基于落点预测的高旋火箭弹弹道修正算法

杨泗智，龚春林，郝波，吴蔚楠，谷良贤,*

1. 西北工业大学 航天学院，西安 710072 2. 上海航天技术研究院，上海 201109

高旋修正火箭弹由弹道修正组件和火箭弹两部分组成，属于双旋体结构，采用轴承连接实现转速隔离。火箭弹起飞时靠发动机斜置喷管推力赋旋高速旋转，修正组件在气动力作用下绕弹轴反向低速旋转，修正组件根据制导指令将执行舵悬停在预定方位角产生控制力实现对高旋弹的修正控制[1]。由于高旋火箭弹的陀螺进动和马格努斯效应使火箭弹的动力学非线性耦合比较严重，目前国内外学者在该领域的研究主要集中在弹道修正组件的概念分析[2-4]，飞行动力学建模[5-8]、控制力作用下的等效力分析[9-10]、偏流效应和稳定性分析[11-14]等方面。而在高旋类修正弹的制导控制方面缺乏有效的制导控制算法。目前二维弹道修正领域常见的制导控制算法有：落点预测(Impact Point Prediction,IPP)、弹道跟踪(Trajectory Tracking,TT)制导和修正比例导航(Modified Proportional Navigation, MPN)控制等算法[15]。

落点预测(IPP)制导是以每一时刻弹丸所处的空间位置为起点，根据位置、速度等信息计算火箭弹无控条件下的落点位置，并与目标点进行对比，利用偏差量来确定控制力的方位角，实现修正控制[16]。弹道跟踪制导采用一条标称弹道，该标称弹道无偏差命中目标，弹起飞后根据时间插值求出弹的实际位置与标称弹道位置偏差，根据位置偏差确定控制力的方位角；修正比例导航(MPN)控制是利用弹目间的相对位置偏差和相对速度信息解算出剩余飞行时间,计算修正火箭弹在射程和方位的偏差量所需要的过载，利用需用过载确定控制力的方位角[11,15]。

上述几种算法均是采用纵、横向的偏差(修正)量的比例关系来确定控制力的方位角，即偏差量控制。该控制模式对于低旋弹或非旋转弹是可行的[16-19]，而对于高旋稳定火箭弹,由于弹体动力学的非线性耦合效应，使得控制过程中等效力的大小和方向不断变化，导致实际控制力与需要控制力之间存在偏差，控制持续的时间越长偏差越大，造成控制的终端出现一定的脱靶量。

针对该问题，本文分析了控制力与等效力的关系。采用弹道落点预测模型实时预测落点与目标的偏差量，通过小扰动法构建弹道修正敏感系数矩阵，利用弹目偏差量与修正敏感系数矩阵解算出需用修正量，并利用修正前后的速度矢量关系解算出修正量的大小、方位角及控制周期。在控制周期内按照方位角调整控制力方向，实现对火箭弹的修正控制，该算法以修正终点为目标，解决了高旋火箭弹的非线性强耦合导致的实际控制力与需要的控制力不一致的问题。

1 动力学模型

1.1 控制力及其产生的等效力分析

高旋修正火箭弹控制力方向如图1所示。图中：FR为执行舵产生的控制力；LCF为控制力到质心的距离；φf为控制力与准弹体系η1轴的夹角；CG为弹体质心的位置。在准弹体系下控制力可以表示为

(1)

式中：FRη1和FRζ1分别为执行舵产生的控制力在准弹体系η1轴和ζ1轴上的分量。

为了建立控制力与等效力之间的关系，需要引入控制力作用下的角运动方程，由控制力和角运动确定等效力，因此，需要引入以下符号

图1 制导火箭弹的控制力

(2)

式中：ρ为空气密度；S为参考面积；m为弹体质量；d为弹体直径；L为参考长度；Jz为修正火箭弹的赤道转动惯量；Cx为阻力系数；C′y为升力系数导数；C″z为马氏力系数导数；m′z为弹体俯仰力矩系数；m′zz为阻尼力矩系数；m″y为马氏力矩系数导数。

由于火箭发动机工作时间短，控制段不受发动机推力的影响，按照弹道学理论，采用弧长s为自变量得到攻角运动方程为[20-23]

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=

(3)

火箭弹的攻角主要由初始扰动攻角Δ0、重力引起的动力平衡角ΔG和控制力产生的附加攻角ΔFR组成，即Δ=Δ0+ΔG+ΔFR。火箭弹的运动是稳定的，初始扰动快速收敛，稳态时可认为Δ0=0。重力对攻角的影响是火箭弹产生偏流效应的主要因素，通过常数变易法可以得到动力平衡攻角为

