关于对合BCK代数

凌雪岷

（安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥230088）

为给逻辑推理提供各种可能的逻辑体系，许多学者陆续提出了各种型和形不同的代数系统，每一种代数系统对应着不同的公理组。王国俊［1-2］提出的与形式逻辑系统L*相匹配的R0-代数就是这类重要的逻辑系统。吴望名［3］提出了比较一般化的FI-代数与正则FI-代数，后来人们发现FI-代数与日本数学家Imai Y和Iseki K在1966年提出的BCK代数有着紧密的关系。关于上述逻辑代数，我国学者做了深入研究，给出了它们的多种刻画和相互关系，取得了许多可喜的成果［4-9］。在这些研究的基础上，本文将证明正则FI-代数与对合BCK代数等价，然后在对合BCK代数中引入分配性条件，讨论了分配对合BCK代数具有的若干性质，利用这些性质证明了分配对合BCK代数与Boole代数等价。

1 预备知识

下面给出BCK代数和FI-代数的基本概念和相关结果。

定义1［5］一个（2，0）型代数（X，*，0）称为BCK代数，若∀x，y，z∈X，有：

命题1［7］在BCK代数（X，*，0）中，下列各式成立，∀x，y，z∈X，有：

（P1）（x*y）*z=（x*z）*y；

（P2）x*0=x；

（P3）x*（x*（x*y））=x*y。

若存在常元1使得任意x∈X，x*1=0，则称BCK代数（X，*，0）是有界的。在有界BCK代数X中，令N（x）=1*x。若∀x∈X，N（Nx）=x，则称X为对合BCK代数［5］。定义二元关系“≤”使对任意x，y∈X，x≤y⇔x*y=0。易验证在对合BCK代数中“≤”是偏序，0和1分别是最小元和最大元。

