二阶多智能体系统参数自适应的有限时间一致性算法

崔 艳,李庆华

(山西师范大学 物理与信息工程学院,山西 临汾 041000)

0 概述

近年来,多智能体系统的分布式协同控制逐渐成为控制领域的研究热点,其在实际生活中有很多应用,如多机器人编队控制[1]、无人机编队飞行控制[2]和水下自动驾驶车[3]等。一致性是多智能体系统分布式协同控制的基本问题[4-6]。在卫星群的同步运行、多飞行器飞行、多自主机器人探测器等实际问题中,系统需要在有限时间内实现一致收敛,因此,研究在有限时间内系统的快速收敛具有重要意义[7-8]。

在一致性问题研究中,收敛速度是一个重要的性能指标。文献[9]指出代数连通性决定了多智能体系统的一致收敛速度,文献[10]通过增大代数连通性提高系统的收敛速度,上述研究说明,代数连通性提高可以加快收敛速度。文献[11]考虑最优顶点配置,使生成图的代数连通性达到最大,并将任意2个智能体间的权重作为距离构造函数。文献[12]将半正凸函数的解作为邻接矩阵元素,提高系统的收敛速度。然而,上述工作都是基于合适的拓扑结构进行分析,并没有讨论如何利用智能体间的控制协议来提高收敛速度,因此不具备自适应的特点。此外,与渐近一致相比,有限时间一致具有响应快、准确性高和鲁棒性好等优点,鉴于此,文献[13]对一阶多智能体系统中的有限时间一致性问题进行研究。文献[14]将非线性系统参数化,仅利用每个智能体与其相邻智能体之间的局部相对位置状态信息,提出分散有限时间自适应一致性算法,使系统达到一致。文献[15]通过选择适当的最小矩阵多项式,在离散时间系统中给出一致性算法。文献[16]将智能体之间位置与速度的差值作为反馈系数函数,提出控制协议,但系统的收敛速度较慢且反馈系数为固定值。文献[17]分析了自适应反馈系数在一致性算法中的作用,但并没有明确提出确定系数的方法。

本文针对二阶多智能体系统提出一种反馈系数自适应的有限时间一致算法。该算法利用相邻智能体之间的位置差值和速度差值作为反馈系数来预测飞行器多智能体下一时刻的状态。

1 预备知识

有向图G=(v,ε,A)表示多智能体系统的通信结构。其中,v={v1,v2,…,vn}称为G的节点集,ε∈v×v称为边缘集,A=[aij]是G的邻接矩阵。在图G中,从节点vi到节点vj的有向边表示为eij=(vi,vj)∈ε。边的邻接元素为正,即eij∈ε⟺aij>0且有aij=0,无向图的邻接矩阵具有对称性。

2 实际系统模型与协议设计

具有n个飞行器的二阶动态系统如下:

(1)

定义1对于式(1)所示的多智能体系统,如果存在一个停息时间T0∈[0,+∞),则满足式(2)时,二阶系统达到有限时间一致[16]。

∀i,j=1,2,…,n

(2)

本文研究有限时间内的二阶多智能体系统一致性,并提出以下控制协议:

(3)

为预测下一时刻飞行器的状态并加快收敛速度,利用飞行器间的位置差值与速度差值,设计协议ui(t)中的参数bij和cij的计算公式,具体如下:

(4)

其中,|xj-xi|和|vj-vi|分别表示2个飞行器之间的位置差值与速度差值,0

3 相关定义和引理

定义2非线性系统的定义如下:

(5)

连续向量流f(x)=[f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)]T,与带有扩张的(r1,r2,…,rn)ri>0的度是齐次的,对于任意的ε>0,有如下公式:

fi(εr1x1,εr2x2,…,εrnxn)=εκ+rifi(x),i=1,2,…,n

(6)

定义3式(5)所示的系统是齐次的,如果其向量流也是齐次的,并且满足如下公式:

(7)

(8)

3.1 固定拓扑情形

定理1对于n个飞行器构成的多智能体系统(即式(1)),G是无向连通的,存在协议参数bij和cij为正时,式(3)协议可以使系统达到有限时间一致。

证明误差定义如下:

(9)

(10)

记mij=2-βij,nij=2-λij,则有如下公式:

(11)

由式(1)、式(4)和式(9)可知:

(12)

取Lyapunov函数V=V1+V2+V3,其中:

(13)

对Lyapunov函数求导,得到以下公式:

(14)

(15)

(16)

(17)

下面证明系统可在有限时间内达到一致。令:

ψn(t),ψn+1(t),ψn+2(t),…,ψ2n(t)]T

则式(12)可以改写为如下形式:

fi(εr1ψ1,εr2ψ2,…,εrnψn,εrn+1ψn+1,…,εr2nψ2n)=

εrn+iψn+i=εR2fi(ψ)=εR1+κfi(ψ)=εri+κfi(ψ),

i=1,2,…,n

且有:

fn+i(εr1ψ1,εr2ψ2,…,εrnψn,εrn+1ψn+1,…,εr2nψ2n)=

εR2+κfn+i(ψ)=εrn+i+κfn+i(ψ),

i=1,2,…,n,j=1,2,…,n

由上述分析可知,ψi→0,ψn+i→0,故γ>0,存在t0>0,说明ψi(t)与ψn+i(t)是有界的,具体过程如下:

