从模仿到思考过度的数学自学能力的培养
2020-03-20王超
摘要：从小学到中学，数学学习需要经历从模仿到思考的转变。模仿是形式的模仿，思考是对内容的思考，单纯模仿问题解决的方式而脱离对解决方式本身的思考就是机械模仿，是机械学习。没有思考的学习往往脱离对知识的理解，如同盲人摸象，为了让学生具备自主学习能力从而能够独立自学，本文展开了从模仿学习往思考学习过渡的研究。
关键词：模仿学习 思考学习 自主学习能力
“想要发挥教学的促进作用，必须要了解学习的本质。只有把握学习的性质，我们才能在教学的天地中自由驰骋。”[1]很多时候，教师面对学生的学习错误时，都会急着去解释或者举手无措，最后的结果是对于学习能力较差的学生，既没有听明白问题的思路，也没有把问题解决，这就使得教学工作非常低效。
一、检测学生模仿学习还是思考学习的素材举例
（一）幂的运算问题举例
【例1】阅读下面的材料：
求 的值.
解：设 ①，将等式两边同时乘以2，得：
②，
②-①得： ，即 ，
所以 。
請你仿照上述方法计算下列算式：
（1） ;
（2） （其中n为整数）。
对于第（1）小问，学生都能按照正确解出，说明学生都具备对原材料的计算过程进行形式模仿的能力，但是遇到第（2）小问，学生的答案主要有如下几类：
学生第一类错误过程：
解：设 ①，将等式两边同时乘以2，得：
②，
②-①得： ，即 ，
所以 。
错误分析：对于原材料的“将等式两边同时乘以2”的目的没有真正理解，属于机械模仿学习，没有对原材料的结构进行深入观察与思考。
学生第二类错误过程：
解：设 ①，将等式两边同时乘以3，得：
②，
②-①得： ，即 ，
所以 。
错误分析：对于原材料中“②-①”蕴含的“错位相减法”没有真正理解，也属于机械模仿学习，没有对原材料的结构进行深入观察与思考。
学生第三类错误过程：
解：设 ①，将等式两边同时乘以2，得：
②，
②-①得： ，即 ，
所以 。
错误分析：除了出现第一类错误外，对于等式右半部分的结构没有理解清楚，属于机械模仿学习，没有对原材料的结构进行深入观察与思考。
学生第四类错误过程：
解：设 ①，将等式两边同时乘以3，得：
②，
②-①得： ，即 ，
所以 。
错误分析：对于 ，左式说明学生的认识还停留在第一类错误上，右式说明学生的认识还停留在第二类错误上，没有对原材料的结构进行深入观察与思考，仍然属于机械模仿学习。
另外，学生还有一些奇奇怪怪的解题过程，都是反映学生的学习本质其实是大大小小程度的模仿学习。这个试题非常典型，它测出了学生的学习是模仿学习还是思考学习，只能正确解决第（1）题的学习方式是模仿学习，能同时解决第（2）题的才是真正的思考学习。
（二）因式分解的方法应用问题举例
【例2】分解因式：
该问题高效的解法应该是： ，
但是学生刚学习运用平方差公式因式分解时，会出现以下几种解法：
第一种解法： ;
第二种解法： ;
第三种解法： ;
还有其他步骤更绕的解法。
问题分析：以上第一种和第二种解法的过程严格来说都是正确的，第三种解法因为“添括号”导致符号出现过程错误。这三种解法其实都没有注意到原式的结构特征，反而绕了弯。这就是典型的机械模仿学习而不是思考学习，学生对于原式的结构没有仔细观察和分析，直接“套用公式”，不是基于理解的学习，是机械模仿学习。
【例3】已知α=1999 ，求 的值.
对于这种问题，个别学生的典型错误过程是：
问题分析：正确的过程是 ，
所以问题是学生未经深入思考，机械地把该多项式的结构看成是按未知数x降幂排列问题“x2+αx+b”，然后进行十字相乘法因式分解，导致错误。这又是典型的机械模仿学习，学生对于原式的结构同样没有仔细观察和分析，反而造成错误。
（三）因式分解的应用问题举例
问题背景：这是我班学生在学习了“含30°角直角三角形的性质”后，进行了勾股定理的单元达标测试。含30°角直角三角形的性质是：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，依据此性质，结合勾股定理学生已经知道其三边比是 。
【例4】有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如图1所示，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的高和门高。
图1 门框
正确方法是设未知数，依据勾股定理列方程，解出未知数即可。有一个较好学生的作答依据是认为这两个直角三角形的三边比是 ，然后利用此结论进行进一步推理计算，导致结果错误。
问题分析：这类学生在学习几何时过于关注图形的外形特征，没有将含30°角直角三角形的性质与一般直角三角形的性质区别开来，只记住了形，未记住量，属于典型的机械模仿学习，而不是单纯的记忆混亂。
二、如何帮助学生从模仿学习过渡到思考学习
学生出现机械模仿学习的案例，说明他们没有认真观察问题的形式和所学知识的关联，思维不够灵活，其实本质原因是系统思维[2]欠缺。教师发现学生出现了一系列机械模仿学习的信息后，应该及时提供帮助，提供几点建议：
1）教师应先有充分的教学预设和解决办法，使得在面对学生的问题时能够快速处理。
2）遇到学生出现了机械模仿学习的问题时，教师首先应引导学生分析错误的原因，尤其是问题中考查的素养，当素养问题缺漏时，也代表着学生解决该问题的思维出现了问题。如学生在例4中的错误，实际上没有理解含30°角直角三角形与一般直角三角形的本质区别，勾股定理是所有的直角三角形具有的共同性质，而含30°角直角三角形是特殊的直角三角形，它还具备一般直角三角形不具备的性质特征，因此教师应该引导学生在从研究一般直角三角形过渡到研究特殊直角三角形中，体会从一般到特殊的数学思想方法与研究方法。
3）学习的本质是思考，学习出现的根本问题也是思考出现的问题，因此解决问题的根本方法是学会如何思考。教师应做好长期的培养计划，提升学生的数学思维需要一个长期的过程，不断渗透，不断锻炼，为此应该把教学目光从教知识转向“教思维”[3]。
参考文献：
[1]盛群力.学习的本质[J].现代教学，2012，（10）：79-79.
[2]苗东升.系统思维与复杂性研究[J].系统辩证学学报，2004，（01）：1-5+29.
[3]王超.谈由因式分解展开的数学思维单元教学[J].教学管理与教育研究，2019，（07）：69-73.
（作者简介：王超，硕士研究生，青岛实验学校，中学二级教师，研究方向：数学教学。）
