面向学生思维活动的数学解题教学

卢萍 邵光华

摘要：数学教学必须回归到学生的数学思维活动上，尤其是数学解题教学，更应该注重学生解题思维活动的展示与引导，从而发展学生的数学思维，实现“为思维而教”。通过《圆和圆的位置关系》习题课中一道题目的教学改进，得到关于面向学生思维活动的数学解题教学的启示：由教师解释转向学生自我解释，由套用解题模式转向训练思维的开放性，由方法积累转向活动经验积累。

关键词：思维活动数学解题教学学生主体

一、问题提出

一节高二的《圆和圆的位置关系》习题课上，授课教师在40分钟内以讲授为主分析了5道题目。虽然所选题目经典，但是因为课堂教学内容多、任务重，教师希望时间都花在“刀刃”上，所以遇到一些烦琐的运算，都将过程一带而过。比如，处理以下题目时，教师简单分析题目后，给出了两种解题思路。

已知圆C：x2+y2-6x-6y+2=0，A、B为直线l：y=-x上的两个动点，且AB=4，圆C上存在点P，使PA2+PB2=10，则线段AB中点M横坐标的取值范围是。

圆C的方程即（x-3）2+（y-3）2=16，因此，圆心C（3，3），半径r=4。作出图1，由AB=4，PA2+PB2=10 ，M为AB中点，不难想到平行四边形的对角线性质（也是三角形的中线性质）：4PM2+AB2=2PA2+2PB2，得PM2=1，即PM=1。

思路1：利用三角形的三边关系可得CP-PM≤CM≤CP+PM。设M（a，-a），则3≤（a-3）2+（-a-3）2≤5，解得-142≤a≤142。

思路2：因为CO⊥l于O且CO=32，考虑最大值CM=5，此时OM=CM2-CO2=7。作MG⊥x轴于G，因为∠MOG=45°，所以OG=22OM=142。结合对称性，有-142≤a≤142。

课后，我们对学生做了访谈。大部分学生都认为，课堂进度太快。针对上述题目的处理，有学生说，平行四边形的对角线性质一时想不起来了;有学生说，思路2完全听懵了;有学生说，听老师讲时似乎懂了，可是自己做题时完全想不到……

显然，以教师讲授为主的追求课堂容量的解题教学，并没有达到理想的效果， 迫切需要转型。本文试做初步的思考和探索。

二、学理思考

学习的本质包括内容、动机和互动三个维度。以教师讲授为主的教学过度重视了内容输出，而忽视了学生的主观能动性和教学的互动作用。教学变革（转型）需要坚持以学生为中心，确保学生的主体性和社会化，激发学生从被动到主动的学习转变，实现学生从浅层到深层的学习进阶。为此，要提供学生内化和外化的学习机会，内化是给予更多的思考，外化是给予更多的表达。

学科思维就是学科专家发现（创造）和应用学科知识的思维方式。数学教学应该通过知识的“再发现”，让学生经历像数学家一样的思考过程。其实，早在20世纪中期，苏联数学教育家斯托利亚尔就指出：“数学教学应是数学思维活动的教学。”数学教学要让学生经历并暴露数学思维活动的发生、发展过程，这样，学生才能真正感悟数学思想方法，获得数学活动经验，形成数学学科核心素养。诚如《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出的：“数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。”“数学教育（要）提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。”“学业水平考试与高考命题，应重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识。”所以，数学教学必须回归（转型）到学生的数学思维活动上，尤其是数学解题教学，更应该注重学生解题思维活动的展示与引导。

面向学生思维活动的数学教学不仅要关注数学思维活动的开展，还要关注数学思维活动的深入，以更好地训练学生的思维品质，培养学生的数学核心素养。这样的思维活动不是对知识的简单识记、模仿，而是在理解的基础上对问题的分析、综合、评价。

三、实践探索

基于上述学理分析，我们对前述解题教学内容（题目）做了新的处理，尝试通过数学思维活动的开展和深入引领学生思维的进阶。

上课时先呈现题目，然后请学生自行思考并尝试解决。不到5分钟的时间，学生草稿本上涌现出的解题思路令人欣喜。10分钟后，邀请采用不同解题思路的四位学生分享自己的想法。

（一）第一种思路的展示与引导

师×××，你是怎么考虑这个问题的？

生我先看到题目的目标是求中点M横坐标的取值范围，于是设出点M的坐标;再看到条件PA2+PB2=10，想找到点P的运动性质，于是也设出点P。

师所以你采用了设点参的方法，分别设出了M（a，-a）和P（x，y）。

生对，设出中点M后，就可以用点M的坐标来表示点A和B：A（a-2，-a+2），B（a+2，-a-2）。这样的话，根据两点间的距离公式就可以得到PA2=（x-a+2）2+（y+a-2）2，PB2=（x-a-2）2+（y+a+2）2。

