浅谈数学知识在物理中的运用

聂国帅

(凹凸个性教育平顶山学习中心，河南 平顶山 467000)

1 引言

数学与物理本质上虽是两种不同的学科，但在人类历史的发展中却有着密不可分的联系。基于多年的科学实践，人们总结出数学知识是物理理论创立和发展的重要工具，同时物理方面所解决的问题又是数学发展的源泉，二者之间存在着相辅相成的关系。浅谈数学知识在物理中的运用，首先得先搞清楚数学和物理之间的逻辑关系。

2 数学与物理之间的逻辑关系

严格意义上讲，数学与物理是两门完全不同的学科。数学是研究物质之间的数量和空间关系的科学，而物理是研究物质结构以及运动规律的学科[2]。二者虽是两种不同性质的学科，但是在其解决问题的思路上或是获取知识的途径上，却有着千丝万缕的联系，彼此相互融合、相互渗透、异曲同工。

2.1 物理的发展离不开数学的支持

第一，从物理学的角度看，数学是一门具有抽象性、逻辑性、简洁性的学科，是物理的一种表示形式。在自然界中任何能够被抽象出来的事物及其关系都可以用数学的方式来进行表征。但是在物理学中，数学却并不能完全显示出物质变化的真实含义，物理学科主要是针对物质结构以及物质的基本运动规律和物质之间的相互作用进行研究，研究方式主要是以实验为基础，再借助数学运算来推理得出事物结果。因此我们可以看出数学在物理中的运用具有直观性和具体性的，所以通过数学这门学科对物理实验现象或推理过程进行表征是最为严谨和简洁的。

第二，用数学对物理问题进行表征时，最重要的前提是必须建立一个与物理变化相适应的数学模型，并且还必须用数学语言来对各物理量之间的关系进行重点刻画。比如，常见的物理问题：A、B 两辆汽车在同一位置同时沿直线向前行走，其中A 车以8m/s 的速度匀速向前行驶，B 车则以4m/s 的加速度开始向前行驶，分析在两车运动过程中A 车将B 车甩在身后的最远距离。该场景的设置就是用数学模型的方式描绘了物理变化的过程[3]。在对上述情景进行解答时，学者们还会选用适当的符号来对其中的物理量进行重点刻画，比如，上述情景中A 车是匀速行驶，数学的表现形式即为v=8m/s，B 车以4m/s 的加速度行使，在数学的表现形式则为a=4m/s。那么解答上述例子中所求证的结果则还需要联系物体运动规律，用适合的函数方程式进行详细的推演计算。如，求证A 车与B 车之间的距离可表示为Δx=x1-x2，根据车辆运动的规律，A 车的位移距离可表示为X1=vt，B 车的位移距离为χ2=1/2at2，则两车之间的距离表示为函数公式Δχ=υτ-1/2at2，代入数据可得Δχ=-t2+4t。由此可见，该数据为一个开口向下的抛物线，并且当t=2s 时，函数的数值最大为4m，即两车之间的距离为4 米。

第三，众所周知，物理是以科学实验为基础的，但是对于整体实验过程中所必须处理的实验方案设计、数据采集、现象分析、结论总结等，都必须借助数学工具的帮助。比如伽利略在做落体规律探究的实验时，就有效地将科学实验与数学的逻辑推理相结合到一起。他推断落体运动规律是和时间成正比的，但在当时的技术还不发达，他无法精准地对瞬时速度进行测定，所以他结合数学方面的逻辑思维，将物体落下时的初速度设置为0，于是推断物体位移的距离应该正比于时间的二次方。正是在该实验的方案的支持下，伽利略才完成了落体运动规律的实验探究。

2.2 物理推动数学知识的发展

著名的数学家莫尔斯在谈及数学与物理之间的关系时清晰地表示“物理因为数学的抽象而获益，数学则因为物理的见识而获益。”数学理论与物理研究是相辅相成的。数学所研究的问题因物理的变化而产生，又随着物理的深入研究而得到发展，所以说物理是数学发展的重要源泉[4]。

首先，我们都清楚在做物理实验时，研究者需要对实验中各物理量进行精确的计算和测定以及对实验数据进行分析，然后才能得出各物理量之间的相互关系。若现有的数学工具不能满足其物理实验的需求时，物理实验就会为数学发展提供新的空间。以微积分的发展为例，微积分本是数学的基础学科，是高等数学中研究函数的微分、积分以及相关概念和应用的数学分支，其中微分学及其应用是一套关于变化率的理论。牛顿在研究运动学时就是利用求倒数的方式求证出运动变量是由点线面连续运动产生的，否定了自己最初提出的变量是无穷小元素的静止结合，从而促进了微分学的发展。其次，在物理研究中运用数学知识，本质也是在促进数学的发展。我们都知道在机械加工过程中，当某一工具使用得越频繁时，人们越能发现该工具需要改善的地方。学科之间的研究亦是如此，当人们将理论数据用于具体的实践时，该理论的缺陷或是理论所无法解决的事情很有可能会暴露出来。所以在用数学研究物理时也就相当于是在对数学的理论进行发展。在数学的发展史上，其实有很多的演算方法及解题思维都是从物理实验中所获得的，比如行波法、广田法、贝克隆变换等都是在物理研究中所发现的。