(4)

式中：δ1p、δ2p为纵向和横向的动力平衡攻角。

因此，重力引起的动力平衡攻角可表示为

ΔG=δ1p+iδ2p

(5)

控制力产生的附加攻角由控制力的大小和方向决定，即控制力作用下的附加攻角为

Δ″FR+(H-iP)Δ′FR-(M+iPT)ΔFR=

[LCF/(Jzv2)-(kzz-iP)/(mv2)]FReiφf

(6)

控制力产生的附加攻角的稳态值为

(7)

附加攻角稳态值的大小和方向为

(8)

φn=φf+arctan(-PJz/(Jzkzz-mLCF))-

arctan(PT/M)

(9)

由附加攻角产生的升力FLΔFR和马格努斯力FMΔFR为

(10)

(11)

由于kzz和T均为小量，其对攻角的影响可忽略不计，可以得到附加攻角的幅值和相角为

(12)

φn=φf+π+arctan(PJz/(mLCF))

(13)

控制力产生的附加攻角与控制力的大小成正比，方向与控制力的方向接近相反。

由附加攻角产生的“升力”和“马格努斯力”为

(14)

(15)

1.2 控制力对火箭弹运动的影响

控制力对火箭弹运动的影响主要包括[1]：

1) 控制力对火箭弹的直接作用。

2) 控制力矩引起的附加攻角产生的升力和马格努斯力对火箭弹的作用。

因此，控制过程中的等效力为

Fc=FLΔFR+FMΔFR+FReiφf

(16)

由于|FMΔFR|≪|FLΔFR|，可忽略马格努斯力的影响，得到控制作用下产生的等效力为

(17)

当(-C′yLCG/Lm′z)+1>0时，附加攻角产生的升力大于控制力，等效力主要受附加攻角产生升力的影响，当(-C′yLCG/Lm′z)+1<0时则附加攻角产生的升力小于控制力，等效力主要受控制力的影响。

1.3 弹道模型建立

根据双旋体的动力学模型可以得到修正火箭弹的7自由度模型动力学为[5,18]

(18)

式中：Fp、Fa、Fc分别为发动机推力、气动力和控制作用下的等效力；Mf为修正组件受到的气动导转力矩；Ma为弹体受到气动力矩；Mafx和Mfax分别为弹与固定舵之间的作用力矩；H*为火箭弹前后体的合动量矩。

2 制导控制系统设计

2.1 弹道落点预测模型设计

高旋火箭弹存在严重的偏流效应，弹道落点预测不能采用简单的质点弹道模型。这里在无控7自由度模型的基础上简化处理得到的修正弹道，在简化过程中不考虑弹体姿态运动，弹轴以动力平衡轴代替[23]。气动力受动力平衡攻角的影响，由式(4)知动力平衡攻角不仅与速度有关还与转速有关，转速沿弹道是衰减的。因此，为了准确计算动力平衡角，需要保留滚转方向的动力学方程，得到修正的4自由度预测模型为

(19)

为验证预测模型的准确性，以火箭弹起飞后15 s启控弹道预测与7自由度模型仿真结果对比如图2所示。

由图2可以看出：采用弹道落点预测模型能够较好地逼近修正火箭弹的7自由度弹道模型，其落点误差不超过1 m，并且随着火箭弹不断接近目标，其精度也越来越高，能够保证制导系统的落点预测精度。

图2 弹道预测与7自由度模型仿真结果对比

2.2 制导算法设计

由于高旋火箭弹动力学是非线性的，控制力与修正量无法建立直接关系式，这里采用宗量法。根据7自由度模型可知：射程与射偏是速度、弹道倾角、弹道偏角、位置等的泛函，即

(20)

射程与射偏是其宗量函数的连续函数，由于制导控制段不带动力飞行，速度是无法改变的，但通过等效控制力可以改变火箭弹的运动方向，因此，以弹道倾角和弹道偏角作为控制对象，利用变分原理得到射程和射偏偏差量的宗量函数为

(21)

为计算需用修正控制量，这里采用小扰动法对火箭弹的倾角和偏角分别增加单位角度，引起射程和射偏的变化来计算敏感系数矩阵。通过敏感系数矩阵与射程和射偏的变化量即可确定弹道倾角和弹道偏角的修正控制量，即

(22)

修正控制量为

(23)

得到需用控制量的合偏角为

(24)

