直击高考数学填空题
2020-04-30吴浩
我们知道，填空题是数学高考必考题型，尤其江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分.填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对整个试卷影响很大，而且对考生整个高考都起到非常重要的作用.
一、填空题的命题特点
填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误.
填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练同学们准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法.
二、填空题的解答原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作;稳——变形要稳，不可操之过急;全——答案要全，力避残缺不齐;活——解题要活，不要生搬硬套;细——审题要细，不能粗心大意.
三、填空题的主要类型
1.定量填写型
要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
2.定性填写型
要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定命题的真假命题的判断，给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
四、填空题的方法
1.直接法
直接法就是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.
例1 如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，则该三角形的最大角的余弦值是 ;该三角形的周长是 .
解析： 设三角形的三边长分别是n-1，n，n+1（n≥2，n∈ N ），三个角分别是α，π-3α，2α.由正弦定理得， n-1 sinα = n+1 sin2α ，所以cosα= n+1 2（n-1） ，由余弦定理得，
（n-1）2=（n+1）2+n2-2×（n+1）×n× n+1 2（n-1） ，即n2-5n=5，n=5，n=0（舍去），
所以cosα= 3 4 ，cos2α=2cos2α-1= 1 8 ，三邊分别是4，5，6，周长为15.
点评： 这类填空题其实是个小型解答题，故一般仍采用解答题的方法求之.
2.特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.
例2 已知定义在 R 上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根，x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= .
解析： 此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化. 根据函数特点取f（x）=sin π 4 x， 再根据图象可得（x1+x2）+（x3+x4） =（-6）×2+2×2=-8.
点评： 特殊化法，就是将题中的某个条件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的条件下快速算出结果，至于如何将条件“特殊化”，应具体问题具体分析，便于计算即可.
3.赋值法
特殊值代入法，即赋值法，是解填空题的常用方法.填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍.
例3 已知x，y∈ R ，都满足f（x+y2）=f（x）+2f2（y），且f（1）≠0，则f（2019）= .
解析： 令x=y=0，则得f（0）=0;令x=0，y=1，则得f（1）= 1 2 ;令x=n，y=1，则得f（n+1）=f（n）+ 1 2 .∴f（n）= 1 2 n，∴f（2019）=1009.5.
点评： 赋值法在抽象函数问题和二项式定理问题十分有效.
4.构造法
根据题目提供的信息，适当有目的的去构造函数、数列、方程或几何图形等使问题获解.
例4 若a=ln 1 2017 - 1 2017 ，b=ln 1 2016 - 1 2016 ，c=ln 1 2015 - 1 2015 ，则a，b，c的大小关系为 .
解析： （1）令f（x）=lnx-x（0 则f′（x）= 1 x -1， ∵0 又 1 2017 < 1 2016 < 1 2015 ，∴a 点评： 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题. 5.等价转化法 化复杂为简单、化陌生为熟悉，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果. 例5 （1）若不论k为何实数，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 . （2）实数x，y满足x2+y2=1，若u= x+y+2 x-y+2 ，则u的最大值为 . 解析： （1）题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径 2a+4 ，所以-1≤a≤3. （2）u= x+y+2 x-y+2 变形为（u-1）x-（u+1）y+2u-2=0，又有x，y满足x2+y2=1，所以圆x2+y2=1与直线（u-1）x-（u+1）y+2u-2=0必有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即 2|u-1| （u-1）2+（u+1）2 ≤1，解得u2-4u+1≤0所以最大值为2+ 3 . 点评： 在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题. 6.数形结合法 通過以数示形，以形示数，借助图形的直观性（函数图象、几何意义等）来求解. 例6 若不等式a+| x2-1 x |≥2|log2x|在x∈（ 1 2 ，2）上恒成立，则实数a的取值范围为 . 解析： 不等式即为a≥-| x2-1 x |+2|log2x|，在x∈（ 1 2 ，2）上恒成立.而函数f（x）=-| x2-1 x |+2|log2x|= x， 1 2 点评： 本例采用参变量分离法，把不等式恒成立 为题转化为函数的值域问题，而画出函数图象能使答案一望便知，但作图必须力图精确，否则也难保结果准确. 五、特别提醒 解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果. 解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面： （1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确; （2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; （3）要重视对所求结果的检验. 专项训练 1. 已知集合A={1，2}，B={0，1}，则集合A∪B= . 2. 若复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z· = . 3. 如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 . 4. 小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是 . 5. 