数学华章

范精华

心形线，献给人类的爱心

谁说数学不浪漫？笛卡儿的极坐标方程式r=a（1-sinθ），代入不同的数值，绘成的图就是一个标准的心形，又称心形线或爱心函数，就是我们现在微信上经常使用的那个红色心形的模样，这是笛卡儿献给他爱人的信物，也是他献给人类的爱！

这个方程式现在是高二数学选学内容，在当代的测量、导航等领域有广泛应用。

笛卡儿一五九六出生于法国，从小体弱多病，有个好习惯就是特别喜欢思考，也参过军，但未曾建立什么功勋，最后却成为了杰出的数学家和哲学家。

关于爱心函数，至今流传着一个凄美动人的故事，这故事未必为真，但人们宁愿信其有，而不愿信其无。

欧洲爆发黑死病期间，笛卡儿流浪到了瑞典首都斯德哥尔摩。天涯孤旅，竟遇知音，五十二岁的笛卡儿在街头邂逅了美丽的瑞典公主、十八岁的克里斯汀。这不仅仅是数学爱好者遇上大数学家，还是出身完全不同、年龄相差一代的两个人的偶遇，这份新奇感是如此的强烈，让人欲醉还休。很自然地，笛卡儿成了克里斯汀的数学老师，并向她介绍了自己创立的直角坐标系，就是我们现在初中阶段学习的直角坐标内容，代数和传统的几何学结合了起来，这可是从来没有见过的学问，克里斯汀表现了极大的兴趣，数学水平也就如春潮下的约塔河，呼啦啦的猛漲。同时猛涨的还有两人之间的那份感情，两个高贵的灵魂走到了一起，他们相爱了。数学的天空是瑰丽的，那些圆、椭圆、半圆正如圆缺变化的月亮，那些符号和数字犹如星星闪耀着宝石般的光芒，那些曲线仿佛形状千变万化的云朵，那些直线、射线就是灿烂的星光。他们如同两只美丽的夜莺，在数学王国的夜空中鸣唱！

可是，高贵的爱情遇到了冰冷的现实，国王知道了这事，怒不可遏，岂不是癞蛤蟆想吃天鹅肉么？立即下令要送笛卡儿去见上帝，只因克里斯汀苦苦哀求才饶过一命，但被驱逐出瑞典，重返法国。而克里斯汀呢，因为坏了王室的规矩也受到了惩罚，被软禁起来。笛卡儿重返法国不久就染上了黑死病，即便如此，他还是拖着孱弱的躯体坚持给克里斯汀写信，以诉说无尽的相思，可是连续十二封信都落到了国王手里。写第十三封信时，笛卡儿已病入膏肓，寄走信后就带着他那刻骨铭心的爱悄然去世。第十三封信照样落到了国王的手上，可是只有一个数学方程式r=a（1-sinθ），国王莫名其妙，请了好几位数学家研究来研究去也都是一头雾水，找不着北。这是笛卡儿新发明的成果，阳春白雪，和者盖寡，谁可知耶？既然如此，国王便将信给了克里斯汀。

克里斯汀如获至宝，明白这方程式就是笛卡儿的心声。她忙将方程式的图形绘制了出来，这是一颗心的形状，是以数学为营养滋润的爱之果，这是笛卡儿用数学公式在向她表达深深的爱。

几年后国王去世，克里斯汀登基成了瑞典国王，她不忘前情，立即派人寻找笛卡儿，可是斯人已逝，多少爱，那堪言？“一寸相思一寸灰”，留下的只有这个表达大爱的方程式！不禁让人们唏嘘之际想起华滋华斯的诗：“在落叶蔷薇的灌木丛中，一只被遗弃的鸟巢盛满了白雪。”

祖冲之的圆周率和“马拉松”

一九三二年清华大学的语文考卷中有一道简单的题目：“已有上联：孙行者；请写出下联。”这道题难住了许多考生，有的考生甚至怪罪出题老师刁钻古怪，其实最佳的下联便是“祖冲之”，他是我国南北朝时期的大数学家。