2.3 控制算法设计

为得到等效力方位角φn和控制周期Tp。合偏角可以按式(24)表示成矢量和的形式在控制前后速度矢量的位置关系如图3所示。

图3 修正前后速度矢量的位置关系

第1种途径是先在攻角平面内将单位矢量投影到oxv轴和oy″v上，再将oy″v上的分量投影到oyv和ozv轴上，得到单位矢量在oxvyvzv坐标系上的投影矩阵为[cosΔΣ,sinΔΣcosφn,sinΔΣsinφn]T。

两投影的元素对应相等，得到合偏角ΔΣ和方位角φn为

(25)

方位角所在的象限可由δθ和δψ的符号确定

(26)

通过φn即等效力的方位角，结合式(13)可确定控制力的控制角度φf。

等效力引起弹道倾角变化的角速度为

(27)

因此，得到控制周期Tp为

(28)

由于火箭弹采用固定鸭舵的控制,为评估执行舵的修正控制能力，这里对不同舵偏角，以控制方位角15°间隔悬停对火箭弹进行控制，得到火箭弹控制力作用下的覆盖区域如图4所示。

由图4可以看出火箭弹的修正能力与舵偏角成正比，且随着固定舵舵偏角的增大，右旋弹左侧的修正能力比右侧的修正能力更大。为确保修正能力覆盖火箭弹的散布，这里用8°舵偏角。

图4 不同固定鸭舵偏角的修正能力

3 仿真分析

为了验证制导控制算法，这里对某型转速为24 000 r/min的高旋火箭弹进行了仿真，采用弹道落点预测修正控制算法实时解算出控制力的方位角进行修正控制。高旋火箭弹的特征参数见表1。

表1 火箭弹的特征参数

火箭弹48°射角落点坐标为(10 735 m，0 m，581 m)，火箭弹的纵、横向散布为射程的1/120和1/80，设定目标点的坐标为(10 850 m，0 m，750 m)，弹道落点预测的启控时间设为15 s，仿真结果如图5～图9所示。

图5 控制力的控制角度

图6 修正控制和偏差量控制纵向和横向的修正量

图7 修正控制和无控弹道的姿态角及姿态角速度

由图5可以看出在按照给定的目标位置通过修正控制算法解算出控制力的角位置，控制力的控制方向在177°～186°之间，控制范围在10°内，有利于控制系统的响应和收敛；图6通过对比修正控制与偏差量控制可以看出火箭弹采用修正控制收敛较快，控制落点与目标的偏差为(0.32 m，0.28 m)，而采用偏差量控制算法控制过程一直在震荡中往目标接近，且得到的落点与目标的偏差为(34.75 m，0.49 m)，说明对于非线性动力学系统采用修正控制算法得到的控制力的方向能够同时满足横向和纵向的控制精度要求，而偏差量控制则不能满足该要求，修正控制优于偏差量控制；图7为修正控制引起的俯仰、偏航角及其角速度的变化和无控弹道的对比，可以看出对于修正控制除了在弹道顶点有波动外其余控制段均快速收敛；图8为弹道倾角和弹道偏角的变化与无控弹对比，图9为修正控制的三维弹道与无控弹对比，说明修正火箭按照目标方位进行修正控制，结合图6修正控制的修正量，验证了修正控制算法在修正能力范围内能够实现高旋火箭弹的精确打击，且控制过程收敛，证明修正控制算法适合高旋火箭弹的制导控制。

图8 修正控制和无控弹道倾角和弹道偏角曲线对比

图9 修正控制和无控弹道曲线

4 结 论

1) 在考虑陀螺和马格努斯效应的基础上分析了控制力对弹体的作用及角运动的影响，得到了修正等效控制力，建立了控制力与修正等效控制力之间的对应关系。

2) 建立了修正火箭弹的弹道落点预测模型，实时精确预测火箭弹的落点与目标的偏差量。利用小扰动法构造偏差量对控制量的敏感系数矩阵，根据偏差量解算出修正控制量，通过修正前后的坐标关系建立修正控制量的合矢量、方位角及控制周期。在控制周期内利用等效力与控制力之间的关系计算出控制力的方位角，实现修正火箭弹的修正控制系统闭环设计。

3) 该算法以修正终点为目标，解决了高旋火箭弹的非线性强耦合导致的实际控制力与需要的控制力不一致的问题，并通过对某型高旋修正控制的仿真分析，并与偏差量控制算法在纵向和横向的修正能力方面进行对比，验证该算法具有收敛速度快、控制精度高等特点，能够实现高旋火箭弹精确控制，具有一定的工程应用价值。