解析根的判别式在数学竞赛中的应用
2020-03-24柳汉伟
柳汉伟
【摘要】根的判别式是二次函数的重要知识点,其不仅可以判断二次函数根的情况,而且还能用来分析二次函数的图像,尤其在数学竞赛中的应用可高效解答相关题目.为使学生深入理解,牢固掌握根的判别式,在竞赛中能灵活应用,取得理想成绩.本文结合相关竞赛试题,就如何应用根的判别式进行探讨,以供参考.
【关键词】高中数学;根的判别式;竞赛;应用
众所周知,高中数学竞赛试题具有一定难度,对根的判别式的考查较为灵活,因此,教学中应注重对学生加以引导,积极联系所学,具体情况具体分析,避免思维定式,争取迅速找到解题的突破口.
一、在求取值范围中的应用
根据题干求某一参数或某一数学式的取值范围是竞赛中的常见题型,难度较大.解题需认真分析要求解的参数或数学式,进行巧妙换元,构造一元二次方法.使用根的判别式进行求解.为使学生能够熟练掌握这一题型的解题思路,感受根的判别式在解题中的妙用,应筛选经典例题,详细板书解题过程,给学生进行良好的示范,使学生能够从中获得启发,抓住问题本质,做到灵活应用.
此题是函数中中规中矩的问题,可以从正向利用根的判别式求解参数,在实际应用中,不能够直接使用Δ≥0,需要讨论函数对称轴与x=-1的位置关系,再开展相应的分类讨论活动.在解题过程中,根据题目构造新的函数,g(x)=f(x)-k=x2+(2-k)x+3-k,可以得出其对称轴,则题目可以转化成:当x>-1时,g(x)≥0恒成立.之后根据相应的情况开展分类讨论,对两种讨论情况进行总结,最终确定k的取值范围.
二、在求解方程中的应用
根的判别式与一元二次方程联系紧密.众所周知,当Δ≥0时,可使用求根公式直接求解.但數学竞赛中涉及的方程问题往往有两个参数,给出的关系式却只有一个,显然采用传统方法无法求解.这就需要根据所学找到另外的关系式.求解时可采用根的判别式求得其中一个参数,而后将其代入题干,便可解出方程.教学中为使学生感受具体解答过程,正确运用根的判别式解题,可讲解相关例题.
三、在不等式证明中的应用
不等式是高中数学重要的知识点,相关题目的证明方法较多.但竞赛中的不等式证明题目较为新颖,采用传统方法很难切入,需要学生联系所学,进行巧妙转化.其中根的判别式是一种证明方法.很多学生对该证明方法较为陌生,为使学生能够熟练掌握,教学中结合具体例题,对学生进行积极引导,提高应用根的判别式证明不等式的意识,不断提高解题能力.
四、在函数中的有效应用
高中数学课堂中,函数是重要的教学内容,和其他数学知识有着密切的联系,贯穿整个高中数学教学,是高考数学和数学竞赛中的重要考点.判别式是一种有效的解题方式,借助判别式完成问题的思考和解答,能降低函数问题解题难度,有效解决函数问题,保证学生解题效果和质量.因此,在实际的解题过程中,需要对函数问题进行分析,有效利用判别式解题,有效解答数学问题.
因此,在函数问题中,需要根据函数和方程的关系,结合函数构建相应的方程,对函数的结构特征进行分析,转化成关于x的一元二次方程,使得等式成立,结合其中的隐含条件,判断出y的取值范围,利用判别式完成解题,从而有效解答数学竞赛题目.
五、在数列中的有效应用
高中数学课堂中,数列是重要的教学内容,知识内容较为抽象,题目类型和变化比较多,在解题的过程中,需要对数列题目进行分析,采取有效的课堂教学方式,有效解决数列问题.在实际的解题中,通过对数列题目进行分析,灵活利用根的判别式,实现等式和不等式的连接,将问题转化成方程或者不等式,准确把握问题的解题关键.
在此题解答的过程中,公差d是等式和不等式联系的重要条件,对d设而不求,通过d将其转化成关于a1的一元二次不等式,准确把握问题的解题关键,从而有效解决数学问题.
六、在解几何问题中的应用
高中数学教学中,立体几何和解析几何是重要的数学问题,也是学生解题中的难点,对学生数学思维有着一定的要求,在实际解题中有着一定的难度.因此,对于解析几何问题,需要对问题进行分析,结合题目类型特点,灵活利用根的判别式,明确问题的解题思路,有效解答数学竞赛题目.
在此种类型问题的解题中,根据抛物线的对称性,进行假设构建相应的方程,利用判别式进行求解,引入新的思维方式,提高学生解题能力和创新能力.
七、结论
根的判别式是解答高中数学问题的重要工具,因此,教学中既要认真讲解,又要注重拓展学生的视野,使其感受根的判别式在竞赛试题中的应用,不断提高竞赛试题解题技巧.本文通过研究得出以下结论:一、做好竞赛试题中有关根的判别式题型的汇总,教学中精讲有代表性的试题.二、针对根的判别式在解题中的每一种应用,对学生进行专题训练,使学生在训练中加深印象,积累相关经验,在遇到类似竞赛试题时能够迅速找到解题方法,实现高效、正确解题.
【参考文献】
[1]方志平.根的判别式在数学竞赛中的妙用[J].高中数学教与学,2018(21):43-44,22.
[2]申楠.判别式法在高中数学中的应用[J].纳税,2017(23):174.
[3]袁亚平.运用一元二次方程根的判别式解数学竞赛中的最值问题[J].数理化学习(初中版),2009(3):22-23.