师很好！于是，就可以将式子代入条件平方和为定值中进行化简，化简得到了什么？

生是的，根据PA2+PB2=10，代入化简可以得到x2-2ax+y2+2ay=1-2a2。看着像圆的一般方程，于是标准化，就得到（x-a）2+（y+a）2=1。

师非常好！接下去怎么办？

生可以发现，动点P的轨迹是以M（a，-a）为圆心、1为半径的圆。同时，根据已知條件，点P在已知圆C上。所以，问题可转化为定圆C和动圆M有交点。于是，利用圆心距R-r≤MC≤R+r求解。即9≤（3-a）2+（3+a）2≤25，得-142≤a≤142。

师很漂亮！成功地把问题转化为两圆位置关系的判断，从而建立不等式求参数范围。梳理一下这位同学分析问题的过程，我们可以看到，第一个着眼点在于要求的目标是什么——点M横坐标的取值范围。于是选择设点参的方法，利用点在已知直线l上，只引入一个参数a。由此结合中点关系，可以用a表示出点A、B的坐标。第二个着眼点在于题目条件的等价转换，将几何条件长度关系“翻译”成代数条件坐标关系，确定动点P的轨迹，从而顺利将问题转化为圆与圆位置关系的判断。这里，值得一提的是，作图可以发现直线l与圆C相离，则点M在圆C外，所以MC>R>R-r，所以只需利用MC≤R+r求解即可。

（二）第二种思路的展示与引导

师同样是判断动点P的轨迹是一个圆，×××用了不同的方法，下面请他分享他的想法。

生假设A（-2，0）、B（2，0），并设P（x，y），也是直接将已知的长度关系“翻译”为坐标关系，即利用两点间距离公式得到（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=10，化简得动点P的轨迹是圆x2+y2=1。所以，点P既在已知圆C上，又在所求得的这个圆上。

师好的。大家有没有注意到，他重新建立了平面直角坐标系，从而得到了非常简洁的动点P的轨迹方程？那么，根据他目前的分析，问题是否已经顺利地转化为圆C和所求得的这个圆有交点了呢？

（有些学生觉得是，有些学生觉得不是，有些学生保持沉默。）

生老师，这两个圆的方程不是在同一个平面直角坐标系中求解得到的，不能用两圆的位置关系判断。

师这位同学说得很好！那么，要继续求解这个问题，该如何转化呢？请×××继续为大家分享。

生我是这么看待这个问题的：在建立平面直角坐标系时，我们总是选择恰当的建系方式;坐标系只是参照系，主要作用是确定相对位置，于是，几何图形在不同的坐标系中相对位置不同，相应的代数表达式不同，但形状还是相同的。

师所以，你认为，在新建坐标系中化简判断出动点P的轨迹是一个圆，那么，在跟已知圓相同的坐标系中化简判断出的动点P的轨迹也是圆，对吗？

生是的，圆的大小是不会变的，即半径为1不会变，但是圆心位置会变。

师那圆心的位置如何变化呢？

生在新建立的坐标系中，线段AB的中点M就是原点O，所以圆O：x2+y2=1也就是以M为圆心、1为半径的圆。又根据已知条件，A、B为直线l：y=-x上的两个动点，所以动圆M的圆心M在直线l上运动。

师非常棒！对平面直角坐标系的作用理解得非常到位，对圆的位置和大小分析得也非常透彻！那么，接下去如何求解呢？

生这样一来，就可以在已知圆C的平面直角坐标系中，设圆心M的坐标为（a，-a），得动圆M的方程为（x-a）2+（x+a）2=1。于是，点P既在已知圆C上，又在动圆M上，即两圆有交点，利用圆心距计算即可。

师×××对知识的理解、问题的转化、方法的掌握都非常好！同学们千万不要忽略对数学知识的学习，因为对知识的理解是能够成功地转化问题直到认识它的本质进而顺利求解的根本。

（三）第三种思路的展示与引导

师同样是关注到已知条件PA2+PB2=10，×××并没有通过建立坐标系来判断动点P的轨迹。那么，她是如何做的呢？请×××为大家分享。

生我看到点M为线段AB的中点，那么在△PAB中，PM是AB边上的中线，而AB=4，联想到向量的运算AB=PB-PA以及2PM=PB+PA。

师你能根据三角形及中点联想到向量工具，给你“点赞”！

生我看到PA2+PB2=10，就想把向量和、差的式子两边平方，得到了AB2=（PB-PA）2=PB2+PA2-2PB·PA16=10-2PB·PA，4PM2=PB2+PA2+2PB·PAPM2=1，即PM=1。