综上所述,由引理2可知,式(3)控制协议可在有限时间内实现一致性收敛。

注释1文献[16]中提出的一致性协议如下:

(18)

当系统未达到收敛状态时,存在以下情形:

(19)

由注释1可知,这是一种实际可操作的参数确定方法,而本文的参数设计方式可实现对不同二阶飞行器智能体输入状态的自适应调节。

注释2由于本文Lyapunov函数求导后小于文献[16]中Lyapunov函数求导的结果,因此本文一致性控制算法的收敛速度更快。

3.2 切换拓扑情形

由于外界扰动等因素的影响,无法保证网络拓扑结构始终保持不变,因此考虑切换拓扑情形具有重要意义。

(20)

引理3考虑以下非线性系统:

(21)

证明取Lyapunov函数V=V1+V2+V3,其中:

由于切换拓扑中涉及的每个拓扑是连接且未改变的(证明过程与定理1类似),由引理3可知,系统是有限时间稳定的。实例说明过程类似于固定拓扑的分析。

4 仿真实例分析

飞行器的发展给人们的日常生活带来了极大的便利,越来越多的人愿意接受并使用这些新产品。飞行器在植保、快递、搜救、航拍以及巡检方面的普及速度非常快,而其一致性追踪在实际生活中更是应用广泛。一致性追踪需要多个飞行器协同合作,可以在有限时间内更快速高效地完成高强度工作,方便人们的日常生活。未来,飞行器将越来越多地取代传统的作业方式,其发展前景也非常令人期待。

针对多智能体系统的研究主要包括多智能体的一致性、编队控制、聚集等方面的问题。多智能体系统通过控制相邻飞行器之间的位置与速度,在有限时间内实现一致性追踪,并预测下一时刻飞行器的状态。

本节通过实例给出具体分析。以包含4个飞行器的多智能体系统为例,各飞行器之间的通信拓扑结构如图1所示。其中,拓扑结构的所有非零连接权值均为1,假设4个飞行器位置的初始状态为x(0)=[-1.5,0.8,-0.2,0.2]T,速度的初始状态为v(0)=[0.9,-1.2,0.4,-1]T。

图1 多智能体系统的拓扑结构Fig.1 Topological structure of a multi-agent system

选取图1(d)作为固定拓扑结构,利用相邻飞行器之间位置与速度的差值作为一致性反馈系数bij和cij,并提出式(3)所示的一致性协议,同时定义位置与速度之间的误差进行仿真。图2和图3分别给出所有智能体的位置和速度状态信息,可以看出,最终4个飞行器的位置与速度都趋于一致,共同完成工作。图4和图5分别给出每个飞行器的位置和速度与平均值之间的误差,可以看出,最终位置误差趋于一致。综上所述,4个飞行器能够在有限时间内达到一致跟踪,且达到一致所用的时间较短,因此,其协同工作完成任务的效率较高。

图2 固定拓扑结构位置仿真曲线Fig.2 Simulation curve of position in a fixed topologicalstructure

图3 固定拓扑结构速度仿真曲线Fig.3 Simulation curve of speed in a fixed topologicalstructure

图4 固定拓扑结构位置误差仿真曲线Fig.4 Simulation curve of position difference in a fixedtopological structure

图5 固定拓扑结构速度误差仿真曲线Fig.5 Simulation curve of speed difference in a fixedtopological structure

考虑切换拓扑的情形,4个飞行器之间的通信信息关系如图1所示,其切换顺序为(a)→(b)→(c)→(d)→(a)。在各飞行器之间进行信息交换,应用本文在切换拓扑下的一致性协议,即式(20)进行仿真,可得到切换拓扑情形下4个飞行器位置与速度的状态,如图6和图7所示。可以看出,最终飞行器的位置与速度能在有限时间内实现一致跟踪。图8和图9分别为每个飞行器的位置和速度与平均值之间的误差,可以看出,最终误差趋于一致。综合以上分析可得,在切换拓扑情形下,即4个飞行器之间的信息交流的轨迹发生变化时,多智能体系统能够在有限时间内达到一致跟踪,且达到一致的速度较快。切换拓扑情形考虑了复杂网络之间的信息交换,且其方式更加灵活,因此,切换拓扑的情形在实际应用中更为普遍和重要。

图6 切换拓扑结构位置仿真曲线Fig.6 Simulation curve of position in a switching topologicalstructure

图7 切换拓扑结构速度仿真曲线Fig.7 Simulation curve of speed in a switching topologicalstructure

图8 切换拓扑结构位置误差仿真曲线Fig.8 Simulation curve of position difference in a switchingtopological structure

图9 切换拓扑结构速度误差仿真曲线Fig.9 Simulation curve of speed difference in a switchingtopological structure

5 结束语

本文提出一种二阶多智能体系统参数自适应的有限时间一致性算法。利用位置和速度的差值作为反馈系数,实现二阶系统参数的自适应一致,通过构造Lyapunov函数并利用齐次理论,分析系统在有限时间内达到稳定的条件。仿真结果表明,该算法能够使多智能体系统在有限时间内实现一致跟踪,且收敛速度较快。下一步将针对具有干扰和不确定性的高阶多智能体系统进行一致性问题研究。