基于蠕变全过程的广义凯尔文体力学损伤模型改进与验证

崔峰 马成卫

摘 要：巖石的蠕变在岩石力学研究中至关重要，岩石的蠕变表现出明显的阶段性。为了完整准确地描述岩石蠕变的全过程，在广义凯尔文模型的基础上定义了一个作用函数，串联一个非线性粘性原件并引入损伤因子，分别描述稳定蠕变和加速蠕变阶段，建立了广义凯尔文体力学损伤模型。利用Origin软件对绿片岩和盐岩的蠕变曲线进行分段拟合，并将实际蠕变曲线和改进后模型计算值进行比较。结果表明：岩石的损伤会加快岩石在加速蠕变阶段的变形，引入损伤因子之后，模型能较好的描述加速蠕变阶段的变形;改进后考虑损伤的广义凯尔文体模型能完整描述蠕变全过程，新模型的计算值与实验值拟合程度较高，验证了模型的合理性。反映出改进后的模型对三轴压缩实验和单轴压缩实验均适用，并且适用于刻画高围压下的岩石蠕变变形。为岩石蠕变的研究提供了一种新的力学模型。 关键词：蠕变;改进广义凯尔文体;损伤;非线性拟合中图分类号：TU 45

文献标志码：A

文章编号：1672-9315（2020）01-0058-06

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0108开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Improvement and verification of generalized Kelvin damage

model based on the whole creep process

CUI Feng 1，2，3，MA Cheng-wei 1

（1.College of Energy Science and Engineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

2.Key Laboratory of Western Mine Exploitation and Hazard Prevention，Ministry of Education，

Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

3.Key Laboratory of Coal Resource Exploration and Comprehensive Utilization，Ministry of Land and Resources，Xian 710021，China）

Abstract：

A vital subject in the study of rock mechanics，the creep of rock

shows distinct phases.In order to describe the whole process precisely，an action function was defined

based on the generalized Kevin model，to show the stabilization creep phase，a nonlinear viscous element was connected in series and a damaged parameter was introduced to describe speedup creep phase;then，the generalized Kevin mechanical damage model was created.The model was verified by fitting the creep curve of greenschist specimens and rock salt specimens for every stage using Origin，and a comparative study was made of the actual creep curve and the calculated value of improved model.The results indicate that the damage will accelerate the creep in speedup creep phase，and the model can describe this stage well with the damaged parameter introduced;the improved generalized Kevin model considering damage can describe the whole creep，and the calculated value of new model fits well with the experimental value，indicating the rationality of new model.The examination shows that the improved model applies to triaxial compression testing and uniaxial compression testing，and it can also describe the rock creep under high confining pressure.Accordingly a new mechanical model for the further study of rock creep is provided.Key words：creep;improved generalized Kelvin damaged model;damage;nonlinear fitting

0 引 言

蠕变是岩石一种重要的力学性质。特别是在深部矿井中，较大的应力作用下岩石蠕变速率会有明显加快，造成巷道顶底板显著变形[1]，影响巷道通畅及安全使用。国内外学者对岩石蠕变进行了大量的研究，并取得了丰硕的成果。蠕变模型是研究岩石蠕变的一种重要形式。在改进岩石流变本构模型方面，刘峻松等利用岩石蠕变具有阶段性的特征，建立了基于分数阶微积分的新三元件岩石蠕变损伤模型[2];杨逾等以Burgers模型为基础，建立了基于勒梅特原理的改进Burgers模型，发现围压会延长蠕变时间增大变形量而孔隙水压会削弱围压的影响，并通过MTS815.02实验系统验证了其准确性[3];张亮亮等将非线性粘性元件串联在Poyting-Thomson体上，构建了新的力学模型，并利用origin软件进行了参数辨析，模型可以很好的描述加速蠕变阶段[4];马白虎分析泥岩的蠕变曲线，定义了非线性作用函数，并将其引入西元模型中，建立了改进西元模型[5]。在流变实验研究方面，张强勇等开展了不同温度下花岗岩的蠕变实验，发现了温度和蠕变应力值与破坏时间之间的反比关系[6];叶剑红等对中国南海钙质砂进行三轴排水蠕变实验，表明钙质砂的蠕变为衰减型稳定蠕变，发现Mesir蠕变模型能很好的描述钙质砂的蠕变[7]。