师漂亮！根据边长平方和的式子结构构造向量和、差式子的平方，这样的解题经验分析很宝贵！于是，你发现了什么？

生动点P到动点M的距离为定值1，同样确定了点P既在已知圆C上，又在半径为1的动圆M上。接下去的计算方法和前面两位同学一样。

师感谢分享！她对向量运算的理解很到位，对向量解题经验的积累很丰富，这才出现了同样的问题，用不同知识理解、不同方法解决，得到同样的效果。其实，如果大家记得平行四边形的对角线性质，即对角线的平方和等于相邻两边平方和的2倍，则可以更快地得到PM=1。当然，从这里可以看出，平行四边形的对角线性质可以用向量方法推导出来。

（四）第四种思路的展示与引导

师刚才这位同学看到了向量的三角形法则，那么，对于这个三角形还能观察到什么？来听听×××的想法。

生看到△PAB以及中线PM，我觉得可以运用解三角形的知识和方法。当三角形中多了一条辅助线（中线、高线、角平分线等）时，可以多次解三角形。

师好的，先不考虑点P和点M是动点，就只关注△PAB及中线PM，然后呢？

生因为PA2+PB2=10即三角形两边的平方和为定值，我联想到的是余弦定理。又因为M为线段AB的中点，所以AM=BM=2。于是利用∠AMP与∠BMP互为补角，解两次三角形。即：在△AMP中，cos∠AMP=PM2+AM2-PA22PM·AM;在△BMP中，cos∠BMP=PM2+BM2-PB22PM·BM，因为cos∠AMP=-cos∠BMP，所以2PM2+8-（PA2+PB2）4PM=0，所以PM=1。

师非常好！利用解三角形也成功地得到了PM=1。那么，接下去也是转化为两圆的位置关系吗？

生差不多吧，我运用的是三角形两边之和大于第三边，就是当点P在已知圆C上运动时，在△CMP中，有CM≤CP+PM=5。设M（a，-a），则有（3-a）2+（3+a）2≤5。

师感谢×××！非常好地运用平面几何知识轻松求解了这道解析几何题。“解析几何，几何先行”，尤其在圆的知识模块中，充分利用几何性质可以省去很多代数运算。同样地，从这里可以看出，平行四边形的对角线性质可以用解三角形的方法推导出来。而且，这里因为点M在圆C外，所以也不需要用到三角形两边之差小于第三边，即MC≥CP-PM=3。

（五）回顾总结

师问题是数学的心脏，解决问题是数学研究与学习的本质，而分析问题是解决问题的前提。以上四位同学看到PA2+PB2=10后，在脑海里搜索知识或解题经验所建立的联系是不一样的：既可以通过设点或“再建系”求出动点P的轨迹方程，也可以通过向量运算或余弦定理进行转化。工具和方法不同，但问题的本质是相同的。从不同的角度分析问题，会有不同的观点和不同的解决措施，有些烦琐一些，有些简便一些。我们平时要注重分析问题经验的积累，不能简单地套用解题模式，而要多运用反问、追问和释疑，提炼出最优的方法。

四、教学启示

上述面向学生思维活动的数学解题教学，通过学生思维活动的展示与交流以及教师的引导，充分暴露学生思考的视角和路径——从哪儿想、怎么想，在提升学生思考的主动性的基础上，有效地发展了学生的数学思维，实现了“为思维而教”。在这样的课堂上，面对不同学生的思维活动，有许多不确定的因素，教师必须有随机应变的教学机智和促使学生像数学家一样思考的教学智慧，在参与者和引导者两种角色间灵活转换。

（一）由教师解释转向学生自我解释

学习的本质不是知识符号的表层认识，而是知识逻辑形式和意义领域的内在建构。学生需要通过自己的思维活动，实现这样的建构，进而提升思维品质，追踪数学本原。已有研究表明，自我解释是学生用来帮助自己理解并以问题或判断等各种形式呈现外部信息的加工过程，是一种由自我产生并指向自我建构的心理活动。自我解释的训练可以帮助学生减少对无关刺激的注意分配，增强对目标任务的选择性注意能力。

