Hayman猜测的一个简单证明

邓 琴

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

1 预备知识及相关引理

为了叙述方便，用A表示绝对常数，在不同地方可以表示不同的常数。

记

(1)

式中，γk(k=1,2,3,…)为对数系数。

为了证明Hayman猜测，需要以下2个引理。

(2)

(3)

引理2[7]设f(z)∈S，γk是对数系数，0

(4)

2 Hayman猜测的证明

(5)

证明设f(z)∈S，根据式(1)可得：

(6)

对于一个任意的参数t，|t|=1，构造一个函数

(7)

令

(8)

式中，

(9)

(10)

利用式(7)、式(8)和式(9)，有：

(11)

式中，

(12)

由文献[7]可得{βk}是一个单调递减数列，且满足下面2个不等式

(13)

(14)

比较式(11)两边关于z的同次幂系数并取模，有：

(15)

利用引理2，有

(16)

(17)

利用引理1和式(17)，从式(9)和式(10)可得：

(18)

(19)

3 结束语

Hayman猜测是Goluzin问题中一个比较古老的经典问题。本文通过定理1说明了Hayman猜测是正确的，并采取一个非常简单的方法——Milin方法成功地证明了该定理。