“距离”的本质是什么

张亚峰

什么是距离？或许同学们觉得这个问题提得很可笑，因为我们在学习中接触了太多的关于“距离”的问题了。

真的可笑吗？不妨请同学们来思考这样一个问题：如图1，已知线段AB及点P，画出表示点P到线段AB距离的线段。

也许你会说：这还不简单吗？如图2，过点P作BA延长线的垂线，垂足为H，则线段PH就是。

如果这样，那你就大错特错了。为什么呢？我们不妨来回顾教材上关于“距离”的内容。目前，我们学习的“距离”有两种：一种是“点与点之间的距离”，一种是“点到直线的距离”。

教材对“两点之间的距离”这样规定：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。

在七年级“垂直”一节中，教材在定义“点到直线的距离”时，首先在直线上取若干个点，量出直线外的点到这些点的线段长，发现垂线段最短，于是把这条垂线段的长叫做“点到直线的距离”，还指出“直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短”。

由此可见：“距离”的本质是最短！因此，上述问题中，如图3，线段PA才是表示点P到线段AB距离的线段。

然而，我们的教材中一般说的都是点到直线的距离。如七年级“垂直”一节有这样一道练习题：如图4，度量图中点C到直线AB的距离时，甲说：“只要量出线段AC的长度即可。”乙说：“过点C画不出直线AB的垂线，所以量不出点C到直线AB的距离。”你认为他们的说法正确吗？如果不正确，那么怎样量出点C到直线AB的距离呢？

问题提供的图形载体是△ABC，要求度量的是“点C到直线AB的距离”。如果把直线AB换成线段AB呢？同学们可以自己尝试做一下。

下面，我们来总结一下。

1.点与线的距离。

指该点到线上所有点的连线中最短的那条线段的长。如点到线段、射线的距离，既包含“垂直”的情形（如图5），也包含“非垂直”情形（如图6、图7），还包含点与曲线的距离，如点与圆的距离：连接平面内一点与圆上各点的所有线段中，最短的那条线段长就是该点到圆的距离（过该点与圆心的直线与圆有两个交点，以该点和这两个交点为端点的两条线段中较短的那条线段）。

2.任意两个图形（包括空间图形）之间的“距离”。

如图8，曲线C₁、C₂之间的距离，即指连接C₁、C₂上任意两点的所有線段中最短的那条线段的长。特殊地，两平行线间的距离就是与两平行线垂直的直线夹在两平行线间线段的长;两个图形如果有公共部分，那么这两个图形之间的距离为0。

在几何中，点与线、线与线、图形与图形间的距离，都是基于“点与点之间的距离”而定义的。其最本质的意义是“最短”，只不过初中阶段不去研究那么复杂的问题罢了。

同学们，现在你还感到开头提出的问题可笑吗？