学数学就是要讲“理”

戴回娟

数学很美，几何图形有對称美，代数式子有简洁美;数学有情，数学与人类相伴相依，解决现实问题，为科学技术、生产生活服务。数学又是最讲理的。数学中有许多规定、结论，为什么这样规定？这些结论正确吗？这就需要我们多问几个“为什么”，多讲讲道理。

最近，同学们在学习“平面图形的认识（一）”，许多几何结论不仅需要我们去发现、去提出、去判断，还需要我们知道为什么，更需要我们用一定的方式说出来、写出来。

如教材的第149页：如图1，因为B是线段AC的中点，所以AB=BC=1/2AC或AC=2AB=2BC。

再如教材的第156页：如图2，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。

这里的“因为……所以……”就是一种说理方式。这是我们第一次用这种方式表达。我们不仅要知道结论是什么、为什么，还要学会用规范的数学语言表达。在几何学习初期，我们除了要规范表达外，还要交代得到结论的依据。

如教材第161页练习3：如图3，直线CD经过点O，OC平分∠AOB。∠AOD与∠BOD有怎样的大小关系？为什么？

解：∠AOD=∠BOD。

理由如下：

因为C、O、D在一条直线上（已知），

所以∠AOD+∠AOC=180°（平角的概念），

∠BOD+∠BOC=180°（理由同上）;

因为OC平分∠AOB（已知），

所以∠AOC=∠BOC（角平分线的概念），

所以∠AOD=∠BOD（等角的补角相等）。

这里，将得到结论的依据在结论后面用括号形式注明。

我们知道，几何研究最讲究逻辑，要探究因果关系，得出的每一个结论都应该有理由、有依据。因此，同学们在几何学习中应该养成言必有据的习惯，并用一定的格式把过程和依据表达出来。在我们初学几何阶段，“因为……所以……”是用中文表示，随着学习的深入，我们还可以用数学符号来表示。

其实，数学的“讲理”，在小学数学、初中代数学习中就有所体现了。

在小学，我们学习了圆的面积公式S=πR^{2。这个公式是天生的吗？不是，也是有道理的。}

如图4-①，我们把圆等分成若干个扇形，沿这些扇形的半径将圆剪开，重新拼接后得到如图4-②所示的图形。当分成的扇形个数足够多时，所拼得的图形接近长方形，其高为半径R，长为圆周长的一半πR，于是，圆的面积接近长方形面积R×πR，即πR^{2。这里用到了极限的观念和转化的方法，初步解释了圆的面积公式的由来。}

进入初中后，我们学习了代数中的有理数、整式的运算。大家有没有发现，其实代数也是需要讲道理的。

比女口计算：（3m-2n）（-3m-2n）。原式=（-2n）²-（3m）²=4n²-9m²。

为什么可以这样计算？为什么得到这样的结果呢？

我们研究了平方差公式，并用代数计算和图形拼接的方法说明了公式的正确性。现在，将代数式（3m-2n）（-3m-2n）与平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²对比发现：二者之间有相似之处，但也有不同之处。通过变形，能看出：代数式的形式符合公式特征，故变形为（-2n）²-（3m）²。由此可知：代数的每一步运算都是有根据的。这个过程就是“讲理”，只是没有像几何那样，用“因为……所以……”这种格式表示罢了。

讲“理”，不仅应该成为我们数学学习必须养成的习惯，更应该成为一种必备的品质，一种数学的精神——理性精神！