设双曲线C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y= 1 2 x，则双曲线C的离心率为 . 6. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a7-a26=0，则S11= . 7. 已知向量 a =（sinθ，cosθ-2sinθ）， b =（1，2），若 a ∥ b ，则 sinθ·cosθ 1+3cos2θ 的值为 . 8. 在三棱锥PABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥PC，PB⊥PC，PA=PB=2，则该三棱锥的体积为 . 9. 已知函数f（x）=2cosx（x∈[0，π]）的图象与函数g（x）=3tanx的图象交于点A，B，点O为坐标原点，则△OAB的面积为 . 10. 已知圆C：（x-1）2+（y-4）2=10上存在两点A，B，P为直线x=5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是 . 11. 已知{an}是首项为2，公比为q（q>1）的等比数列，且{an}的前n项和为Sn，若 Sn+2 也为等比数列，则q= . 12. 已知正方形ABCD的边长为4，M是AD的中点，动点N在正方形ABCD的内部或其边界移动，并且满足MN ·AN =0，则NB ·NC 的最小值是 . 13. 已知函数f（x）=ex（x-1），若关于x的不等式f2（x）-（2a+1）f（x）+a2+a≤0有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是 . 14. 已知x，y>0，xy2（x+y）=9，则2x+y的最小值为 . 答案与解析 1. 答案：{0，1，2}. 解析：∵A={1，2}，B={0，1}，∴A∪B={0，1，2}. 2. 答案：5. 解法1：由zi=1+2i得z= 1+2i i =-（1+2i）i=2-i，则 =2+i，所以z· =（2+i）（2-i）=4+1=5. 解法2：由zi=1+2i得|zi|=|1+2i|，|z|= 5 ，z· =|z|2=5. 3. 答案：2. 解析：x=8>0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=-1<0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可.解：x=8>0，执行循环体，x=x-3=5-3=2>0，继续执行循环体，x=x-3=2-3=-1<0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5-1=（ 1 2 ）-1=2. 4. 答案： 7 10 . 解析：小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，基本事件总数C25=10，A、B两首歌曲都没有被播放的概率为： C23 C25 = 3 10 ，故A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是1- 3 10 = 7 10 . 5. 答案： 5 2 . 解法1：雙曲线C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=± b a x. y= 1 2 x为其中一条渐近线，所以 b a = 1 2 . 又e2= c2 a2 = a2+b2 a2 =1+ b2 a2 =1+ 1 4 = 5 4 ， 所以e= 5 2 . 解法2：本题可以特殊化.双曲线渐近线方程为y= 1 2 x，可设双曲线方程为 x2 4 -y2=1， a=2，c= 5 ，e= 5 2 . 6. 答案：22. 解析：正项等差数列{an}的前n项和为Sn，由a5+a7-a26=0得 2a6-a26=0，所以a6=2，a6=0（舍）.S11= a1+a11 2 ×11= 2a6 2 ×11=22. 7. 答案： 4 65 . 解析：由 a ∥ b 得2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0， 即tanθ= 1 4 . sinθ·cosθ 1+3cos2θ = sinθ·cosθ cos2θ+sin2θ+3cos2θ = 1 4 tanθ +tanθ = 1 16+ 1 4 = 4 65 . 8. 答案： 35 4 . 解析：由条件PA⊥PC，PB⊥PC且PA∩PB=P，所以PC⊥平面PAB. 在Rt△PBC中，PB=2，BC=3，得PC= 5 ， 在△PAB中，取AB的中D点，连接PD，则PD⊥AB，且BD= 3 2 . 所以PD= 22-（ 3 2 ）2 = 7 2 ， V= 1 3 × 1 2 ×3× 7 2 × 5 = 35 4 . 9. 答案： 3 π 2 . 解析：由2cosx=3tanx，可得2cos2x=3sinx，即2sin2x+3sinx-2=0， 解得sinx= 1 2 或sinx=-2（舍），由x∈[0，π]. 所以可得x= π 6 或 5π 6 ，即A（ π 6 ， 3 ），B（ 5π 6 ，- 3 ），如图. 根据函数的对称性，可得C（ π 2 ，0）， 所以△OAB的面积等于 △OAC与△OBC的面积之和. 即S△OAB= 1 2 ·OC·|yA|+ 1 2 ·OC·|yB| = 1 2 ·OC|yA-yB|= 1 2 × π 2 ×2 3 = 3 π 2 . 10. 答案：[2，6]. 解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥ 2 2 ，即 CA CP ≥ 2 2 ，设点P（5，y0），则 10 16+（y0-4）2 ≥ 2 2 ，解得2≤y0≤6. 11. 答案：2. 解析：已知{an}是首项为2，公比为q（q>1）的等比数列. 所以Sn= a1（1-qn） 1-q = 2-2qn 1-q = -2qn 1-q + 2 1-q . Sn+2= -2qn 1-q + 2 1-q +2 Sn+2 为等比数列，则{Sn+2}也为等比数列.所以 2 1-q +2=0，即q=2. 12. 答案：14-2 17 . 解析：如图所示，由MN ·AN =0，则MN ⊥AN . 动点N在以AM为直径的半圆上，取BC的中点Q. 所以NB ·NC = 1 4 [（NB +NC ）2-（NB -NC ）2] = 1 4 [（2NQ ）2-（2QB ）2] =NQ 2-BQ 2=NQ2-4， 又动点N在以AM为直径的半圆上，设圆心为O，半径为1. 所以NQ的最小值为OQ-r= 42+1 -1= 17 -1.所以（NB ·NC ）min=14-2 17 . 13. 答案：[- 2 e -1，- 3 e2 -1）. 解析：由f2（x）-（2a+1）f（x）+a2+a≤0可知a≤f（x）≤a+1. 又f′（x）=exx，可得f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增. f（0）=-1，当x<0时，f（x）<0，且f（1）=0，当x>1时.f（x）>0， 所以f（x）的图象如图所示，由于f（0）=-1. 而在y=a，y=a+1的距离为1.即在y=a，y=a+1之間有且仅有两个不同的整数解.所以f（-1）≤a+1 14. 答案：2 3 . 解析：令x=m，x+y=n，则已知得m>0，n>0，且mn（n-m）2=9. mn（m-n）2=9（m-n）2= 9 mn （m+n）2=（m-n）2+4mn= 9 mn +4mn≥12， 当且仅当m= 3 - 6 2 ，n= 3 + 6 2 时等号成立，此时2x+y=m+n≥2 3 . （作者：吴浩，江苏省太仓市明德高级中学）
