新型教与学优化算法及其在需水预测中的应用

陈永政

(重庆工程学院软件学院, 重庆 401320)

近年来，城市规模的不断扩大和居民生活用水的增加导致城市供水量持续增长。准确的城市需水量预测是城市供水优化调度、供水管网安全稳定运行的重要环节[1-2]。常规的回归分析需水预测法要求建立预测量与影响因素之间准确的机理模型，大量的线性化处理易降低模型精度。极限学习机(extreme learning machine,ELM)是改进的前馈神经网络，因其易获得更优的预测效果而得到广泛应用[3-4]。大量研究表明，采用随机方式初始化输入层权值和隐层偏置参数易使部分隐层节点无效而降低模型性能。文献[5-6]指出采用群智能优化技术解决ELM模型参数选择是一种有效措施。

教与学优化(teaching learning based optimization, TLBO)算法是一种模仿知识传播自然现象的优秀群智能优化算法[7]。因其具有结构简单、实现方便、收敛速度快等优点，近年来受到越来越多的关注，并已成功应用于工程优化问题的求解[8-9]。与大部分群智能优化算法一样，TLBO算法仍存在收敛精度低、易早熟收敛陷入局部最优等缺陷。针对上述问题，文献[10]在TLBO算法中采用了线性递减的惯性权值和自适应精英交叉算子并取得了较好效果。文献[11]采用TLBO-DE方法增强TLBO算法的性能，将其用于Elman神经网络的优化，并在质子交换膜燃料电池模型参数辨识中成功应用。文献[12]提出了协同进化TLBO算法，并在求解约束优化问题上取得良好效果。

为进一步提升TLBO算法的全局优化性能，提出一种高效的TLBO算法(effcient TLBO,ETLBO)。在ETLBO中，通过双种群混洗策略将种群分成两组，其中一组按照标准TLBO算法进行学生成绩的提升，另外一组通过老师单独对最差学生进行教学过程，两组完成预先定义的迭代次数后进行全局融合信息交换，快速实现全局最优。4个典型的数值函数优化实验验证了ETLBO的优越性。最后，利用改进的ETLBO算法优化选择ELM模型参数，并构建ETLBO-ELM城市供水预测模型。以1980—2017年上海市供水预测为例，仿真结果验证了模型的有效性，进一步表明ETLBO算法的改进是成功的。

1 教与学优化算法

在教与学优化(TLBO)算法中，学习成绩最好的个体被当作老师，老师通过自己的努力来提高班里的平均成绩；班里的学生除了跟老师学习外，学生与学生之间进行交流，取长补短，共同进步。TLBO算法有两个重要的阶段，即教学阶段和学习阶段，描述如下：

(1)教学阶段。在教学阶段，学生将根据老师的教学操作学习和更新他们的知识。

i=1,2,…,N

(1)

(2)学习阶段。学生通过与任意选择的第k个学生Xk交流、讨论等相互作用以提升自身成绩。

(2)

式(2)中：ri为[0,1]随机数；f(Xi)为第i个学生成绩，即适应度值。

2 ETBOL算法

TLBO的优势在于善于利用已知信息(当前最佳解、平均解等)在当前最优解附件探索最佳解决方案。然而，在处理复杂函数问题时，TLBO易发生早熟收敛并陷入局部最优。为提高算法全局优化性能，提出一种高效的TLBO算法ETLBO。在ETLBO中，采用双种群混洗策略，通过局部搜索和全局信息交换机制获取更优解决方案。

2.1 双种群混洗策略

双种群混洗策略的基本思想是：班级学生按照成绩划分为具有相同数量的2个小组，每一个小组执行各自教学任务。每个小组在完成一次教、学任务后，将2个子群混合进行经验交流，完成全局信息交换。局部教学与全局信息交换使TLBO算法具有优良的全局搜索能力。

双种群混洗策略数学模型描述如下：在学生数量为N=2×n，在可行解空间生成N个学生{Ui,i=1,…,N}。将所有学生按照学生成绩f(Ui)从大到小排列，按式(3)将学生划分成2个小组X1和X2，每个小组中有n个学生。具体方法为第1个学生分到第1组，第2个学生分到第2组，第3个学生分到第1组，如此下去，直到划分完毕。

Xk={Xi(k),f(Xi(k)|Xi(k)=U(k+2(i-1)),

fi(Xi(k))=f(U(k+2(i-1))),

i=1,…,n;k=1或2}

(3)

在子群X1中，按照标准TLBO进行迭代优化。在子群X2中，按照式(4)进行迭代优化。

(4)

X1和X2两个小组执行预定义次数的局部搜索后，将X1和X2再次合并到U中，并重新排序，更新最优位置Xg，然后重复执行局部教学与全局信息交换，直到满足终止条件为止。