当前对蠕变的研究主要是以三轴压缩实验为主的特定岩石蠕变实验和建立新的蠕变模型，对岩石在蠕变阶段的损伤考虑较少。鉴于此，文中在传统广义开尔文体模型的基础上，引入作用函数和非线性粘性元件，并考虑损伤的影响，建立了改进广义开尔文体力学损伤模型。通过与绿片岩三轴压缩实验和盐岩单轴压缩实验结果的对比，发现模型的计算值曲线与岩石实验值曲线能很好的拟合，为岩石蠕变的研究提供了一种新的模型，具有很大的实用价值。

1 改进广义凯尔文体模型

广义凯尔文体模型是由一个凯尔文元件和一个弹簧串联而成，其力学模型如图1所示[8]。

式中 k1，k2为弹性模量，MPa;η为粘性系数，GP/h 2;σ和ε分别为应力和应变，σ单位为MPa;

和分别为ε和σ对时间的导数。

在恒定载荷σ0作用下，由于广义凯尔文体由弹簧和凯尔文体2部分组成，故其蠕变变形也应该由这2部分组成，蠕变方程为

ε（t）=σk1+σk2（1-e -k2ηt1）

（2）

式中 t1为衰减蠕变时间，h;σk1为弹簧的瞬时变形;

σk2（1-e -k2ηt1）

为凯尔文体的蠕变方程。

凯尔文体的蠕变方程为

式（3）对时间求导得

式中 ση为一定值，当t1持续增大直到某一时刻t0时f（t）=

σk2将不变，由式（3）、（4）可知，凯尔文体的蠕变是非线性且速率逐渐减小的，可以用来描述衰速蠕变阶段。因此广义凯尔文体可以描述瞬时应变和衰减蠕变，但却无法描述等速蠕变阶段和加速蠕变阶段，下面对这2个阶段分别进行讨论。

首先针对等速蠕变阶段，定义作用函数

y（t）=βt2

（5）

（t）=β（6）

式中 β為作用因子为一定值，h -1，描述蠕变速度;y（t）为应变;t2为模型稳定蠕变时间，h.

该作用函数y（t）表现出明显的线性特征，并且作用因子是一个定值，因此可以描述等速蠕变阶段。

其次针对非线性加速蠕变阶段，在广义凯尔文体上串联一个非线性粘性原件[9]，其力学模型（图2）和本构关系如下：

本构关系为

σ=ηss，（ε≥εs）（8）

式中 ε为总蠕变值;εs为加速蠕变初始值;ηs为非线性粘性系数，GP·h.

由本构关系可得，只有当模型蠕变进入加速阶段后，非线性粘性元件才会产生作用，并且

式中 t3为模型进入加速蠕变的时间，h.

据此将广义凯尔文体模型和非线性粘性元件串联起来组成改进的广义凯尔文体模型（图3）。

由于改进后的广义凯尔文体模型中各组成元件是串联关系，所以其蠕变方程为

将式（10）对时间求导可得到蠕变的速度和加速度表达式[10-11]，即

由式（11）、（12）可知，在蠕变开始阶段，只有瞬时应变，且蠕变速度随着时间的推移逐渐减慢，表现为减速蠕变。当达到一定时间后，速度趋于稳定，表现为稳定蠕变;当蠕变进入加速阶段时，速度明显加快，表现为加速蠕变。上述过程符合岩石的实际蠕变过程，因此本模型可以定性的描述岩石蠕变的全过程。

2 岩石损伤分析

由于岩石中存在大量的细微裂隙，在载荷作用下，裂隙会逐渐发育，最终导致岩石的破裂，因此对岩石蠕变过程的研究，损伤不可忽视。

苏联学者Rabotnov提出了岩石损伤因子[12]的概念，徐卫亚等考虑损伤对加速蠕变阶段的影响，重新定义了岩石的蠕变损伤因子[13-15]

式中 μ和n均为材料的自身参数。

结合苏联学者Kachanov定义的有效应力，得到全应变过程中有效应力[16-18]

式中 σ为初始应力，MPa;为有效应力，MPa.

