地图上的数学猜想

华兴恒

在印制地图时，为了便于区分，常把相邻的国家或地区印成不同的颜色。当然，如果每个国家或地区各用一种颜色，确实能达到区分的目的，可颜色太多，不仅给地图的印制带来麻烦，而且看上去也不美观。由此产生了这样一个问题：至少需要几种颜色才能将相邻的国家或地区区别开来？

翻开中国地图可以看到，湖北省被陕西、河南、安徽、江西、湖南、重庆六省、市包围，按说需要七种颜色来区别它们，可实际上这七个省、市中由于有好几个没有共同的边界，因此只要四种颜色就可以区分省界。

人们在实践中发现，一张地图上的行政区划不管多么复杂，只需使用四种颜色着色，一般都能保证各省、市公共边界地区为不同的颜色，这就是著名的“地图四色问题”，又叫“四色猜想”。

最早提出“地图四色问题”的是英国人费南西斯·格斯里。1852年，刚从伦敦大学毕业的格斯里在英格兰的地图上进行了着色实验，结果发现这样一个规律：要使有公共边界的两个区域顏色不同，3种颜色太少，5种颜色太多，4种颜色刚好！

格斯里想用数学的方法予以证明，未能如愿。为了寻求答案，他请教了著名数学家德·摩尔根。摩尔根也没有找到解决这个问题的方法，于是他写信向自己的好友——著名数学家哈密尔顿请教。哈密尔顿收到摩尔根的信后，对“四色问题”进行了论证。但直到他逝世，这个问题也没有得到解决。

1878年，英国数学家凯莱在该国数学学会会刊上发表了一篇文章，将上述问题归纳为“四色猜想”，并通报给伦敦数学学会的会员们，以寻求证明方法。

一年后，一位名为肯普的律师兼数学家试图用反证法证明“四色猜想”。他先假设一张地图至少要用 5种颜色，然后证明结果与假设矛盾，从而说明需要 4种颜色。但 11年后的 1890年，数学家赫伍德指出肯普的证明是错误的，因为他遗漏了一个重要的步骤，而这个步骤的计算量又十分庞大。于是，“四色猜想”变成一个悬而未决的问题。

100多年来，“四色猜想”成了困扰数学家们的世界难题之一。直到 20世纪中叶，电子计算机的诞生为该问题的求解提供了技术条件和理论可能性。1976年，美国伊利诺斯大学教授肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯利用高速计算机证明了这个猜想，在数学界产生了深远的影响。

据报道，阿佩尔和哈肯沿着肯普的思路编制了一个严密的计算机程序，对 2 000多张不同构型的地图进行模拟计算，用了3台高速计算机，花费 1 200多个小时才获得成功。

如今，仍有许多数学家继续探究“四色猜想”，毕竟对他们来说，探索的过程比问题本身更加有趣。

延伸阅读：

哥尼斯堡七桥问题

数学中还有哪些像“四色猜想”这样有趣的问题？这就不得不提哥尼斯堡七桥问题。

在 18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，一条河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来。有人提出一个问题：一位步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？

后来，大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了该问题，而且给出了连通图可以一笔画的充要条件：奇点的数目不是 0 个就是 2 个（连接到一点的线条数如果是奇数条，就称其为奇点，如果是偶数条就称其为偶点，要想一笔画成，中间点必须均是偶点，也就是有一条来路必有一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图若能一笔画成，奇点要么没有，要么在两端）。

欧拉的方法表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个问题抽象成合适的数学模型，这种研究方法就是“数学模型法”。