立足基础，以“不变”应“万变”—浅谈《极坐标和参数方程》在近三年高考中的“变”与“不变”

罗荣

（新疆石河子八师第二高级中学，新疆 石河子 832011）

一、重温经典，赏析历年高考试题

例1（2019年全国高考II卷）在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0＞0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

（二）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

解析：（一）因为M(ρ0,θ0)在C上，当时，.

设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中，，

（二）设P(ρ,θ)，在Rt△OAP中，|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.

二、常见考点归类

考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化

例2

直线与圆相交求弦长的方法有多种，其中常用的一些有：

法一：

小结：常规问题要注意通性通法，记住方程的转化，把直线和曲线化成熟悉的形式来处理问题，注意一题多解教学。

考点二：直线的参数方程及应用

（一）求曲线C的直角坐标方程。

（二）设曲线C与直线l相交于A,B两点，若点P的坐标为（1,1），求的值

解析：（一）由曲线Cρsin2θ=4cosθ可得，ρ2sin2θ=4ρcosθ，由可得曲线方程是y2=4x

（二）由题意知，直线l过点P(1，1),把直线l的参数方程代入y2=4x中，整理得。设点A,B两点对应得参数分别是，则所以。

考点三：直线与圆锥曲线的参数方程及应用

（一）求C和l的直角坐标方程。

（二）求C上的点到l距离的最小值。

解法分析：在第一问中，曲线C的参数方程化为普通直角坐标方程，需要消去参数t，消参的过程较以往有所不同，消参需要仔细观察参数方程的特点，通过“凑”平方关系(1-t2)2+4t2=(1+t2)2来消参，也可用设t= tanθ,则

y=，可以看出其曲线是椭圆。第二问中，除了用到点到直线的距离公式，通过三角函数的求最值方法来解决，还可以借助数形结合，设与已知直线平行的直线l':2x+3y+m=0与椭圆相切，联立方程，令Δ=0，求出m,在求出l,l'的距离

考点四：圆与圆锥曲线的参数方程及其应用

（一）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程

（二）点M在椭圆C上，设点M（2cosα,4sinα）,则 有，当且仅当

三、立足基础，以本为纲，在“变”中求“不变”

以近三年全国高考卷为主要研究对象，本专题考点包括以下几个方面：

（一）掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的互化，极坐标方程中公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ是必要的武器。代入消参、加减消参、平方消参等是消参的常规方法，牢记公式，掌握三者之间的关系即可在第一问的解决中变得轻松。

（二）理解参数方程是以参变量为中间介质表示曲线的，通过消参得到直角坐标系下曲线的原貌，注意题目中所给条件，表示曲线是要写清范围，在参数方程和普通方程的互化过程中，必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致。

（三）极坐标系下的极径与极角的几何意义要清楚，注意出现在极径和极角前的负号，准确找到点在极坐标系及直角坐标系下的位置。

（五）理解极坐标中ρ的几何意义，会用它的几何意义求距离问题。

（六）对于问题中求点到直线的距离最大及最小问题，多将点设成含三角的参数形式，利用点到之间的距离公式，在接下来的化简中用以前学过的辅助角公式来解决。

（七）解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意参数方程和普通方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点最值、范围的问题。

从全国自上而下掀起新课程改革浪潮的这些年，培养学生的核心素养，体现与时俱进的学习应变能力已彰显出它的重要地位和作用。纵观近三年的全国高考试卷，整体感觉基础知识、基本运算能力和基本数学思想方法的考查都保持不变，贯穿于试卷始终。但是试卷的出题形式越来越综合，越来越新颖，充分体现出与时俱进的时代特点。如何处理好“变与不变”关系，做到以“不变”应“万变”，借助已有知识点，透过重重迷雾突破一道道坎是作为教师需要不断探索的难题。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，在未来的道路上我们还要继续努力！