基于协方差矩阵稀疏表示的宽带相干信号测向方法

王 凯，张海勃，宋 起，刘 勇

(西安测绘总站，陕西 西安 710054)

0 引 言

宽带信号在各种雷达和通信系统中得到了越来越广泛的应用，因此对宽带信号的测向也逐渐成为阵列信号处理领域的一个研究热点。在实际应用中，由于受到多径等因素的影响，阵列接收机可能面临着多个相干信号混叠的环境，这给常规阵列测向方法带来了极大的挑战。

非相干类宽带信号测向方法将宽带信号分解为多个窄带分量之后，对每个窄带分量依据窄带子空间方法进行独立处理，该方法在每个频率点处都面临着观测协方差矩阵缺秩的问题，难以有效分辨多个相干宽带信号[1]。相干宽带信号测向方法首先对信号带宽内各频率分量进行聚焦，得到特定参考频率点处的窄带观测协方差矩阵，此类方法中的聚焦过程能够较好地消除信号之间相关性的影响，即使在多个入射信号完全相干的情况下，也能够将它们分辨开来[2-3]。然而，仿真结果表明，相干子空间类宽带测向方法的性能也会随着入射信号之间相关性的增强而显著下降。同时，非相干子空间类和相关子空间类测向方法都需要利用入射信号个数的先验信息。在各种非合作侦察系统中，对宽带信号特别是相干宽带信号的源个数进行估计也是一个难点问题。

近年来稀疏重构技术在信号处理领域得到了广泛的关注和应用，在阵列信号处理领域也取得了部分研究成果，如GMF方法[4-5]、FOCUSS方法[6]、L1-SVD方法[7]和JLZA-DOA方法[8]等。L1-SVD方法和JLZA-DOA方法已经被推广应用于解决对宽带信号的测向问题[7-8]，它们对入射信号个数先验信息的依赖性较弱，且能够较好地适应相干宽带信号。然而，宽带L1-SVD方法和JLZA-DOA方法都需要将宽带信号分解为窄带分量，并在各离散频率点上独立地得到1组测向结果。一般情况下，在各个频率点处所得到的测向结果往往有较大的差异，因此L1-SVD方法和JLZA-DOA方法可能会面临各离散频率点处测向结果的融合问题。本文直接从宽带信号阵列观测数据的协方差矩阵出发，首先将协方差矩阵中部分元素重排得到一个新的观测向量，该向量可表示为各入射信号分量的线性叠加，因此可借助稀疏表示技术分离这些信号成分，并同步实现对宽带入射信号的波达方向估计。新方法很好地避免了频域分解和聚焦等过程，因此不需要对入射信号进行角度预估，且不会受到信号之间相关性的影响。此外，新方法也不需要入射信号个数的先验信息，因而能够较好地适应电子侦察等非合作测向环境。

1 问题描述

假设K个相干宽带信号从θ=[θ1,…,θK]方向同时入射到M元线性阵列上，t时刻的阵列输出为：

(1)

(2)

可见Rp,q中含有K2个信号分量，当p=q时还含有未知的噪声功率成分，直接通过对R进行分析并提取其中的信号分量以估计其入射方向较为困难。因此现有方法都是利用频域分解的方式将宽带接收模型转化为窄带模型[1-3]，本文采取的方法是直接对观测协方差矩阵的成分进行分析以实现对宽带相干信号的波达方向估计。

2 测向方法

为了简化Rp,q的结构，本文只提取观测协方差矩阵的第1列元素，并忽略受未知噪声功率污染的第1个元素，得到各元素表达式如下：

p=2,…,M

(3)

对上述M-1个元素进行排列得到1个(M-1)×1维的观测向量：

(4)

其中：

ak=[r(τk,2),…,r(τk,M)]T

(5)

(6)

