内角和、外角和的那些事儿

欧小平

1634年，法国有一个叫帕斯卡的12岁男孩，他的父亲是一位受人尊敬的数学家。但他父亲错误地认为，学习数学对帕斯卡的身心健康有害，所以，他把家里所有的数学书都藏起来，不让帕斯卡看，甚至不允许他的朋友在帕斯卡面前谈论数学。父亲只让帕斯卡读很多古典文学书籍，希望帕斯卡能学好文学。

可“有意栽花花不开，无心插柳柳成荫”，帕斯卡父亲的这些做法，反而激发了帕斯卡对数学强烈的好奇感和探究的兴趣。他开始偷偷地学习数学。

有一天，他问父亲：“几何学是什么？”他父亲只是简单地回答说：“几何学是教人们画出正确而又美丽的图画的学科。”于是帕斯卡拿着粉笔，在地上画了各种几何形状。画着画着，12岁的帕斯卡突然发现，不论是大的三角形，还是小的三角形，抑或是不同形状的三角形，它们的内角和总是180°。为了证明“任意三角形的内角之和为180°”这一规律，年仅12岁的帕斯卡用更严谨的思维证明了：一个任何形状的锐角三角形都可以沿着它的高分为两个直角三角形，而两个直角三角形内角的角度之和为180°+180°=360°，但由于其中的两个直角正好组合成了一条直线，因此任意三角形的三个内角之和为360°-90°-90°=180°。用同样的方法可以证明出钝角三角形的三个内角之和也是180°。

当帕斯卡把这个发现告诉父亲时，父亲非常兴奋，主动把所有的数学藏书都拿出来给帕斯卡看。在父亲的精心教育下，帕斯卡很早就掌握了欧几里得几何学。他甚至独立地发现了欧几里得几何学中的前32个定理，并且顺序是正确的。后来，帕斯卡通过不断地学习和探索，终于成为一名世界闻名的数学家、物理学家和哲学家。

数学家帕斯卡让我们为之震惊，他年纪轻轻就能够发现如此重要的规律。美籍华裔数学家陈省身也让我们骄傲和引以为豪。他是当代著名的数学家，非常关心祖国数学科学的发展，被誉为“中国年轻数学学子的总教练”。

1980年，陈省身教授在北京大学的一次演讲中语惊四座：“人们常说三角形内角之和等于180°，但那是不对的！”大家都感到非常愕然。究竟怎么回事？任意三角形三个内角之和等于180°，这不是连小学生都已经知道了的数学常识吗？陈省身教授面对大家的疑问，给了我们一个非常精辟的解答：“说三角形的内角和是180°是错误的，不是说这个事实是错误的，而是说这种看待问题的方式是错误的。我们应该说三角形的外角和是360°。”

如果我们把目光仅仅盯住内角，那就只能看到三角形三个内角之和是180°，四边形的四个内角之和是360°，五边形的五个内角之和是540°……n条边的多边形内角之和是（n-2）×180°。

但是，如果我們来研究一下多边形的外角和，情况又会怎么样呢？通过研究，你就会发现三角形的外角之和是360°，四边形的外角之和是360°，五边形的外角之和也是360°……任意n条边的多边形的外角之和都是360°。这是一个非常简单的结论，它概述了各种情况。用一个与n无关的常数代替与n有关的计算公式，得到了一个更一般的规律。

想象一只蚂蚁围绕多边形的边界绕圈子爬行，每次经过一个顶点时，它的方向都会改变一次，而且改变的角度正好是顶点地方的外角。当蚂蚁爬完一圈又回到原点，方向和出发时是一样的，而角度变化的总和正好是360°。

这样看问题，不仅可以直观地解释多边形外角之和等于360°的一般规律，而且可以立即将我们的目光引向更广阔的世界。

一条凸的闭曲线——卵形线，它没有内角也没有外角。但当一只蚂蚁在卯形线上爬行时，爬行方向会不时地改变，爬完一圈，角度变化之和是360°。

“外角和为360°”，此规则适用于闭合曲线！只是在表述的时候要用“方向改变量之和”来代替多边形中的“外角和”的说法罢了。

数学家波莱尔说：“数学家的目的往往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题。”即从共同的、众所周知的事实出发，逐步深化和普及，挖掘出广泛适用的深刻规律。从这里，我们不难看出数学家透彻敏锐的眼光，以及数学家对真理穷追不舍、孜孜以求的执着精神。