处处可见的二次函数

胡荣光

二次函数是初中数学的一个重要内容，是难点，也是重点，更是高中学习的重要基础。二次函数的应用非常广泛，它能客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和常见的数学模型，所以很多实际问题可以用二次函数来解决。下面我们以两个实际问题来分析，希望对大家二次函数的学习有所帮助。

例1 如图1，刘爷爷用铁栅栏及一面墙（墙为足够的长度）围成一个长方形兔舍，在AB和BC边各有一个2米宽的小门。刘爷爷共用铁栅栏40米。设矩形ABCD垂直墙的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米。

（1）写出S与x的函数表达式;（请写出取值范围）

（2）如果要围成192平方米的场地，AD的长是____;

（3）能围成248平方米的场地吗？

【解析】（1）本小题的难点是准确地表示出AB的长度，然后根据长方形面积公式得到函数表达式，最后需利用不等式组求出自变量的取值范围。

根据题意，

得S=x[40-x-（x-2）+2] =-2x2+44x.

∵x- 2>0，

40 -x-（x- 2》0，

∴2

∴S与x的函数表达式为S=_2x2+44x（2

（2）将S=192代入，得一元二次方程，解出方程的根，但要检验是否在（1）的范围内。

当S=192时，-2x2+44x=192。

解得x1=6，x2=16。

∴要围成192平方米的场地，AD的长是6米或16米。

（3）将S=248代入，得一元二次方程，方程无解，说明不能围成248平方米的场地。本小题也可以求函数的最大值，发现最大值小于248，即说明不能围成248平方米的场地。

方法一：当S=248时，-2x2+44x=248。

化简为x2-22x+124=0。

∵△=62—4ac<0.

∴方程无解，

∴不能围成248平方米的场地。

方法二：∵S=-2x2+44x=-2 （x-ll）2+242，

∴当x=ll时，S有最大值，最大值为242平方米，

∴不能围成248平方米的场地。

例2 如图2，某广场要建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，0恰好在水面的中心，OA =1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流形状美观，要求水流在离OA距离1米处达到距水面的最大高度2.25米，建立如下坐标系。

（1）求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式;（不要求写取值范围）

（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？

（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，水流距水面的最大高度应达到多少米？

（4）在直线OB上有一点D（靠点B一侧），BD=0.5米，竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让水落入桶内。圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.2米（圆柱形桶的厚度忽略不计）。①如果竖直摆放5个圆柱形桶，水能不能落入桶内？②直接写出当竖直摆放多少个圆柱形桶时，水可以落入桶内。

【解析】（1）本小题由题意易得顶点坐标，所以可设函数表达式为顶点式。

∵顶点为（1，2.25），

∴设函数表达式为y=a（x-l）2+2.25。

∵函数过点A（0，1.25），

∴将A点坐标代入函数表达式，

解得a=-l，

∴函数表达式为y=-（x-l）2+2.25。

（2）首先理解题意，水落在地上，就是当y=0时，求x的值，要注意取舍。

由（1）知y=- （x-l）2+2.25，

令y=0，则一（x_l）2+2.25=0，

解得x1=2.5，x7=-0.5（舍去）。

∴花坛的半径至少为2.5m。

（3）我们知道表达式y=ax2+bx+c中的a确定抛物线形状，所以题意暗示我们a=-l。

由题意可设y=-x2+bx+c，把点（0，1.25）、（3.5，0）代入，

∴水池的半径为3.5m。要使水流不落到池外，此時喷出的水流最大高度应达729m。

（4）本小题很灵活，我们要能理解（2，1.25）、（1.5，2）这两个点在抛物线上。如果水能够落在桶里，桶的高度应在1.25m到2m之间。

①由题意得（2，1.25）、（1.5，2）在抛物线上，竖直摆放5个桶的高为Im。

∵1<2且1<1.25，

∴水不能落入桶内。

②设竖直摆放圆柱形桶n个时，水可以落人桶内。由题意得1.25≤0.2n≤2，解得6.25≤n≤10

∵n为整数，∴n的值为7、8、9、10，

∴当竖直摆放圆柱形桶7、8、9、10个时，水可以落入桶内。

用二次函数解决实际问题是对二次函数学习的综合应用，我们不仅需要根据题意用适当的方法求出函数的表达式及最值，还需要与方程、不等式联系在一起灵活应用。我们更要从题目中体会数形结合、数学建模等数学思想。

（作者单位：江苏省泗阳致远中学）