外围一定的木头能锯多宽（最宽）的板子？这实际上就是一个圆周率的问题。木工们很有经验，在实践中总结出了一句口诀：“尺木三寸板”，即外围（圆的周长）一尺的木头，能锯出最大宽度是三寸的板子，这里当然不包括加工时刨掉了板子的少许毛边。换句话说，就是圆的周长是直径的三倍多一点。于是引发一个问题，这“多一点”究竟是多多少？这个问题一直困扰人类几千年，东汉张衡算出圆周率为3.162，三国时王蕃得出3.155，魏晋的大数学家刘徽发明“割圆术”，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法，用此法算出为3.14，迈出了重要的一步。难能可贵的是，关于圆周率，刘徽还有一个说明：圆周率比3.14还要略为大一点，但是大多少呢？刘徽也无能为力了。

历史这部大书翻到南北朝，奇迹终于出现了，祖冲之，亦采用“割圆术”首次将圆周率精确到了小数点后面第七位，介于3.1415926和3.1415927之间，这可是一个伟大发现，直到公元十六世纪，阿拉伯的数学奇才阿尔·卡西才打破这一纪录，祖冲之比他早了一千多年！

别小看了这个结果，它可是世界数学史上的一个重要节点。圆周率是人类认识世界、改造世界的一个强有力的工具，其应用非常广泛，凡是涉及到圆的相关问题，都要用到圆周率，特别是在天文、历法等科学领域有着极为重要的应用，用于宏观的运算，其精确度尤为关键。西方数学界将其记为π，日本数学家为了表达对祖冲之的尊重，又将其称之为“祖率”。

祖率π，它是一个无理数，即无限不循环小数；又是一个超越数，即不是任何代数方程的根。它既明朗又神秘、既浅显又深奥、既简单又无穷，就像一个永远也探不到底的深涧，又像一个永远也望不到尽头的长河，然而它又是如此真切地摆在人们面前，真是“神龙见首不见尾”啊！恍兮惚兮，其中有象，让人们神魂颠倒。它撩拨着数学家的神经，历代许多数学家对它情有独钟，研究它的人趋之若鹜，正所谓因喜欢而关注，因热爱而思考。

祖冲之，无意中推动了一场旷日持久的马拉松大赛：德国数学家鲁道夫·科伊伦在一五九六年将祖率算到了小数点后二十位，后来干脆心无旁鹜，专算祖率，花费毕生精力将祖率算到小数点后三十五位，人们称其为鲁道夫数；一七○六年，英国数学家梅钦计算祖率终于突破一百位小数大关；一九四八年，英国的弗格森和美国的伦奇共同发布了祖率的八○八位小数值……

计算机出现了，可“祖率”马拉松的接力赛没个完，真个是“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”：一九四九年美国马里兰州一个实验室用计算机算到祖率二○三七位小数，首次突破千位大关；一九八九年美国哥伦比亚大学研究人员用两台巨型电子计算机计算出小数点后四点八亿位数；二○一○年八月三十日，日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算到小数点后五万亿位；而到了二○一九年的三月十四日，一位日本的女程序员已经算到小数点后三十一点四万亿位！这是一篇永远也写不完的壮丽史诗，续写着人类追求圆周率精度的不朽诗行。

如此有什么实际意义吗？现在还不太清楚，因为人类的认知总是有限的，也许在未来用得上，也许只是源于对它的好奇和兴趣，也许在它身上藏匿着人类尚不可知的奥妙，谁知道呢？不过它的经历形象地说明了一点：人类对未知世界的探求永无止境。

“糟了，一块暗礁！”

古印度宰相西萨·班·达依尔发明了国际象棋，这可是一个好玩的东西，带给了人们多少乐趣！可达依尔也是一个好玩的人，国王舍罕王因为他发明了国际象棋要奖励他，问他要什么赏赐。达依尔作为宰相，什么没有呢？爱情、荣耀、幸福、权力、地位等等，应该说是应有尽有了。也许是贪欲让他失去了理智，也许是脑瓜子被门夹了，也许是为了开个玩笑，他说：“陛下您只要在棋盘的第一格放上一粒麦子，第二格放上两粒……就这样，后面一格的麦子数是前面一格的两倍，一直放到第六十四格就可以了。”

舍罕王一听不禁笑了起来，“你这个要求也太低了吧，无非就是几粒麦子！”于是立即命人搬来几袋麦子，按照达依尔的要求办理。当然，麦子并不一定非要放到棋盘上，只要照此计数就行了。舍罕王也许忘了，达依尔是个数学家。