其中ak由第k个信号在接收阵列上的传播时延决定，这里将其定义为宽带信号的阵列响应函数(或阵列流形)。在假设接收阵列满足无模糊测向约束的条件下，ak由该信号的入射方向唯一确定，因此也可将ak写成θk的函数形式a(θk)。下文将在不引起混淆的情况下，对ak和a(θk)2种形式交替使用。式(4)表明观测向量y可表示为K个入射信号所对应阵列流形的加权和，如果能够从y中分离各信号分量γkak，则利用从ak到θk的逆映射就能够估计出K个信号的入射方向。

本文借助稀疏表示技术实现由y估计θ的过程。首先假设参考信号相关函数r(τ)先验已知(仿真实验部分将给出一种由观测数据估计r(τ)的方法)，则对从θ方向入射的信号，其对应的阵列响应函数a(θ)可直接通过对r(τ)进行抽样得到。依据实际测向精度需求，对信号可能的入射空域进行离散采样，得到角度集Θ，在该角度集上依据式(5)中的阵列流形构造冗余字典集AΘ，则观测向量y在该字典集AΘ上具有稀疏表示形式：

y=AΘγ

(7)

式中：γ为AΘ的系数矢量，仅在K个信号的入射方向对应坐标处取非零值γk(k=1,…,K)，因而满足稀疏特性。

在式(7)线性约束下，通过求解如下稀疏表示问题可恢复其中的K个信号分量，即：

min‖γ‖0,subject toy=AΘγ

(8)

式中：e0范数‖γ‖0表示γ中非零元素个数。

(9)

3 观测向量扰动分析

假设阵列接收机共采集到N组观测样本x(1),…,x(N)，则观测向量y中第p个元素的估计值为：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式(17)可简化为：

(19)

因此：

(20)

(21)

(22)

因此，对象函数(9)中的拟合误差门限一种直观取值为：

(23)

式中：μ为拟合误差门限调整因子，其经验取值为0.5～2。

4 仿真实验

假设2个相对带宽为20%的等功率相干宽带信号从10°和18°方向同时入射到12元均匀线阵上，阵列相邻阵元间距等于入射信号中心频率对应波长的一半，采样频率等于入射信号最高频率的2倍。新方法在构造冗余字典集型A(Θ)的过程中，将[-90° 90°]空域按1°角度间隔进行划分，并借助Matlab软件中periodogram函数由观测数据估计观测数据功率谱P(ω)，然后依据阵列结构和各离散方向计算出字典集内各元素对应的传播时延后，由IFFT变换估计字典集中各元素[10]。为减小计算量，本文在估计自相关函数时只利用了第1个通道的数据。新方法中拟合误差门限调整因子μ取为1。仿真过程中选取双边相关变换(TCT)方法[3]作为性能比较对象，并依据测向方法对2个入射信号的分辨概率评价算法性能，当2个最显著的空间谱峰位于信号真实入射方向附近，且测向偏差均不大于3°时，认为正确分辨。

首先固定采样点数为512，2个信号的信噪比从-5 dB到10 dB变化，在每个信噪比取值下进行1 000次蒙特卡罗仿真，得到新方法和TCT方法对2个信号的分辨概率如图1所示。随后，固定2个信号的信噪比为-3 dB，快拍数从32到4 096变化，在每个快拍数取值下进行1 000次仿真实验，得到新方法和TCT方法对2个信号的分辨概率如图2所示。

图1 分辨概率随信噪比变化情况

图2 分辨概率随快拍数变化情况

从图1和图2的仿真结果可以看出，新方法对宽带相干信号的测向性能显著优于TCT方法，且能够更好地适应低信噪比和小样本数的实际环境。

5 结束语

本文针对宽带相干信号的测向问题，提出了一种基于协方差矩阵稀疏表示的测向方法。新方法不需要进行频域分解和聚焦等处理，且不需要入射信号个数的先验信息。仿真结果表明，新方法具有比已有相干宽带测向方法更强的超分辨能力，且能够更好地适应低信噪比和小样本等实际应用环境。