2.2 ETLBO性能测试

为了测试ETLBO算法的优化性能，采用表1中4个经典函数进行测试，其中f1(Sphere)、f2(Schwefel1.2)为单峰高维函数；f3(Ackley)、f4(Griewank)为多峰高维函数。将ETLBO与标准TLBO、人工蜂群(artificial bee colony, ABC)算法[13]、万有引力搜索算法(gravitational search algorithm, GSA)[14]进行对比。种群规模均为40、最大迭代次数为1 000、优化维度分别设置为10、30和50；ABC算法中，Limit为200；GSA中，引力常数G0=100、系数α=20。每个测试函数独立运行30次，其平均值(Mean)和反映算法稳定性的标准差(standard deviation, S.D.)记录在表2中。

表1 测试函数Table 1 Test function

表2 4种算法性能比较Table 2 Performance comparison of four algorithms

注：加粗显示的数据为最优值。

从表2可以看出，ETLBO算法是4种算法中性能最优的，尤其是针对复杂函数f1和f4，ETLBO搜索到最优解0。观察标准差(S.D.)指标可以发现，除了ETLBO均为0外，其余3种算法大部分情况均为非0，且随着维度由10到50变化中，S.D.指标呈现增加的趋势，表明ETLBO算法更稳定。相比TLBO、ABC和GSA算法，TLBO性能略胜一筹。比较ETLBO和TLBO，在10、30和50维下，ETLBO精度均是最高的，平均值指标最小，尤其是针对单峰测试函数f1，TLBO由1.699 0×10-222、8.016 0×10-211、1.793 5×10-209提升到0，优化精度显著提升；在求解复杂多模态Griewank函数时，在50维情况下，TLBO由1.59×10-2提升到0。综上，ETLBO算法在优化性能上取得了较大提升。

3 城市需水预测

3.1 极限学习机及其优化模型

极限学习机(ELM)是单隐层前馈神经网络的一种变体，典型结构如图1所示。ELM通过输入权重和偏置计算得到相应的输出权重，学习速度快。

图1 ELM典型结构Fig.1 ELM typical structure

ELM学习的目标是使得输出的误差最小。

(5)

式(5)中:S=(ωi,bi,i=1,2,…,M)，包含了网络输入权值及隐层节点阈值；β为输出权值矩阵；oj和tj分别为样本j的模型输出与实际值。

ELM的训练目标就是寻求最优的S、β。min[E(S、β)]可进一步描述为

(6)

(7)

在ELM算法中，输入权重ai和隐层偏置bi一旦确定，隐层的输出矩阵H就被唯一确定。因此，单隐层神经网络的训练转换为线性系统的求解为

(8)

式(8)中：H-1是矩阵H的Moore-Penrose广义逆。

3.2 需水预测

以上海市自来水供水为例，表3给了1980—2017年上海市自来水供水总量，数据来源于上海市统计年鉴。随机选取34组样本中的30组为训练样本，余下的4组用来测试算法性能。在进行模型训练之前，样本数据通过下式进行归一化处理。

(9)

表3 上海市自来水供水总量Table 3 Total amount of water supply in Shanghai

图2和图3给出了ETLBO-ELM供水总量和预测绝对误差。表4给出了4组测试样本的模型性能指标。从图2可以看出，ELM模型的需水预测曲线与真实值曲线的变化趋势一致，针对后4组测试样本ELM预测值存在一定偏差；经过ETLBO优化后的ELM模型预测值几乎与真实值完全重合，预测效果明显优于ELM模型。从图3预测绝对误差曲线中可以看出，ETLBO-ELM模型的误差总体上小于ELM模型，进一步验证了ETLBO算法优化模型参数的有效性。从表4可以看出，ETLBO-ELM模型的预测结果更加接近真实值，其最大绝对误差为0.22，而ELM最大绝对误差为1.02，且针对4个测试样本，ELM模型的绝对误差均要大于ETLBO-ELM模型。从相对误差指标来看，经过ETLBO算法优化后，误差指标由3.21%、2.34%、2.40%和2.29%提升到0.47%、0.32%、0.44%和0.71%，效果明显。综上所述，ETLBO具有较强的竞争优势，优化模型ETLBO-ELM的城市需水预测效果更为理想。

图2 需水预测结果Fig.2 Prediction results of water demand

图3 需水预测误差Fig.3 Prediction error of water demand

表4 模型性能指标对比Table 4 Comparison of model performance indexes

4 结论

针对教与学优化算法收敛精度不高、易陷入局部最优的不足，引入双种群混洗策略，提出一种高效的教与学优化算法，即ETLBO算法。采用4个典型包括单峰多维和多峰多维测试函数验证ETLBO算法性能，ETLBO在10、30和50维情况下均取得了良好效果。为了提升极限学习机(ELM)模型城市需水预测的精度，采用ETLBO算法优化选择模型的输入权值和隐层偏置模型参数，并构建ETLBO-ELM城市需水预测模型。以上海供水为例，仿真结果表明ETLBO优化后的模型预测性能更佳，验证了ETLBO算法的有效性。