每一秒皮肤的温度。

对于傅里叶热传导定律我们采用的是傅里叶变换法[2]，也就是对方程和初始条件做关于x 的值取傅里叶的正弦变换，记为：

再次对上述式子的两端取傅里叶正弦逆[3]变化，对于原问题的解就如下所示：

2 基于傅里叶热传导定律算法的结果

经过了以上的问题分析、模型建立与算法实现，我们可以得到0.1-15.2mm 每一小段在0-5400s 中每一秒时间的温度。在此取每种材料之间的零界点作为例子在下列表格中列举出来，在5400s 中以900s 为间隔时间，取得在7 个时间点的温度，问题一具体的结果如表1 所示。

上面的表格就为问题一最终答案中的4 个节点在7 个时间点的温度。由表中的数据可以知道材料层越靠里，温度达到稳定需要的时间就越少、温度越低、更容易趋于稳定。将上述表格中的结果用图表的形式表示出来，如下图2 所示。

表4 问题一结果表示表

图2 节点温度变化趋势折线图

将上述表格里的数据用图表表示出来，如上图所示，当时间为0s 的时候，服装内部的温度都为常温25℃，四条折线分别代表的是四个节点，距离越大温度越低，达到稳定的时间越小。

将一维热传导方程解的图像拟合出来，得到温度、时间与空间这三者之间的关系与不同时间段空间与温度之间的关系曲线。拟合出来的图像如图3 所示。

图像中颜色的渐变代表着温度的变化，颜色越暖则温度越高，颜色越冷，则温度越低。图像中不同颜色的线代表的是不同的时间段，曲线越高温度越高。由上面的图像能够得到随着时间的增长温度增高、随着厚度的增加温度降低。

3 基于傅里叶热传导定律算法的改进

在比较复杂的物理系统中，为了描述出系统的稳定性，我们通常采用微分代数方程组去实现，在文中我们给出了某系统的微分代数方程组，并且运用MATLAB 仿真系统，利用文中的局部参数化的微分变换法，就可对方程进行求解。

在给定的某物理系统的微分代数方程组，分别将其编号为1-5，运用文中局部的参数化微分变换法进行运算，比较在仿真的实验中的计算结果（y1，y2，y3）和文中的方法算出的数据结果（y1，y2，y3）的差异。

利用局部参数化微分变换法对文中的5 组微分代数方程组进行计算，并且将计算出来的数值结果和仿真实验结果进行对比，对比后就能够观察出每一组的数据的误差肯定是非常的微小，基本上和实验出来得到的结果是一样的，如果最后算出来的数据是符合误差范围的，那么那个结果就是有效的。

4 于傅里叶热传导定律算法改进的效果

图4 给出的是局部参数化微分变换法计算出来的数值和仿真实验中计算出来的数值吻合的程度曲线图。

图4 方程组计算数吻合率

由图4 可以观察出，在比较了用局部参数化[4]的微分变换法[5]得出的数据之和用仿真实验计算出来的数据之后，可以观察到用两种方法计算后得到的结果相符程度几乎接近95%，则说明两者均为有效方法。

在同样的情况下运用仿真实验进行求解，求解后的结果如表2 所示。

表2 仿真结果结果表示表

上表表示的是由仿真实验算出的最终结果，经过对结果的分析，同样地能够得到当厚度为9.2mm 的时候最先符合题目条件并且保证在符合约束条件的情况中厚度为最薄。

将改进之后得到的结果与之前的局部参数微分变换法得到的结果进行对比，得图5 两个对比图。

图5 两种模型结果对比图

5 结论

为了最后结果的准确性，将逐个分析厚度为0.1mm 的小段，最初四层的初始温度都等于室温。利用傅里叶热传导定律将热传导转换为方便计算的方程，再进行计算，计算方法为：将接触外界的小段在0-5400s 中每一秒的温度求出，将求出的每一秒的温度当作是第二个小段的最开始接触的温度，求出第二个小段在每一秒的温度，依次类推。注意在计算层与层之间的临界点的温度时需要变换材质的密度。由上述计算方法便可以得到四整层中每个小段分别在90 分钟内每一秒的温度分布，最后对结果进行准确度检验。