关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践

陈瑞飞

(江苏省扬州中学教育集团树人学校 225000)

一、函数与方程思想求解参数范围

求解参数范围是高中数学的重要题型，解答该题型的思路有两种：其一，认真审题，深入挖掘已知条件中的不等式关系，运用不等式知识求解参数范围.其二，借助题干中的等量关系构建对应的函数，在定义域内求解函数的取值范围.授课中既要注重相关例题的筛选与讲解，使学生把握函数与方程思想解题步骤，明确解题注意事项，又要鼓励学生总结函数与方程思想在解题中的应用技巧，遇到类似数学习题少走弯路，能够迅速找到解题思路.

例1已知a、b为正数，满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.

该题目题干简单，已知条件关系明了，解题方法较多，关键如何找到最简解法.观察可知题干中涉及两个参数的积与两个参数的和，由此可联想到一元二次方程两根的关系，借助函数知识解答.设ab=t，由ab=a+b+3，可知a+b=t-3.因此可构造方程x2-(t-3)x+t=0，显然a、b为该方程的两个正根，不难得出如下关系：

Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得t≥9.

即ab的取值范围为[9，+∞).

解题感悟求解参数取值范围时不能思维定势，应结合已知条件巧妙地运用函数与方程思想进行解答，尤其当习题中出现两个参数和与积的关系时，可考虑构造相关的方程，借助根与系数的关系解答.

二、函数与方程思想解答方程问题

高中数学学习的函数类型较多，包括二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.针对一般的方程问题可通过分离变量转化为对应的函数，借助函数图象进行分析.针对稍微复杂些的方程问题，可采用换元法构建新的函数，通过研究新函数找到要求解的答案.授课中仅仅讲解理论知识是不够的，应借助例题为学生做好解题的示范，使其掌握函数与方程间的转化思路.同时，鼓励其在学习中加强训练，认真剖析经典习题，能够举一反三.

例2已知两个函数f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，假设两个函数的图象在(0，π)范围内至少有一个公共点，求a的最小值.

读懂该题并进行巧妙的转化是使用函数与方程思想解题的关键.两个函数图象在给定的区间内至少有一个解，即当两个函数相等时有解，如此便将其转化为方程问题.

由已知可知，f(x)=g(x)在(0，π)上有解，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，化简得到：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.

∵x∈(0，π)，即0<1+cosx<2,

解题感悟部分习题并未直接给出等量关系，需要学生深刻理解题意进行正确的转化，因此，在以后的解题中应注重积累相关转化经验，养成使用函数与方程思想解题的良好习惯.

三、函数与方程思想求解不等式问题

高中数学中不等式问题常和恒成立问题联系在一起，求解时除使用基本不等式知识求解外，多数采用函数与方程思想进行解答.通过分离参数、移项构造新的函数，运用函数知识求解函数最值是常用的解题思路.授课中为学生讲解对应例题，使学生深刻体会函数与方程思想在解答不等式问题中的应用.同时，要求学生具体问题具体分析，尤其针对存在多个参数的习题，应结合已知条件确定变量与要求解的参数，明确其之间的函数关系，灵活运用函数知识解答.

该题目题干简单，证明的技巧性较强，没有正确的思路，难以解答.认真观察要证明的不等式，结合以往解题经验可知，需要先进行移项构造新的函数，通过研究新函数的单调性求解其最值进行证明.

解题感悟构造函数技巧性较强，对学生的各项能力要求较高.为使学生能够顺利使用函数与方程思想解题，要求其在学习中做好解题总结，明确使用函数与方程思想解题的思路，掌握函数构造技巧，结合题干构造合理的函数，巧妙运用函数知识解答.

函数与方程思想是高中数学重要的思想，在解题中的应用率较高.授课中为使学生牢固掌握这一思想，并灵活应用于解题中，应做好能够使用该思想解答的数学习题类型的汇总，选择经典例题为学生深入剖析，把握函数与方程思想在不同题型中的应用方法与技巧，实现解题能力的显著提高.