谈函数相关概念的理解

高媛

摘 要：高等数学学习的基础就是概念，概念的理解关乎着高等数学的学习和认识。文章以高等数学最基础的函数的概念为开端，介绍了函数概念的理解以及与函数概念相关的常见概念的理解。由易到难介绍了这些概念的重点、难点和如何用通俗的方法理解，有助于帮助同学们更好的学习高等数学。

关键词：函数 反函数 基本初等函数 初等函数

高等数学现在已经成为大学生公认的最难的学科之一了，各个院校每年高数挂科的学生都不少，其实高等数学学习不难，难就难在理解，最基础的理解就是高数的概念，高数的概念如果没有理解透彻，可想而知高数题怎么做好。高数概念中最基础的就是函数，函数的概念也经常困扰着我们。有的人谈到函数就头疼，下面我们就来谈谈让人头大的函数。

一、函数的概念

学习函数我们知道函数有两个要素：定义域和对应法则。刚刚我们已经提到了定义域，简单说就是x的取值范围，也就是所有使函数式子成立的x.我们做函数题的时候经常会考虑到定义域，不同的函数对应不同的定义域。下面我们总结一下常见的定义域分类：

1.分式，如果函数是分式则分母不能等于零，否则无意义;

2.偶次根式，偶次根式要求根号下面要大于等于零;

3.对数式，对数式中对数符号后面应该大于零;

4.三角函数中正切和余切，正切函数不能是直角，余切函数不能是平角;

5.反三角函数中反正弦和反余弦，反正弦和反余弦符号后面的绝对值要小于等于1.

综上所述总结下来为：分式分母不为零，偶次根下负不行;零和负数无对数，整式奇次根全行;正切函数角不直，余切函数角不平;反正反余都一样，符号后绝对值不大于1;其余函数是实集，多种函数求交集。根据这个口诀所有涉及定义域的问题都可以解决。

对应法则也叫对应关系也就是我们常见的f，那么什么叫对应法则呢？例如，它的对应法则就是。当时，它就是这就是对应法则。同样咱们可以看出来函数的对应关系可以是几个x对应一个y（例如），也可以是一个x对应一个y（也就是常说的一一对应）。我们学习反函数会知道只有一一对应的函数才有反函数。

函数的概念是最基础的概念，理解函数的概念，了解函数的定义域和对应法则我们就能够真正地理解函数。也能够理解其他函数。

二、反函数

上面提到反函数，我们现在就来了解一下反函数。课本中是这样定义的：设函数的定义域是集合D，值域是集合M，若对集合M中任一y的值，都有唯一的 ，使得，则x也是y的函数，称它为的反函数，记作。习惯上我们用x表示已知量，y表示未知量，所以反函数写为。看着这个定义有点绕，其实也就是是说我们一般函数都是已知x求y，但是反函数是反过来的，它是已知y求x，最后我们还要把x和y换换位置。例如把y看成已知的求x，我们很容易得到，最后再互换x和y就得到，这就是我们要求的反函数。

反函数的要求是必须是一对一的函数，不是一对一的函数是没有反函数的。上面我们提到函数的对应关系有一对一和多对一，如果是多对一就会出现已知一个y有几个x与之对应这和我们函数定义违背，所以就不是函数了。由反函数的定义我们很容易看出来反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，这对我们求反函数的定义域作用很大。

其次我们常见反函数最难的就是反三角函数，反三角函数常见的有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）、反余切（arccot）.我们经常会遇到反三角函数的运算，例如arcsin1，很多人甚至不认识，根本不知道怎么做。其实利用反函数的定义我们可以这样理解，这个题也就是问你sin多少度是1？这样一下就出来了，所以。同样的道理其他反三角函数也是这样运算的。

反函数虽然简单但是我们会经常遇到，我们很多函数不光研究函数本身还要研究它的反函数，例如我们最最基础的基本初等函数。

三、初等函数

我們知道高等数学所有的内容都是在基本初等函数的基础上进行的，那什么是基本初等函数呢，基本初等函数分为五类，分别是：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。这五类函数是有特点的幂函数和它自身互为反函数;指数函数和对数函数互为反函数;三角函数和反三角函数互为反函数。这五个基本初等函数可以构造我们所认识的大部分函数。

复合函数：设，且的值域全部或部分包含在函数的定义域里，那么y通过u的联系可以成为x的函数，我们把它叫做x的复合函数，记作。其实简单看来复合函数就是一个函数里边套另一个函数。但是要注意一定要满足复合的条件，就是里边函数的值域要在外边函数的定义域范围内。

简单函数：由基本初等函数和常数，经过加减乘除四则运算而形成的函数。注意简单函数一定不是复合函数。简单函数其实比复合函数还要简单，所以复合函数有的也是简单函数复合而成的。复合函数的分解一定要分解成简单函数或基本初等函数。

初等函数是由基本初等函数和常数，经过有限次的四则运算和有限次的复合而成的，并且能用一个式子来表示的函数。简单来说初等函数就是简单函数和复合函数构成的，但是初等函数还有一个特点就是能用一个式子来表示，所以我们会发现分段函数也是初等函数，因为它可以用一个式子来表示，所以这个特点也不可忽略。

我们常见的大部分都是初等函数，所以我们掌握了初等函数的性质和特点，那么我们遇到基本上所有的简单的函数问题都可以解决了。

结语

文章主要介绍了函数相关的概念，由函数的概念依次引出了反函数、基本初等函数、复合函数和初等函数，并对每个概念做了分析。用更简单易懂的方法来理解函数相关概念，为我们以后学习函数的连续、微分、积分打好基础，也为我们学好高数提供条件。