“两个最短”的联系与区别

华昭琴

“两点之间线段最短”是我们生活中能验证的基本事实;“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”是我们通过度量、比较发现的结论。在几何学习中，不少同学容易混淆这两个“最短”而出错。因此我们有必要搞清楚它们之间的联系与区别。

首先，二者之间联系密切。我们来看“垂线段最短”，这里的“最短”是直线外一“点”与直线上各“点”连接的所有线段中最短的那条线段，换句话说，“垂线段”的本质是直线外一点到垂足这个点之间的线段长，最终还是两点间的线段。

其次，二者之间区别明显。“两点之间线段最短”指的是点与点之间的关系，而“垂线段最短”指的是点与线之间的关系。

下面结合实例来帮助同学们加深理解。

例1 如图1，小华站在长方形操场的左侧A处。（1）若要到操场的右侧，怎样走最近？请画出路线并解释。（2）若要到操场对面的B处。怎样走最近？请画出路线并解释。

【解析】（1）实际上就是找A点到操场右侧所在直线的最短距离AC，如图2，理由：垂线段最短。（2）是找A点到B点的最短距离AB，如图3，理由：两点之間线段最短。

【点评】实际问题中涉及路线最短问题时，首先要弄清楚是点与点之间的，还是点与线之间的最短距离，再从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”中去选择。

例2如图4，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5。点P是线段AB上的一动点，求线段CP的最小值。

【解析】因为P点是动点，所以首先得判断出什么时候CP最短。C点与线段AB上各点连接的所有线段中，垂线段最短。所以当CP垂直AB时，CP有最小值。然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可。因为A_BCA=90°，所以S△_{ABC=1/2BC×AC=1/2AB×CP。因为BC=3，AC=4，AB=5，所以CP=2.4。}

【点评】判断出CP最短时的情况是解决本题的关键。