前面几格的麦子加起来还不够塞牙缝，到第十格的时候，也不过五百一十二粒，第十一格，也只有一○二四粒，虽然超过四位数，但用双手捧一捧也就足够了，于是继续……

到二十八格的时候，已经超过亿粒，就是以麻袋为计量单位来搬运也满足不了要求……让人恐怖的是，后面还有三十六格，那将是怎样的一种结果？

有人作过粗略计算，如果照此摆放到第六十四格，将棋盘上的麦子累加起来，约一○○七亿吨。要知道，我国二○一八年粮食总产量才一万三千亿斤，折合六亿五千万吨，其中还包括了水稻、小麦、玉米等作物的产量。如按当时生产能力估测，是印度出产小麦两千年的产量，也是全世界五百年小麦产量的总和。

这是我们高中数学中的“等比数列”问题，公比为2。其结果在意料之外，却是情理之中。因为前面十来项数值都很小，让人麻痹大意，越往后数值越大，如同滚雪球，瞬间膨胀成庞然大物，感觉如滚滚向前的火车具有雷霆万钧之势，让人目瞠口呆。所以实际上是一个陷阱，让人惊悚。舍罕王的尴尬让我们明白了两个字：多思。还给我们以下启示：把握事物的發展趋势是多么重要；小的开局未必会有小的结局；平静表象下掩盖的本质可能隐藏巨大的危机。

宰相的职位可是“一人之下，万人之上”，但官职再大，国王还是你的领导，“领导不高兴，问题很严重！”如此戏弄国王，无异于引诱国王的船往暗礁上撞哦，就是欺君之罪。推想结果只有两种：要不你达依尔说明原理，道个歉，自己找个台阶下；要不舍罕王割下你的脑袋了事。

我们的灵魂是一艘三桅帆船，

寻它的伊加利亚，甲板上叫：“看哪！”

桅楼上的声音热烈疯癫：

“爱情……荣耀……幸福！”

糟了，一块暗礁！（波德莱尔《恶之花》）

数学好玩，有时候也不是那么好玩的。

大海忠魂

说起大名鼎鼎的毕达哥拉斯，那可是如雷贯耳，古希腊伟大的数学家、哲学家，还是杰出的思想家、科学家、占星师。对与他同时代巴门尼德及稍后的苏格拉底、柏拉图的哲学思想产生过重大影响，并创立了大名赫赫的毕达哥拉斯学派。其他的不说，单凭他发现的毕达哥拉斯定理，即勾股定理，虽说比中国晚了一、二百年，但也是独立发现，在西方就影响巨大。

很不幸的是，毕达哥拉斯学派既是一个学术团体，又是一个政治和宗教团体，带有浓厚的神秘主义色彩，规矩森严，对违规者处罚极重；更不幸的是，毕达哥拉斯认为世界上只存在整数和分数，除此之外不再有其他的数。

可以想见，如果这世界上只有整数和分数，很多问题是无法解决的，例如，一个边长为1的正方形，它的对角线是多长？（现在用表示）无法用整数和分数表示，那它又是一个什么数呢？首先发现这个问题的是希伯索斯。

希伯索斯是毕达哥拉斯的杰出门生，生于公元前500年（相当于我国的战国时期）的意大利南部的麦塔庞顿。他是个勤于思考又有主见的人，从不人云亦云，对角线长度的问题引起了他的特别关注，花了许多时间研究，终于得出了结论：这不是整数，也不是分数，而是另外一种此前尚未发现、尚未命名的数。

“另外一种数”的发现，对于毕达哥拉斯学派无异于大地震，动摇了整个学派的基础，门徒们为了学派的威望和尊严，严密封锁了消息，禁止任何人提及“另外一种数”，否则以极刑侍候，就是活埋。

这样重大的新发现又如何能够封锁得了呢，“另外一种数”的理论不胫而走，且成星火燎原之势，学派内部严查泄密者，竟然是希伯索斯本人。这还了得？！这不是背叛老师背叛自己的学派吗？对可耻的叛徒必须严惩，门徒们开始了对希伯索斯的追杀。

希伯索斯知道大祸临头，好汉不吃眼前亏，仓皇出逃，在异国他乡流浪了好几年。可是思乡心切，又偷偷潜回了家乡。不幸再次光临，在航行于地中海的一条船上，毕达哥拉斯的狂热门徒发现了他……史料表明，希伯索斯被扔到了海里，我们可以设想这样的场景：