命题2若X为对合BCK代数，则∀x，y∈X，有：

（P4）Nx*Ny=y*x，x*Ny=y*Nx，Nx*y=Ny*x；

（P5）若x≤y，则z*y≤z*x。

证明（P4）由（P1）和对合性知Nx*Ny=（1*x）（1*y）=（1*（1*y））*x=y*x。（P4）后两式可由第1式，分别用Nx替换x和Ny替换y得到。

（P5）设x≤y，则x*y=0，从而有

由“≤”的定义知z*y≤z*x。

定义2［3］一个（2，0）型代数（X，→，0）称为Fuzzy蕴涵代数，简称FI-代数。如果∀x，y，z∈X，满足：

称满足（I6）的FI-代数为正则FI-代数。

引理1［3，6］在正则FI-代数（X，→，0）中，∀x，y，z∈X，有：

（1）1→x=x，特别地，1→0=0；

（2）x→y=（y→0）→（x→0）；

（3）（y→z）→（（x→y）→（x→z））=1；

（4）若x→0=0，则x=1。

2 对合BCK代数与正则FI-代数

本节证明对合BCK代数与正则FI-代数等价。

命题3在对合BCK代数（X，*，0）中，∀x，y，z∈X，有：

（1）N（0）=1，N（1）=0; （2）（（x*z）*（y*z））*（x*y）=0。

证明（1）由（P2）知N（0）=1*0=1，由（K3）知N（1）=1*1=0。

（2）由（K2）和（P1）知（（x*z）*（y*z））*（x*y）=（（x*z）*（x*y））（y*z）=0。

命题4设X是正则FI-代数。对任意∀x，y∈X，定义x*y=（x→y）→0。则X是对合BCK代数。

证明由定义2，先证明（K1）～（K5）成立。

（3）（K3）的验证。由（I3）和引理1（1）知x*x=（x→x）→0=1→0=0。

（4）（K4）的验证。由（I5）和引理1（1）知0*x=（0→x）→0=1→0=0。

（5）（K5）的验证。若x*y=y*x=0，则由引理1（4）知x→y=y→x=1，再由（I4）知x=y。

再证有界性和对合性：x*1=（x→1）→0=1→0=0，又

综上，我们知正则FI-代数是对合BCK代数。

命题5设（X，*，0）是对合BCK代数。对任意x，y∈X，定义x→y=N（x*y）。则（X，→，0）是正则FI-代数。

证明由定义2知，需验证（I1）～（I6）成立。

（3）（I3）的验证。由（K3）和命题3（1）知x→x=N（x*x）=N（0）=1。

（4）（I4）的验证。若x→y=y→x=1，则x*y=y*x=0，由（K5）知x=y。

（5）（I5）的验证。由（K4）和命题3（1）知0→x=N（0*x）=N（0）=1。

（6）（I6）的验证。由（P2）和对合性知（x→0）→0=N（x*0）→0=N（N（x））=x。

综上，我们知对合BCK代数是正则FI-代数。

由命题4和命题5立得：

定理1正则FI-代数和对合BCK代数是相互等价的代数系统。

3 分配对合BCK代数与Boole代数

本节在对合BCK代数中引入分配性，证明分配对合BCK代数与Boole代数等价。

定义3设（X，*，0）是对合BCK代数。称X是分配的，如果X满足条件：

（Dis）∀x，y，z∈X，N（N（z）*（N（x）*y））=N（x*z）*（y*z）。

命题6在分配对合BCK代数（X，*，0）中，∀x，y，z∈X，有：

（1）N（z）*（N（x）*y）=N（N（x*z）*（y*z））；

（2）x*（y*x）=x；

（3）x=x*N（x）；

（4）N（x）=N（x）*x；

（5）x*（x*y）=y*（y*x）。

证明（1）由对合性和（Dis）条件知

N（z）*（N（x）*y）=N（N（N（z）*（N（x）*y）））=N（N（x*z）*（y*z））。

（2）在结论（1）中令x=z并用N（x）替换，y用y*x代，则得

综上，由（K5）知x*（y*x）=x。

（3）一方面，由（P1），（K3）和（K4）知（x*N（x））*x=（x*x）*N（x）=0*N（x）=0。另一方面，在结论（1）中令x=y=z并用N（x）替换，则得

综上，由（K5）知x*N（x）=x。

（4）在结论（3）中用N（x）代替x，由对合性知N（x）=N（x）*N（N（x））=N（x）*x。

（5）由（P1），命题3（1）和结论（2）知

同理得（y*（y*x））*（x*（x*y））=0，由（K5）知y*（y*x）=x*（x*y）。

命题7设（X，≤，'）是Boole代数，则X是分配对合BCK代数。

证明在Boole代数X中定义x*y=x∧y'，则N（x）=1*x=1∧x'=x'，故有界性，（K1）～（K5）及对合性容易验证（或见文献［8］中定理2）。下证分配性（Dis）。

从而（Dis）条件成立，于是Boole代数是分配对合强BCK代数。

命题8设（X，*，0）是分配对合BCK代数，则（X，≤，'）是Boole代数。

证明设X是分配对合BCK代数。对任意x，y∈X，由命题6（5），可令w（x，y）=y*（y*x）=x*（x*y）。则由（P1），（K3）和（K4）知w（x，y）*x=（x*（x*y））*x=（x*x）*（x*y）=0，故w（x，y）≤x，同理可知w（x，y）≤y。

又设t≤x，t≤y。则t*x=t*y=0。又由（P5）得y*x≤y*t，y*（y*t）≤y*（y*x）=w（x，y），而y*（y*t）=t*（t*y）=t*0=t，故t≤w（x，y）。这说明w（x，y）是x，y的下确界，即

x∧y=y*（y*x）=x*（x*y）=w（x，y），

从而（X，≤）为交半格。定义x'=N（x），∀x∈X，则由（P5）知由x≤y可得1*y≤1*x，即y'≤x'，于是“'”是逆序对合对应，从而（X，≤，'）是有界格且满足De Morgan对偶律。进一步有

由（K3）知x∧x'=x*x=0。于是，（X，≤，'）是Boole代数。

由命题7和8立得：

定理2分配对合BCK代数与Boole代数是相互等价的代数系统。

4 结论

本文对BCK代数进行了再研究，证明对合BCK代数与正则FI-代数等价。在对合BCK代数中引入分配性，证明了分配对合BCK代数与Boole代数等价，进一步完善了诸多逻辑代数与Boole代数之间关系的理论研究，同时丰富了多值逻辑理论的发展。