用表格法分析数量关系解决问题

文茅莉萍

方程是解决实际问题中“数量相等关系”的有效模型。利用方程知识解决实际问题的关键是从研究问题中的数量关系入手，将问题中的已知量与未知量之间的数量关系找出来，通过适当设元，进而建立方程。在七年级上册“用一元一次方程解决问题”中，教材结合具体例题介绍了表格法、线形示意图法、圆形示意图法、柱状示意图法等常见的数量关系分析法。其中表格法能够使问题中复杂的数量关系变得简单明了，因此其应用也最为广泛，在七年级下册“用二元一次方程组解决问题”，八年级下册“分式方程”，九年级上册“用一元二次方程解决问题”中均又出现用表格法进行数量关系分析的例题，可见，表格法是解决实际问题非常有用的方法之一。

例1 （2019·安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路。其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工。甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 米。已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【分析】这个问题中数量之间的相等关系是：甲完成的米数+乙完成的米数=26米。

可以列出表格：

工程队名甲队乙队工作效率（米/天）x x-2工作时间（天）工作量3x x-2 3 1

解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，

由题意，得3x+（x-2）=26，

解得x=7，所以甲工程队每天掘进7米，乙工程队每天掘进5 米10（天）。

答：甲乙两个工程队还需联合工作10天。

【点评】本题涉及的是两个队的工作效率、工作时间、工作量这三个量之间的数量关系。可以利用“工作效率×工作时间=工作量”这个关系辅助列表，分析数量关系，利用一元一次方程解决问题。本题还可以利用“前两天的工作量+后一天的工作量=26米”来列表分析。

例2 （2019·辽宁朝阳）佳佳文具店购进A、B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种笔袋的单价低10%。已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600 元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个。请问：文具店购进A、B两种款式的笔袋各多少个？

【分析】这个问题中数量之间的相等关系是：A种笔袋的单价=B种笔袋的单价×（1-10%）。

可以列出表格：

总价（元）810 600品种单价（元/个）A款B款810 x + 20 600 x数量（个）x+20 x

解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，

经检验，x=40 是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+20=60。

答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。

【点评】本题涉及的是两个款式的单价、数量、总价这三个量之间的数量关系。可以利用“单价=总价÷数量”这个关系辅助列表，分析数量关系，利用分式方程解决问题。本题还可以利用“数量=总价÷单价”来列表分析解决。

例3 （2019·四川宜宾）某产品每件的生产成本为50 元，原定销售价65 元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%。若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程为______。

【分析】这个问题中数量之间的相等关系是：变化前利润=变化后利润。

可以列出表格：

成本价（元）50利润（元）65-50 65（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2变化前变化后售价（元）65 65（1-10%）×（1+5%）50（1-x）2

解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，

依题意，得：65×（1-10%）×（1+5%）-50·（1-x）2=65-50。

【点评】本题涉及的是变化前后的售价、成本价、利润三个量之间的数量关系。可以利用“售价-成本价=利润”这个关系辅助列表，分析数量关系，利用一元二次方程解决问题。

由以上的几个例题我们可以看到，表格分析法是一种有效的分析数量关系的方法，其主要针对两种情况（如A款、B款；变化前、变化后……），含有三个关联量（如售价、成本价、利润……）的问题，这样的问题在现实生活中大量存在。对以上三例的解法步骤进行归纳，我们就可以得出用表格法分析数据解决问题的基本步骤：一是采用三行四列制表格；二是把题目中的已知量填写进表中；三是设好未知数，由三个量的基本关系，用含有未知数的代数式表示出表中剩下的量；四是根据题目条件中寻找到的等量关系列出方程，解决问题。