圆锥曲线中的定性问题探讨

刘英杰

摘 要：圆锥曲线内容是高中解析几何知识板块中的重要构成部分，圆锥曲线既有简洁优美的图像又有简练的代数形式，是数形结合思想的完美体现，同时圆锥曲线还具备在物理学上非常重要的光学性质。三类曲线各具个性特征，同时又有内在的统一。曲线中的定性问题体现了动与静的统一，变与不变的相对关系.本文着重探讨抛物线中的一类定性问题。

关键词：高中数学;抛物线;圆锥曲线定性问题

抛物线知识作为圆锥曲线的一个重要知识板块，即和椭圆、双曲线有着内在的统一，也有自己的独特个性。比如涉及抛物线的焦点弦问题，可以挖掘出很多稳定的性质。在学习中如果注意思考，很多简单的例题都是发现这些定性的极佳切入点。

例1.在平面直角坐标系xoy中，直线过点C（2，0）且与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且有A（x1，y1），B（x2，y2）。试探讨能否找到与y轴平行的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为一确定的值？若能找到，求出该直线的方程，若找不到，请说明理由。

解答：设有直线l：x=m满足题干条件，由已知线段AC的中点E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y12，因此以AC为直径的圆的半径为：r=12AC=12（x1-2）2+y12=12x12+4，点E到直线x=m的距离为d=|x1+22-m|，即直线被圆所截弦长为：

2r2-d2=214（x12+4）-（x1+22-m）2

=-4（1-m）x1+8m-4m2

只需取1-m=0也就是m=1时，弦长为2（定值），这时直线x=1即为所求定直线。

通过本例我们发现，以AC为直径的动圆在定直线x=1上截得的弦长为定值，这个现象是偶然的吗？我们来类比一条大家比较熟悉的抛物线的性质“在抛物线中，以焦半径为直径的圆和抛物线在顶点处的切线相切”下面给出这条性质的证明。

例2.设抛物线方程为C：y2=2px，F为抛物线的焦点，A（x1，y1）是C上任一点。

求证：以AF为直径的圆与y轴相切。

证明：由已知：焦点F的坐标为（p2，0），由焦半径公式可知：AF=x1+p2，AF为直径的圆的圆心为线段AF的中点其坐标为（x12+p4，y12），所以圆心到y轴距离：d=x12+p4=12AF，圆心到y轴距离恰为圆的半径，所以AF为直径的圆与y轴相切。

将上面的例2和例1进行对比，发现在例2中的y轴（x=0）相当于例1中的定直线x=1，只不过因为F点的特殊身份（恰为焦点）导致这个背景下的动圆与定直线y轴是相切关系（相当于固定弦长为0）。

由此我试着去猜想：在以抛物线的对称轴上任意一定点和抛物线上的一个动点的连线段为直径的圆都会和某一条垂直于对称轴的定直线保持所截得的的弦长为定值吗？

接下来对这一想法做出探讨和证明。

例3.设抛物线方程为C：y2=2px，点C（m，0）为x轴上一定点，A（x1，y1）是C上任一点。

探讨：是不是存在一条平行于纵轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为确定的值呢？若存在求出这一定直线的表达式，若不存在，请说明理由。

证明：设有直线l：x=n满足题干条件，由已知可得AC的中点E（x1+m2，y12），AC=（x1-m）2+y12，所以以AC为直径的圆的半径为r=12AC=12（x1-m）2+y12=12x12+m2+2（p-m）x1，易求得点E到直线x=n的距离为d=|x1+m2-n|，因此直线被圆所截弦长为：

2r2-d2=214x12+14m2+12（p-m）x1-（x1+m2-n）2

=2（n+p2-m）x1+nm-n2

取n+p2-m=0也就是n=m-p2时，弦长为：2nm-n2（定值），所以直线为x=m-p2为要求定直线。

这样，我们便把抛物线中这一类，“以抛物线对称轴上的定点和其上的动点连线段为直径的圆存在相关定直线，使动圆在该直线上所截得的弦长为定值”的问题，做出了一般化的推广和证明。这种“动中有定，变中有恒”的规律，正式圆锥曲线的奥妙之处。

參考文献：

[1]黄卫平.与有心圆锥曲线顶切线相关的定性问题[J].中学数学研究，2014（10）：25.

[2]马海俊.圆锥曲线中的共性问题[J].高中生学习：高三理科，2015（1）：22-23.

基金项目：本文系2018度河北省“三三三人才”人才资助项目课题《生涯规划在数学课堂中的渗透》成果，项目编号：A201803084