3 数学知识在物理中的应用

数学与物理之间的逻辑关系促使人们不断地用数学知识来解决物理方面的问题。通过实践也多次证明，数学知识在解决物理难题时有事半功倍的效果。其中主要表现在以下几个方面。

3.1 数学思想在物理中的应用

数学思想的主要特点是抽象性、逻辑性、准确性等。在现实实践中，人们运用数学知识对事物进行观察分析，从研究对象的点、线、面、实数、集合等方面对其建立起理想化、模式化的模型，从而使得数学研究更为简洁，更为直观。而在物理研究中，研究对象主要是质点、光滑、静止、运动、匀速、加速度等，学者们也经常会借鉴数学方面的解题思维，根据研究对象的特征及运动规律建立高度抽象的理想模型，同时对物理过程中各物理量进行测量转换，在运用函数思想对各物理量之间的相互关系进行整理，构建相对应的函数表达方式，如图形、列表等，从而使得物理研究的思路更加清晰，更加简洁。

3.2 数学推理在物理中的运用

数学理论体系是以公式定义为基础，通过严格的逻辑推理、论证所建立起来的。数学的研究对象基本上逻辑性都很强，所以在数学研究中人们经常会使用逻辑推理的论证方法来解决数学研究中的各种难题。而物理的研究成果往往是通过实验对研究对象的物理现象及运动状态进行抽象概括或是推理得出来的。比如，上述中所提到到的落体实验中，伽利略就用数学推理的反证法巧妙地论证了亚里士多德理论中物体的下落速度与质量有关的矛盾性。同时伽利略通过在比萨斜塔的抛球实验，还开创了物理方面重力加速度的新课题研究。由此可见，科学的思维方式和严格的逻辑推理对研究和解决物理方面的难题是非常有效的。

3.3 数学函数在物理中的应用

在物理研究中，力是指物质之间的相互作用，它能使物体获得加速度、改变其运动方向或是发生形变，其中力的大小、方向、作用点是力的三要素。由此可见，力在数学研究中是具有向量性的。在物理研究中，用数学的向量运算方法能够很好地解决物理力学方面的难题。比如，在物理研究中引入数学坐标系则会将力学研究中的抽象概念转化为平面几何的图像，通过数学知识内数与形、代数与几何之间的相互联系，建立变量与函数之间的数学关系（即力学函数方程），使之达到数与形的相互统一，再运用数学工具对其函数方程进行解析，便可准确得出图形中每个点所对应的力值及相互作用关系。

4 数学知识与物理相互转化的应用

不论是数学知识还是物理知识，能否解决现实所存在的问题才是其能力提升的关键所在。众所周知，数学能力包含思维能力、运算能力、空间想象力等分析和解决问题的能力，其中思维能力主要表现在逻辑思维、探索能力、直觉思维、推理能力以及创造能力等方面。这些能力是解决物理学问题必不可少的智力条件。所以实现数学知识与物理之间的相互转化，可以在很大程度上促进物理学科与数学学科的发展。

4.1 将物理问题转化为数学问题

在物理研究中很多概念都可以转化为数学形式。其中在解决物理知识时人们通过对物理量之间的关系变化进行分析，找到各物理量之间的切入点，运用合理的数学方程式，便可很好地实现物理与数学的转化[5]。例如，物理学中物体运动轨迹的变化，引入数学解题思维中的数学坐标系，根据其物体运动处于匀速、变速或加速状态构建物体运动轨迹图形，可以使物理问题更为直观化。物理学研究的成果基本上是在反复试验中总结出来的，对实践更有指导意义。将物理问题转化为数学问题，用数学的表示方式建立物理方面的适用公式，将更有利于物理难题的解析。

4.2 利用数学知识将物理规律转化为数学形式

数学作为一种基础工具，广泛地运用于各种物理研究当中。其中函数的运用最为常见，比如，在物理研究中将物理现象与数学知识相结合建立函数关系，在物理中被称为变量，或者用数学运算中的定量计算理论来对物理问题中所存在的作用关系来加以定性。这些物理规律与数学知识的种种转化，目的都是为了更好地发现物理规律，解决物理问题。但是物理问题并不只是单纯的数学问题，虽然数学是解决物理问题的重要工具，但并不能完全代替物理。物理是一门复杂的学科，其中包含各种物理定理及物理公式等。在物理研究时，首先要有清晰的研究思路，其次药掌握物理定理及变化公式，否则研究思路就会很混乱，且结果还会不准确。因此在解决物理问题时必须掌握正确的方法，找准立足点，将物理规律转化为数学形式的符号，再通过数学方式的运算，只有这样才能更加准确地解决物理问题。

4.3 对数学与物理之间的关系加以利用

在物理实验时，研究者通常会利用数学知识与数学方法来对实验中所出现的问题进行分析，比如物理中的电场运动轨迹、往返运动等研究，若单从物理方面进行分析很难剖析出其中的相互关系，但结合数学理论，将物理实验中物体运动的运动规律转化为数学方程，建立物体运动的数学模型，模拟物体运动的规律，并参照物理实验中所存在的实际条件，便可清晰地了解到该物理问题的的核心，然后运用数学方程来准确计算，便可得知各物理量之间的作用关系。物理与数学之间其实并无明显的界限，如方程式的运用，既可以成为物理知识，也可以成为数学知识。所以对数学与物理之间的关系多加以利用，能更好地解决物理问题中所存在的问题。