基于均方根容积卡尔曼的δ-GLMB多目标跟踪算法

母晓慧 杨风暴 刘 哲 陶晓伟 张雅玲

(中北大学信息与通信工程学院 山西 太原 030051)

0 引 言

由于战场环境的复杂性、传感器观测的干扰性、目标的强机动性等，非线性高杂波密度环境下的多目标跟踪已成为国内外学者的研究热点。目前，基于随机有限集(Random Finite Set，RFS)理论[1]的多目标跟踪滤波方法可有效避免数据关联产生的组合爆炸问题，其中以δ-广义标签多伯努利滤波器(δ-Generalized Labeled Multi-Bernoulli Filter,δ-GLMB)为代表的算法不仅能够估计目标状态与数目、区分目标跟踪的轨迹[2]，而且可在低信噪比环境下有效跟踪多目标，从而克服经典RFS滤波算法[3—6]数据关联带来的组合爆炸问题及不能估计目标轨迹的缺陷。

多目标多伯努利算法在滤波过程中存在集合积分运算，难以求得解析解的问题，因此当前实现该算法的途径主要有两类：(1) 序列蒙特卡洛(Sequential Monte Carlo,SMC)，该实现方法可解决非线性场景下的多目标跟踪问题，但由于采样粒子数多和粒子退化，造成滤波器计算复杂度高，难以对目标进行快速跟踪；(2) 高斯混合(Gaussian Mixture,GM)，该实现计算复杂度相对较低，但其适用于线性高斯环境下的多目标跟踪问题[7]。

针对上述问题，文献[8]分别提出非线性系统下多模型多伯努利(MM-MB)滤波器的容积卡尔曼高斯实现和基于均方根容积卡尔曼高斯实现方法，增强了算法的数值稳定性和鲁棒性。文献[9]提出箱粒子δ-GLMB滤波算法，在非线性条件下目标跟踪精度得到有效提高。文献[10]引入区间分析理论，给出了一种杂波未知的非线性条件下基于箱粒子滤波的势平衡多目标多伯努利滤波算法，既保证了目标精度又大幅度提高了算法的执行效率。文献[11]将GM-δ-GLMB滤波算法与积分卡尔曼非线性滤波器(Quadrature Kalman Filter,QKF)相结合，为δ-GLMB滤波算法在非线性场景中的应用提供了一种新的实现方法，但其在非线性高杂波密度环境下其跟踪精度有所下降。侯利明等[11]利用扩展卡尔曼(Extended Kalman Filter,EKF)与GM-δ-GLMB滤波器相结合的方法，在弱非线性环境下取得了较好的跟踪效果，但当系统非线性较强时，EKF会导致模型描述误差增大[12]，致使EKF-GM-δ-GLMB的滤波精度下降。因此，提出无迹卡尔曼(Unscented Kalman Filter,UKF)[13]与GM-δ-GLMB滤波器相结合的方法，通过Sigma点计算多目标密度函数的均值和方差，能够克服EKF线性近似带来的巨大误差，但当系统维数超过三维时，UKF存在协方差矩阵非正定问题，导致UKF-GM-δ-GLMB滤波精度急剧下降[14]。上述滤波算法能够在一定程度上解决非线性环境下的目标跟踪问题，但对于杂波密度高的环境，其目标跟踪精度下降甚至发散。

因此，本文将非线性滤波算法均方根容积卡尔曼滤波(Square-rooted Cubature Kalman Filter,SCKF)[14]与GM-δ-GLMB相结合，解决非线性高杂波密度环境下的多目标跟踪问题。该算法使用带标签的随机有限集描述多机动目标的位置和速度等状态，对每个目标用互不相同的标签进行区分，并通过三阶球面-径向容积准则选取一组等权的容积(Cubature)点集。采用误差协方差的平方根形式进行递推，利用容积点集求取多目标密度函数的均值和协方差矩阵，对δ-GLMB高斯项进行预测与更新，从多目标状态后验概率密度中估计单目标的位置与速度，根据目标的标签实现目标轨迹跟踪，提高滤波算法非线性逼近性能。为了验证该算法的有效性和可行性，通过不同高杂波密度条件下的仿真实验，将所提算法的滤波精度与EKF-GM-δ-GLMB和UKF-GM-δ-GLMB进行较详细的对比。本文算法总体框图如图1所示。

图1 本文算法总体框图

1 背景理论

1.1 标准δ-GLMB滤波器

假设标准δ-GLMB滤波器多目标密度先验分布如式(1)所示的δ-GLMB形式。

(1)

(2)