船儿在夜色中行进，只有细浪在呢喃，一切安静如常。在一个残灯摇曳、阴暗潮湿的船舱里，几个人悄悄地然而是迅猛地地朝希伯索斯扑了过去，凶狠地堵住他的嘴，又用绳索将他捆个严实，然后打开舱门，四顾无人，让他顺着船舷滑了下去，几乎听不到落水的声响……

因为可耻的谋杀者，大都不敢在光天化日之下行凶，也不敢闹出大的动静，只能偷偷摸摸施行罪恶。

他们将人间最珍贵的宝石扔进了海里，将一个天才扔下去喂鱼，地中海扬起了不绝的滔声，是在哭泣，为邪恶对正义的摧残，为谬论对真理的围剿而哭泣！

科学每前进一步，都是异常艰难的，科学家的人生字典里从来没有什么“岁月静好”这几个字，有的只是负重前行，甚至要付出生命的代价，即如布鲁诺，因坚持和捍卫“日心说”，被烧死在罗马鲜花广场；伽利略曾长期受迫害，并被判终身监禁，难怪他要说：“追求科学需要特殊的勇气。”

真理从来不会被湮灭，正义可能会迟到，但永远不会缺席。“另外一种數”还是以不可阻挡之势传播开来。人们对于整数和分数已经使用了很久，也已经习惯了，又好理解，于是合到一起称有理数，对于“另外一种数”还不好理解更不习惯，甚至还不太懂，于是干脆称为无理数。

无理数的发现，使数学中许多问题迎刃而解。让人大跌眼镜的是，无理数比有理数还多。按常理希伯索斯应该还有著作，但人都被喂了鱼，还会让他的著作流传下来吗？所以至今，我们只知道他发现了无理数，找不到他的著述。

未曾想毕达哥拉斯一世英名，荣光万丈，却背上这个无法清洗掉的污点，看来万事皆有度，对于自信也是，过则成殃。

“一笔画”与七座桥

是否还记得我们的小学时代？某一天，你的同学会兴冲冲地拿过一张纸，在上面画一个图来考你，说：你能一笔画出这个图吗？图是这样的：矩形内有两条交叉的对角线，在矩形上方两个角之间连接一条折线，要求一笔画出来。于是你饶有兴趣，一遍又一遍地试验，过了一会，你情不自禁叫了起来“哈，我画出来了！”

不要以为这仅仅是我们少年时代用来好玩的东西，这是一个几何学问题，叫做“一笔画”，源于十八世纪的哥尼斯堡。

十八世纪的哥尼斯堡，是东普鲁士一座不大的城市，位于普累格河两岸。二战以后，根据《波茨坦协定》，哥尼斯堡划归苏联，并更名为加里宁格勒，现为俄罗斯加里宁格勒州首府。

当时河中有两个岛，一个岛的两侧分别有两座桥与河的两岸相连，另一个岛的两侧分别有一座桥与河的两岸相连，两个岛之间亦有一座桥相连，所以一共有七座桥。此处曲径通幽，轻涛拍岸，又有绚丽的晚霞掠过城堡的尖顶，投射到河面上，波光粼粼；长嘴的白色鹈鹕在水面游弋，悠闲自在；其貌不扬的黑色鸬鹚则在围猎水中的游鱼，忙不迭将叼在嘴中的小鱼吞下去。夕阳下游人如织，又有对对情侣在桥边流连，真是个诗情无限的所在，“美得如一张明信片”。徜徉在旖旎风光中的人们忽发奇想：“一个散步者怎样能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？”没有人能回答这个问题，人们发现自己给自己找了个难题！

这个挺有意思的问题引起了大数学家欧拉的注意，不由得开动了他那天才大脑，可是他却说起了日常的小经验：现实中无论怎样的走法，总可以用点和线来表达成一个网络。如果我们从某一点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么中间每经过一点，总有画进那点去的一条线和从那点画出来的一条线，所以除了起点和终点外，这个图形的每一点应该和偶数条线相连，如果起点和终点重合，那么连这一点也应该与偶然条线相连，否则就画不出来。于是催生了一笔画定理：一笔画必须是连通的，并且有奇顶点（指从这一点引出的线是奇数条）的个数是0或2（见姜伯驹《一笔画和邮递路线问题》），真是让人茅塞顿开。