联立式（10）、（14）得广义凯尔文体损伤模型的蠕变方程

3 模型验证与参数确定

由于岩石的抗压强度具有较大差异，且与围压大小密切相关，为了证明改进后模型的适用性，引用文献[19]中绿片岩三轴压缩实验的实验数据以及文献[20]中盐岩C1单轴压缩实验的实验数据进行验证。

3.1 绿片岩蠕变实验的验证

图4中实验值曲线为绿片岩的三轴压缩全应变曲线，围压σ3为15 MPa，竖直应力σ1为100 MPa.由实验值曲线知绿片岩在0～0.3 h为衰减蠕变，0.3～1.2 h为等速蠕变，1.2 h之后为加速蠕变。

在同一应力水平下，可以根据ε=σ1k来确定弹性模量k1

[21]

k1=σ1ε0=22 GPa

（16）

0～0.3 h为衰减蠕变阶段，将0～0.3 h对应的曲线利用origin软件进行指数形式的非线性拟合，得到弹性模量k2和粘性系数η.

ε1（t）=0.017 38（1-exp（-8.560 7t））

（17）

k2=5.754 GPa（18）

η=0.651 GPa·h（19）

0.3～1.2 h为等速蠕变阶段，将0.3～1.2 h对应的曲线进行线性拟合，得到作用因子β

ε2（t）=0.011 6t

（20）

β=0.116/h -1（21）

1.2 h之后為加速蠕变阶段，将1.2 h之后的曲线进行指数形式的非线性拟合，得到粘性系数ηs和材料的自身参数μ，n.

ηs=0.556/GPa·h2

（22）

μ=260，n=0.7

（23）

绿片岩改进后模型的参数见表1.将所得参数带入式（15）中得绿片岩的蠕变方程为

式中 t1，t2，t3分别为模型的衰减蠕变、稳定蠕变和加速蠕变时间段。

在绿片岩实验值曲线上绘制出改进凯尔文体计算值式（24）曲线和传统广义凯尔文体计算值曲线，如图4所示。可见传统广义凯尔文体模型只能描述瞬时应变和衰减蠕变阶段;改进后模型可以描述瞬时应变和蠕变的全过程，特别是在加速蠕变阶段曲线呈现出明显的非线性，且改进后模型计算值曲线与实验值曲线拟合度较高。因此改进后模型可以定量的描述绿片岩蠕变的全过程。

3.2 盐岩蠕变实验的验证

图5中实验值曲线为盐岩单轴压缩实验的全应变曲线，竖直应力σ1为14.41 MPa.盐岩在σ1作用下产生的初始应变ε0为2.52%.由实验值曲线可知盐岩的蠕变同样分为3个阶段，按照上文计算

绿片盐参数的方法可以得到盐岩对应的参数（表2）。

将所得参数带入式（15）中得到盐岩的蠕变方程为

式中 t1，t2，t3 分别为模型的衰减蠕变、稳定蠕变和加速蠕变时间段。

在盐岩的实验值曲线上绘制出改进凯尔文体

计算值式（25）曲线和传统广义凯尔文体计算值曲线，如图5所示。传统广义凯尔文体模型只能描述瞬时应变和衰减蠕变阶段;改进后模型可以描述瞬时应变和蠕变的全过程，在加速蠕变阶段曲线呈现出明显的非线性，且改进后模型计算值曲线与实验值曲线拟合度较高。因此改进后模型可以定量的描述盐岩蠕变的全过程。

从图4和图5可以看出，在三轴压缩载荷作用且竖直应力较大的条件下，绿片岩蠕变时间将近1.9 h;在单轴压缩载荷作用且竖直应力较小的条件下，盐岩蠕变时间将近1 200 h.而两者的拟合效果均较好，证明改进后模型在三轴压缩和单轴压缩条件下均适用。

4 结 论

1）传统的广义凯尔文模型不能完整的描述岩石蠕变，引入作用函数并串联了非线性粘性元件来反应稳定蠕变阶段和加速蠕变阶段，改进了广义凯尔文模型，定性的描述岩石蠕变的全过程。

2）考虑损伤对岩石蠕变的影响，引入蠕变损伤因子与有效应力概念，推导得出了考虑蠕变损伤的广义凯尔文体蠕变方程。

3）改进后的考虑蠕变损伤的广义凯尔文体蠕变方程能够较好的实现绿片岩短时三轴压缩蠕变实验数据和盐岩长时单轴压缩蠕变实验数据的拟合，验证了模型的合理性。反映出改进后的模型对三轴压缩实验和单轴压缩实验均适用，并且适用于刻画高围压下的岩石蠕变变形。

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