根据Chapman-Kolmogorov预测和贝叶斯滤波准则，多目标预测密度及后验密度仍然为δ-GLMB形式[6]，δ-GLMB既能估计多目标状态估计，又能预测跟踪目标的运动轨迹，有效跟踪多目标。δ-GLMB滤波过程包括预测与更新两个步骤。

1) 预测：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2) 更新：

多目标预测密度为δ-GLMB分布，则多目标后验密度仍是δ-GLMB分布：

δI+(L(X))[p(ξ,θ)(·|Z)]X

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：目标轨迹-量测的映射关系为θ：L→Z={0,1,…,|Z|},0表示漏检。假设k+1时刻传感器获得m个量测，量测集合为Z={z1,z2,…,zm}，则更新轨迹标签集合关联历史为ξ=(θ1,…,θk,θk+1)。所有映射关系θ的集合Θ称为关联映射空间。Θ(I)表示定义域为I的Θ子集。pD(x,l)为检测概率，g(z|x,l)是目标(x,l)生成量测的似然函数值，κ(·)为量测过程中的杂波密度函数值。

1.2 δ-GLMB滤波器的高斯混合(GM)实现

从式(6)和式(12)中可看出，δ-GLMB滤波器在预测与更新步骤中存在有限集积分运算而难以求得解析解的问题，为此文献[7]提出了该算法在线性高斯模型下的高斯混合(GM)实现过程，即利用高斯项加权求和的方式代替用于传递的伯努利参数的过程。

(15)

GM-δ-GLMB滤波算法实现具体如下：

1) 预测：

预测多目标密度π+(X+)如式(3)所示，其高斯混合实现如下：

(16)

(17)

(18)

2) 更新：

假设k时刻的预测多目标密度在新的关联历史条件ξ=(θ1,…,θk,θk+1)下单目标分布密度函数为：

(19)

(20)

高斯分量剪枝与合并：删除生存概率低于其最低门限的伯努利分量，对保留下来的分量所对应的高斯分量进行剪枝和合并，剔除权重低的高斯分量，合并距离相近的高斯分量。

多目标状态提取与轨迹估计：利用最大后验估计(MAP)从势分布中估计出多目标数目，然后从与估计目标数相同的假设中选取权重最大假设的多目标均值和标签，分别作为估计目标状态及轨迹。

2 基于SCKF的GM-δ-GLMB算法

GM-δ-GLMB滤波器在线性高斯模型下具有闭式解析解，在非线性系统模型下不能有效跟踪，但将其与非线性滤波器结合可以解决非线性模型下的多目标跟踪问题。

在非线性模型下，假设单个目标运动与量测方程是非线性的，即:

(21)

式中：k为观测时刻；xk为k时刻目标的状态向量；zk为k时刻传感器的观测向量；f(·)和h(·)分别为已知的非线性状态转移函数和非线性观测函数；uk-1和vk分别为相互独立的过程噪声和观测噪声，服从均值为0、协方差矩阵分别为Qk-1、Rk的高斯分布。

在非线性模型系统下，本文采用基于SCKF的GM-δ-GLMB实现方法。已知在k-1时刻误差协方差的平方根为Sk-1|k-1，记为Sk-1|k-1=Tria(A)，表示对矩阵A的QR分解，Tria(·)是矩阵的一种三角化运算，且Sk-1|k-1为下三角阵。SCKF基于三阶球面-径向容积准则选取容积点，获得如下容积点及权重：

(22)

(23)

1) 预测：

(1) 对式(16)组成的目标轨迹中的第j个高斯项的协方差矩阵进行Cholesky分解：

(24)

(25)

ωj=1/(2n)

(26)

(3) 计算经非线性状态方程传播后容积点的值：

(27)

(4) 估计状态预测值：

(28)

(5) 估计预测误差协方差矩阵的平方根值：

(29)

2) 更新：

量测更新当前时刻的观测，计算预测粒子状态的均值及其状态协方差矩阵；

(1) 计算容积点：

(30)

(2) 计算经量测非线性函数传播后的容积点：

(31)

(3) 计算量测预测值：

(32)

(4) 计算新息协方差的平方根值：

(33)

(34)

(5) 计算互协方差矩阵：

(35)

(36)

(6) 计算卡尔曼增益：

(37)

(7) 更新状态均值：

(38)

(8) 更新协方差矩阵的均方根：

(39)

3 仿真实验

3.1 仿真场景设置及参数设定

表1 6个机动目标的初始状态及出现消亡时间

图2 目标真实轨迹

本文在非线性模型系统下参考文献[15-16]中的目标运动模型、转弯模型CT，其状态转移方程为：

(40)