欧拉就这样解决了哥尼斯堡七座桥的难题，结论是：这样的走法不存在。欧拉将“一笔画”问题及其研究起了个既形象又新鲜的名称：位置几何学，并由此创立了拓扑学。

别小看了“一笔画”，在优化邮递线路和规划公交车路线上有着极大的优势，运用得好，可大大提高效率并惠及民生。可见，数学家同样可以“钟情苦艾，醉眼星空”，在关注诗和远方的同时，造福于民。我国管谷梅教授早在一九六○年即提出邮递员问题，取得丰硕成果，在国际图论界被命名为"中国邮路问题"，载入经典著作中，让这个古老的难题焕发了青春，中华民族，又在世界几何学上画上了浓墨重彩的一笔！

概率论：歪缸里酿出的好酒

如果将数学比做一个百花园，那么概率论就是非常绚丽的一朵，并且越来越艳丽，可是这株灿烂之花却是从肮脏之处长出来的！你信吗？

月色下的岛屿朦胧又迷人，海浪正轻吻着岛岸发出轻轻的呢喃，一艘三桅船停在岛边，桅尖上飘扬着黑色的旗帜，旗帜上白色的骷髅头隐约可见……昏黄的光线从船舱里弱弱地荡了出来，船舱里的人正光着膀子用肮脏的大手兴奋地掷着骰子，有的人在豪饮着啤酒，但无一例外眼光里喷射出贪婪。骰子落到桌子上了，滚动着发出嗒啦嗒啦的响声，紧接着惊叫声、咒骂声传了过来，说不定还会有一场凶狠的斗殴。这就是海盗们在赌博，我们在一些外国电影中见过的场景。

赌博，似乎是人类遗传的不良基因之一，也是源远流长的社会痼疾。岂只是海盗赌博？从国王到平民，几乎都有这一嗜好。即如十七世纪中叶，法国的宫廷里就盛行着掷骰子的赌博方法。就是到了当代，赌博仍风行于世界，只是在一些国家里，赌博视为非法，被严加禁止，然而如暗流涌动，偶尔也会翻出大浪。

既然赌博就会有输赢，既然有输赢那就谁都想赢或者多赢，于是，数学家就被请出来了。早在十六世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺就开始研究掷骰子中的一些简单问题，后来赌徒们又向法国数学家帕斯卡和费尔马请教，“基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。”于是，概率论就产生了。

波德莱尔有一本诗集叫《恶之花》，是说从罪恶之地亦可开出绚丽的花朵来，亦如我们常说的一句熟语：“歪缸里酿好酒”，概率论的产生正是如此，它源于赌博。

大作家汪曾祺有一个重要的文学主张，就是“写生活中的可能性”，在这一点上，概率论与汪论是一致的，是一门研究事件发生的可能性的学问。在一定的条件下必定会发生的事件概率为1，必定不会发生的事件的概率为0，可能发生的事件的概率则在0与1之间。在0与1之间，数值越大则表明事件发生的可能性越大，反之则可能性越小。

有意思的是，尽管每一次事件的发生是随机的，似乎没什么规律可循，即如我们抛掷硬币，或许连抛几次落地后都是正面朝上，反面一次都没有，如果是打赌，你几次连赌正面都中了，那只能说明你运气好，瞎猫撞着了死老鼠，或者说祖坟冒烟了，并不代表这就是规律。那规律是什么呢？如果你抛的次数多了，例于两万次以上，那正面朝上的次数就必定是一万次左右，很接近总数的二分之一，而且抛的次数愈多，愈接近二分之一，这时我们就得出规律性的东西了，硬币正面朝上的概率是0.5。又如生男生女，几乎每个国家的男女人数各占总人口的二分之一，所以，如果没有外在因素干预，生男的概率就是0.5。

概率论的问世，发现了人类活动及自然界演变在数学上的一些规律，它与统计学相结合，又从对人类活动及自然界个别领域的研究拓展到全部领域，这无疑是一个了不起的进程，无不闪耀着人类智慧的光芒。概率与统计，已逐步发展成一门严谨且应用十分广泛的学科。在自然科学、经济学、医学、金融学等领域尤其不可或缺，特别是对未来大局的数量预测大有用途，是国家制定政策的有功之臣。各国政府公布的许多数据，都是根据概率统计学推算出来的。当今已进入大数据时代，给概率统计学提供了极为广阔的天地，深邃的天空、广袤的大地、绿色的原野、湍急的河流、还有熙熙攘攘的人群、形形色色的野生动物等等都可成为它的研究对象，其作用和地位也将变得越来越重要。

