从数学角度分析一阶微分方程求解

叶汇闽　李杰姣　陈洁

摘要：给出常微分方程及其解的定义，重点介绍一阶微分方程的求解。总结了三大类常见的一阶微分方程，即变量可分离的微分方程、其次微分方程、一阶线性微分方程，介绍这三类常见微分方程的解法。

关键词：一阶微分方程;通解;特解

引言：

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f（x）的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

一、微分方程及阶的定义

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫作微分方程。

n阶微分方程的一般形式为

F（x，y，y'，…，y（n）） =0                   （1）

标准形式为

y（n）=f[x，y，y'，…，y（n-1）]                  （2）

未知函数是一元函数y=y（x）形式的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程，其中导数实际出现的最高阶数n叫做该微分方程的阶。未知函数的导数最高阶数为1，即形如y'=f（x，y）的微分方程称为一阶微分方程。

在形如方程（1）的常微分方程中如果右端函数F对未知函数y和它的个阶导数y'，…，y（n）的全体而言是一次的，则称它是线性常微分方程，否则称它是非线性常微分方程。

方程

y（n）+a1（x）y（n-1）+…+an-1（x）y'+an（x）y=f（x） （f（x）不恒等于0）  （3）

称作n阶非齐次线性微分方程，f（x）称为自由项。

方程

y（n）+a1（x）y（n-1）+…+an-1（x）y'+an（x）y=0    （4）

称作n阶齐次线性微分方程。若其中的ai（x）（i=1，2，... ，n）与方程（3）的完全一样，则称方程（4）为方程（3）对应的齐次线性微分方程。

本文总结了三大类常见的一阶微分方程，即变量可分离的微分方程、其次微分方程、一阶线性微分方程。

二、微分方程的解、通解、特解

如果函数y=φ（x）代入（1）或者（2），使得等式成立，即

F[x，φ（x），φ'（x），…，φ（n）（x）] =0或φ（n）（x）=f[x，φ（x），φ'（x），…，φ（n-1）（x）]

成立，则称函数y=φ（x）为微分方程（1）或（2）的解。如果解的表达式含有个数与方程阶数相等的独立常数（形如y=φ（x，C1，C2，…，Cn），其中C1，C2，…，Cn为任意常数），则称其为通解。

可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件。最常见的定解条件是初始条件，n阶方程（1）或（2）的初始条件为

y|x=x0=k0，y'|x=x0=k1，… ，y（n-1）|x=x0=kn-1，

其中x0，k1，k2，…，kn-1是已知的，满足初始条件的解称为特解。

三、变量可分离的微分方程及其解法

定义：

如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0.

中的函数P（x，y）和Q（x，y）均可分别表示为x的函数与y的函数的乘积，则称为变量分离的方程。

解法：

令

P（x，y）=X（x）Y1（y），Q（x，y）=X1（x）Y（y），

变量分离的方程可以写成如下形式：

X（x）Y1（y）dx+X1（x）Y（y）dy=0.

以因子X1（x）Y1（y）去除上式的兩侧，就得到

X（x）dx/X1（x）+Y（y）dy/Y1（y）=0.

此方程的x与y互相分离，因此它的通积分为

参考文献：

[1]中公教育研究生考试研究院. 考研数学基础知识复习大全[M].北京：世界图书出版公司，2017：157-159.

[2]丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社.2004.

作者简介：

叶汇闽（1998-），女，汉族，四川省德阳市，本科，研究方向：数学。

李杰姣（1998-），女，汉族，四川省雅安市，本科，研究方向：数学。

陈洁（1996-），女，汉族，四川省德阳市，本科，研究方向：数学。