其系统非线性量测方程为：

(41)

杂波模型服从强度为κk=λVu(z)的泊松RFS，其中V表示传感器监视区域的观测面积；u(·)表示该监视区域的均匀概率分布函数，λ为杂波密度。仿真实验在MATLAB R2016a环境下进行，处理器为Intel Core i7-7700,运行内存为8 GB，本文进行300次蒙特卡洛仿真实验来验证所提算法的有效性。

3.2 实验结果与分析

仿真1固定杂波密度环境下实验结果分析。

图3为本文所提算法在杂波密度为λ=1.5×10-6m-2时的目标滤波结果图，x轴和y轴分别为二维坐标平面内的x位置和y位置。本文算法在x轴和y轴方向上对机动目标的跟踪效果如图4所示，从图中可得知各目标出现和消亡的时间及运动状态。图3、图4中滤波结果与目标真实轨迹几乎重合，因此本文算法能够准确地估计目标的运动轨迹，对目标进行准确跟踪。

图3 目标滤波结果

图4 本文算法对目标状态估计图

本文选用最优子模式分配(Optimal sub-pattern assignment,OSPA)[17]距离作为评价多目标跟踪算法性能的准则指标，OSPA距离越大该算法的综合精度越差。其定义为：

(42)

式中：X、Y为任意子集，且维数分别为m、n，距离敏感性参数p表征距离误差，水平调节数c表征集合势误差。本实验选取参数c=100,p=1。图5为3种算法的势估计及其误差对比图，图6为OSPA距离误差对比图。

(a) 势估计

图6 OSPA距离对比图

在图5(a)可以看出，λ=1.5×10-6m-2时，三种算法都可以随着时间的变化较准确地估计出目标数目，图5(b)中三种不同算法对目标数量的估计均出现一定程度的偏差。其中UKF-GM-δ-GLMB在目标出现消亡时即t=66 s和80 s时，反应速度延迟时间最长，对目标数目的估计出现了明显的偏差，EKF-GM-δ-GLMB次之，本文算法延迟时间最短，更能有效地估计目标数目。在t=10 s、20 s、40 s、66 s、80 s时目标数目发生变化，所以三种算法的势估计误差均增大。图6中在开始时三种算法的OSPA距离都很大，在后来变小并趋于稳定。在66 s之前三种算法的OSPA距离相近，此后本文所提算法略低于其他两种算法，证明此算法的跟踪效果更好。

出现上述现象是因为UKF-GM-δ-GLMB实现时的滤波参数值一般需要先验知识，针对复杂和高状态维数的多目标跟踪问题难以有效解决。EKF-GM-δ-GLMB是因为其适用于弱非线性环境，当非线性程度较高时，容易出现滤波发散问题，导致跟踪精度下滑。本文算法是基于三阶球面-径向容积准则选取一组等权的容积点集，得到的参数更加准确，可实现较高精度的目标跟踪。

仿真2不同高杂波密度环境下实验结果分析。

为了进一步验证算法跟踪性能，在整个跟踪周期图7及图8分别给出了本文所提算法与UKF-GM-δ-GLMB算法、EKF-GM-δ-GLMB算法在5个高杂波密度λ=(4.0,4.5,5.0,5.5,6.0)×10-6m-2的OSPA距离对比图及势估计误差对比图。

图7 势估计及其误差对比图

图8 OSPA距离对比图

根据图7和图8，可得到以下结果：

(1) 当杂波密度增大时，三种算法的势估计误差和OSPA距离均会相应增大。

(2) 在某一杂波密度下，与UKF-GM-δ-GLMB算法与EKF-GM-δ-GLMB算法相比，本文算法的势估计误差要低得多，平均降低了18.8%、24.6%。

(3) 在某一杂波密度下，本文算法的OSPA距离也比其他两种算法要低，平均降低了1.6%、3.6%。

综上所述，当不同高杂波密度环境下，本文所提算法的势估计误差和OSPA距离最小，跟踪精度最高。

4 结 语

本文提出了基于SCKF的GM-δ-GLMB实现算法，在非线性高杂波密度系统下，该算法可以准确地估计机动目标的运动状态与轨迹，有效提高目标跟踪精度。与UKF-GM-δ-GLMB、EKF-GM-δ-GLMB算法进行实验对比，本文算法的OSPA距离最小且其势估计最准确，证明其跟踪精度最高。本文算法在非线性模型系统下具有较高的跟踪精度，下一步将致力于将其用于强机动目标、扩展目标和群目标等较为复杂的多目标跟踪问题。