“数学王子”高斯

德国，本来就是一个盛产数学家、哲学家和作曲家的国度。高斯一七七七年四月出生于德国中北部布伦兹维克的一个贫困家庭，父亲是个小保险公司的评估师，对高斯十分严厉使其养成了诚实谦虚的性格，母亲很有智慧却没有上过学但全力支持他“鼓捣”数学，聪明的舅舅对他的影响很大，引导他追求学问探究未知。

高斯的聪慧可以说是与生俱来的，或者说，他就是一个天才，一个伟大的天才，他那颗脑袋，是为数学而生的，也是为科学而生的。

高斯三岁时就能指出父亲借债帐目上的谬误，十岁时上小学三年级，因一道算术题让他誉满桑梓。一天，数学教师布特纳要用“数字长蛇阵”教训一下这些调皮的小家伙：求1+2+3+4+5+…+98+99+100的和，谁先做出来谁先回家。谁知他的话音刚落，高斯已将答案递给了他，是写在石板上的。布特纳起初也没在意，交得早并不等于你做得对啊。但看完全班五十余名学生的作业后，只有高斯的结果是对的。这倒也算不得过人之处，让布特纳大吃一惊的是高斯的解题方法，因为高斯发现了一个规律：1+100=101；2+99=101；3+98=101……就是说，共有50个101相加，即1+2+3……+98+99+100=101×50=5050。如此算法，古也有之，但从没有谁教过高斯，只能说高斯与“古人暗合”，由此可知高斯的思维是何等的活跃。在相同的时间内，获得比别人多的学问，那叫天赋；用比别人多的时间获得和别人相同的学问，那叫刻苦。可见，高斯是有天赋的。

青青小草，迎风起舞。在数学的高原上，高斯已显示自己的勃勃生机与灵性，可另一个世界几何难题的解决，则让高斯一夜之间变成了一棵大树，从而让人们发现了这个天才。

只用直尺和圆规作正十七边形，这个故事颇有戏剧性。高斯的中学（一说大学）数学教师也是一位知名的数学家，对高斯自然是特别关心，常常借数学书给高斯研读，还常给他数学难题做。有一天早晨，神情疲惫的高斯拿着一卷纸交给数学老师说，您这个题目真有点难，我也真笨，做了一个通宵才有了结果，也不知道解法对不？数学老师说，这段时间我没有给你布置题目啊！高斯说，您借我的书里夹的纸条上就是这个题目哦。老师一听，赶忙打开纸卷看起来，一会儿竟至于双手都颤抖了：我说高斯，你太了不起了，你解决了一个世界难题！

原来，数学老师苦心钻研只用直尺和圆规作正十七边形有好多年了，可是没有结果，他将这个世界难题写在小纸片上随意夹进了书里。高斯看到后以为是老师要他做的题目，于是便认真解答起来，可是这题目居然让高斯皱起了眉头，圆规在纸上舞蹈，曲线在图上逶迤，直尺在纸上纵横驰骋，直线射线在图上贯通，从华灯初上到夜深人静，毫无进展，又从万籁俱寂到旭日初升才有所发现。而对于此时的高斯来说，意味着两道曙光同时升起：晨曦初露是自然界的曙光，求解难题也摸到了窍门，看到了曙光。但他拿不准，便来找老师请教。

一个自古希腊以来两千多年困扰诸多数学大师如阿基米德、牛顿等的世界难题就被高斯一夜之间破解了！时在一七九六年三月三十日，高斯十九岁。高斯后来回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”

高斯一生低调、缄默，有一百五十五篇论文，许多数学成果没有发表。一八九八年偶然在高斯孙子保存的遗物中发现了一本笔记，上面记录了一百四十六条新发现或定理的证明。所以有人评价高斯：“这个人，就像狐狸似的，把沙土上留下的足迹，用尾巴全部扫掉。”狐狸是狡猾的，但高斯却是忠诚的，谨慎的，他担心自己的研究成果不严谨，担心谬种流传，所以从不轻易发表。可事实与他想象的恰恰相反，他的推论和演算天衣无缝，无懈可击，他还修正了其他数学家成果中论证不准确之处。由此，足可见高斯人格的伟大！伟大不必张扬，深刻何须表露！

“高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达一百一十个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。”