数学解题教学中，教师“一言堂”的分析与解释，不能激发学生自主的思维活动，很容易造成学生对问题的认识模糊与浅显，无法触及数学知识的本质，更无法实现思维的发展和知识的构建。而通过教学互动，引导学生对问题的自我分析与解释，可以挖掘学生隐藏著的思维，帮助教师及时准确地把握学情，问学生所想，教学生所需，从而促进学生思维的发展（特别是反思能力的提升）和知识的构建。

（二）由套用解题模式转向训练思维的开放性

数学解题教学中，很多教师习惯于让学生记住并套用各种题型的解题模式。这会导致学生思维僵化，在遇到变式问题时束手无策。因此，教师应该有意打破僵化的套用，训练学生思维的开放性：创设更开放的问题情境，促进预设外的生成，让学生的思维在自己的轨道上发展、完善;同时，做好“幕后军师”，指导学生克服困难，将个体化、碎片化的思维搭建成数学化、结构化知识和方法的动态系统。

当然，训练学生思维的开放性，要注意引导学生从个体思维的不定性逐步走向数学思维相对的确定性。这种确定性指向的是数学模式思维，本质上是数学知识结构、数学思维形式、数学思维方法及特定数形关系相互统一、有机组合的认知图式的动态系统。数学知识结构是数学知识按一定搭配和序列组合而成的合理网络系统，决定着数学模式思维的“网幅”和发展水平;数学思维形式不仅指概念、判断、表象、想象、假说等思维形式，也指运用这些形式开展思维活动所形成的抽象（逻辑）思维、具体（形象）思维、灵感（直觉）思维的过程思维形式;数学思维方法主要指分析、综合、比较、类比、归纳、演绎、具体化和一般化等;特定数形关系指典型、特殊、凸显的数和形的关系或关联。数学模式思维的基本类型包括“双基”型模式、“思想”型模式和“实体”型模式，具有定式、选择、同化和诱发等功能，直接影响解题的效果，包括解题速度、思路、途径及过程的优化等。比如，“少熟同思维模式”（LessFamiliarSame Thinking Model，简称LFSTM）是一种为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供方向的思维模式。教师可将LFSTM用于解题教学，指导学生产生等价辅助题目链，为解题提供方向。

（三）由方法积累转向活动经验积累

发展数学思维品质、培养数学核心素养，要以数学方法的形成作为关键，但归根结底不是数学方法的简单积累，而更多的是数学活动经验的获得。

数学活动经验主要指学习者在参与数学活动的过程中获得的感性知识、情绪体验、思维方法和应用意识的统一，其内涵是感悟了归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的数学思维模式。数学活动经验是在数学活动过程中循序渐进地获得、发展、完善的，没有经历数学活动过程，就谈不上经验的积累;只体验一两次数学活动，也做不到一蹴而就。因此，数学活动经验的核心教育价值在于其过程性：不能靠教师的传授获得，而只能靠学生的亲身经历、体验积累。此外，数学活动经验是学生在原有经验的基础上，自主构建、反思内化而形成的，可以变成固定的思维模式，自然地指导、控制学生未来的学习。因此，数学活动经验具有强烈的个人色彩和隐蔽特性，需要通过社会化的交流与反思，不断明晰化、理性化、结构化、策略化。

所以，数学解题教学中，教师要鼓励学生自主尝试，允许学生的个性化思考。即使有困难，在自主尝试中也能充分感受到困难之所在，从而在后续的教师启发和师生交流中体悟化解困难的策略。而解法虽有巧笨之别，但都有其存在的价值：通过尝试不同的解法，最终得到优化的方案，学生的思维会被充分激活。此外，学生虽然经历、体验了解题过程，但未必有主动积累解题经验的意识。这时，教师需要适度引导，促进学生提炼、总结，从而形成相应的解题经验，并在新的问题解决中加以巩固、迁移。如此，才有助于发展学生的数学思维品质，培养学生的数学核心素养。

参考文献：

[1] 邵光华，卢萍.基于学生分析问题能力培养的教师专业发展路径研究[J].教育理论与实践，2015（2）.

[2] 汤明清，李善良.核心素养视角下数学深度教学的策略研究[J].中小学教师培训，2018（10）.

[3] 钱鹏，曹军.有序建构思维渗透思想方法追踪数学本原——《课例：函数的零点》实录与反思[J].中学数学，2018（21）.

[4] 唐举.提高选择性注意能力减少粗心型解题错误[J].中国数学教育，2018（22）.

[5] 曹平.数学模式思维探析[J].中国教育学刊，1992（4）.

[6] 欧阳亮，胡典顺，张玉环.中学数学解题的LFSTM模式[J].教学月刊·中学版（教学参考），2019（4）.

[7] 郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（5）.