高斯曾在哥廷根大学就读、执教并创立哥廷根學派，先后又有黎曼、狄利克雷、雅可比、希尔伯特、克莱因等大数学家在此任教，使哥廷根数学学派进入了全盛时期。至二十世纪初，哥廷根已成为世界数学的中心，成为数学家心中的灯塔，“打起你的背包，到哥廷根去”，一时宛若长鲸向海，旅鸟归林。

高斯去逝后，哥廷根大学为他立的纪念碑的底座就是正十七边形，高斯的头像还曾印在德国钞票马克上。高斯是一面旗帜，永远飘扬在数学珠穆朗玛峰的尖顶，高斯是启明星，永远闪耀在数学的天空！

当哲学和数学结为伉俪……

“哲学虽无小用，但有大用；虽无近用，但有远用；虽无浅用，但有深用”。哲学和任何一门科学的有机结合，都会使之发生翻天覆地的变化，哲学和文学的结合，常常催生出大作家大诗人，如萨特、泰戈尔等。而杰出的数学家几乎个个都是哲学家。

哲学和数学结成伉俪，“金风玉露一相逢，便胜却、人间无数。”生下了许多宝贝，其中的一个还是超级宝贝，这宝贝威力可大了，比中国神话传说中的哪吒还厉害，比起孙悟空还神通广大，这便是微积分。

在十七世纪微积分发明之前，初等数学对许多问题束手无策，比如运动物体的瞬时速度，曲线的长度，曲面的面积等等。

诗生泽畔，理出山丘，那微积分的灵思妙想又出自哪里？

用通俗的语言来准确表述微积分是困难的，只能说个大概：微分就是将研究对象依照一定的规律分割成无穷小的部分进行研究，而积分则是将无穷小的部分也依照一定的规律累加起来进行研究，这里所说的规律就是指函数关系，积分是微分的逆运算。

让中华民族值得骄傲的是，三国时期的刘徽的“割圆术”其实就已包含微积分基本原理：当圆的内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的每条边的长度无限接近对应的圆弧的长度，这就是极限的概念，如果用一个函数来表达，就是微分的概念；将正多边形无限条边累加起来，正多边形的周长就无限接近圆的周长，这便是积分的概念。

但我们并不能以此为由，对刘徽没有创建类似微积分的数学体系而求全责备，因为微积分理论的大厦，不是一蹴而就的，而是几代数学家经年累月共同“砌筑”才建成并“装修”好的，但大厦的设计者还是牛顿和莱布尼兹。

世间万事万物都在运动变化中，如朝晖夕阴，月圆月缺，山呼海啸，江河奔流，春耕夏耘，秋收冬藏。无论是微分过程还是积分过程，也是一种运动的过程，研究的量都是“变量”，都在不停的变化之中。它研究运动中的数学问题，同时以运动的方法論研究数学问题。

微积分中的运动和变化的概念，有限和无限的概念，完全是基本的哲学思想，可见哲学在微积分的创立中扮演了多么重要的角色。

庄子说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说，这个棰是无限可分的；又如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是极根的概念，而极限，正是微积分的基石。

牛顿和莱布尼兹同时发明了微积分，这是个让人诧异的结论，难道真如中国流行的一句成语：“英雄所见略同”？世上真有如此巧合之事？由此大英帝国与欧洲大陆各国还爆发了一场长达一个多世纪的论战，并指责莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。而事实是，牛顿研究微积分在先，成果发布在后；莱布尼兹研究在后，成果却发布在先。于是，后人干脆将微积分的关键公式称为“牛顿—莱布尼兹公式”，这样才算平息了这场战火。

后来，又经过柯西、维尔斯特拉斯等数学家进一步整理并严格化、规范化，堵塞了许多漏洞，微积分理论终于周密完善，固若金汤，无懈可击。

忽如一夜春风来，千树万树梨花开！微积分大厦的建成，是世界数学史上的里程碑，也是人类值得骄傲的伟大发现！几乎所有的自然科学，都要用到微积分运算，就是一些社会科学的研究，也离不开微积分。即如天气预报，明天或者后天是风和日丽呢还是大雨滂沱呢抑或阴霾笼罩？俗有“天有不测风云”之说，可见并非易事，但用偏微分方程却能搞定。

人类思维能够达到的地方，也许就是数学能够达到的地方，至少在目前，微积分是数学神器上的解码器。

责任编辑：易清华