快速求解场强选择题的方法

徐进　杨军

场强选择题在高考中每年必考，考试情景层出不穷，考试方法不断变更，解题思维不断变化，从大量的考试试题分析，解此类题从两方面入手. 一是常规解法：三个公式：E= 、E=k 、E= 及分解、合成思想的灵活应用;二是巧解法：补偿法、微元法、对称法、极限法、量纲法、斜率法、特殊值法等方法的巧妙运用，这些方法的巧解运用可以化难为易快速解题. 下面从两个大的方面对解场强选择题的解法进行归纳总结.

一、常规解法：决定式、对称法和矢量合成法

【例1】（2015·山东高考）直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图1所示. M、N两点各固定一负点电荷，一电量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零. 静电力常量用k表示. 若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为（ ）

A.  ，沿y轴正向 B.  ，沿y轴负向

C.  ，沿y轴正向 D.  ，沿y轴负向

解析：处于O点的正点电荷在G点处产生的场强E1=k ，方向沿y轴负向;又因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点共同产生的场强E2=E1=k ，方向沿y轴正向;根据对称性，M、N处两负点电荷在H点共同产生的场强E3=E2=k ，方向沿y轴负向;将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强E4=k ，方向沿y轴正向，所以H点的场强E=E3-E4= ，方向沿y轴负向.

答案：B

【點评】此题的关键是公式、对称、矢量叠加的灵活运用.

【例2】（2017·全国高考）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图2所示，三点的电势分别为10V、17V、26V. 下列说法正确的是

A. 电场强度的大小为2.5V/cm

B. 坐标原点处的电势为1V

C. 电子在a点的电势能比在b点的低7eV

D. 电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV

【解法一】用关系式E= 求解

如图3所示，设ac之间的d点电势与b点相同，则， = = ，所以d点的坐标为（3.5cm  6cm），过c点作等势线bd的垂线，由几何关系可得cf的长度为3.6cm. 电场强度的大小E= = =2.5V/cm，故A正确;因为Oacb是矩形，所以有Uac=UOb解得坐标原点O处的电势为1V，故B正确;a点电势比b点电势低7V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7eV. 故C错误;b点电势比c点电势低9V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV，故D也正确.

答案：ABD

【点评】这种解法是场强关系式的拓展——二级结论：匀强电场中沿同一方向，线段的长度与线段两端的电势差成正比;匀强电场中两线段等长且平行，则这两线段之间的电势差相等.

【解法二】利用关系式E= 和矢量合成求解

ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为E1= =2V/cm，E2= =1.5V/cm，根据矢量合成可知E=2.5V/cm，A选项正确;根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有？渍o-？渍a=？渍b-？渍c，得？渍o=1V，B项正确;电子在a、b、c三点的电势能分别为-10eV、-17eV、-26eV，故电子在a点的电势能比在b点的电势能高7eV，C项错误;电子从b点运动到c点，电场力做功W=（-17eV）-（-26eV）=9eV，D项正确.

【点评】此解法的关键思维是求出两个方向上的场强，再进行矢量合成.

二、巧解方法

（一）补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面

【例3】（2017·石家庄质检）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场. 如图4所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R. 已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）

A.  -EB.  C.  -ED.  +E

解析：左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷-q的右半球面的电场的合电场，则E= -E′，E′为带电荷-q的右半球面在M点产生的场强大小. 带电荷-q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN=E′= -E= -E，则A正确.

答案：A

【点评】此类题不是一个完整的模型，此时若补充一些条件就能组成一个新的模型，这样，求解原模型的问题就变成了求解新模型与补充条件的差值问题.

（二）微元法：可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和场强叠加原理求出合场强.

【例4】（2017·湖南师大附中模拟）在竖直平面内固定一半径为R的金属圆环，质量为m的金属小球（视为质点）通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点. 当圆环、小球都带有相同的电荷量Q（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图5所示. 已知静电力常量为k，则有（ ）

A. 电荷量Q=

B. 电荷量Q=

C. 细线对小球的拉力T=

D. 细线对小球的拉力T=

解析：选取圆环上一部分微元Δx，总电荷量为Q，则该部分电量为ΔQ= Q;由库仑定律可得，该部分对小球的库仑力F1= ，方向沿该点与小球的连线指向小球;同理取相对圆心对称的相同的一段，其库仑力与F1相对圆环圆心与小球的连线对称;如图6（甲）所示，两力的合力应沿圆环圆心与小球的连线向外，大小为2× · = ，因圆环上各点对小球均有库仑力，故所有部分库仑力的合力F= ×πR= ，方向沿圆环圆心与小球的连线向外;小球受力分析如图6（乙）所示，小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，故T与F的合力应与重力大小相等，方向相反;由几何关系可得： = ;则细线对小球的拉力T= ，故C、D错误; = ;则F= ;解得：Q= 故A正确，B错误.

答案：A

【点评】对于均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等产生场强问题，通常将其分割成无数微小的单元，再对微小单元加以分析，这样能化繁为简，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量.

（三）对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，可以使复杂电场的叠加计算大为简化.

【例5】（2013·江苏高考）下列选项中的各 圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各 圆环间彼此绝缘. 坐标原点O处电场强度最大的是（ ）

解析：将圆环分割成微元，根据对称性和矢量叠加，D项O点的场强为零，C项等效为第二象限内电荷在O点产生的电场，大小与A项的相等，B项正、负电荷在O点产生的场强大小相等，方向互相垂直，合场强是其中一个的 倍，也是A、C项场强的倍，因此B项正确.

答案：B

【点评】利用对称性和矢量合成是解决此类问题的最佳方式.

（四）等效法：在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.

【例6】（2017·济南期中）MN为足够大的不带电的金属板，在其右侧距离为d的位置放一个电荷量为+q的点电荷O，金属板右侧空间的电场分布如图8（甲）所示，P是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点. 几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图8（甲）所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的. 图8（乙）中是两等量异号点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线. 由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是（ ）

A. 方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为

B. 方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为

C. 方向垂直于金属板向左，大小为

D. 方向垂直于金属板向左，大小为

解析：据题意，从图8（乙）可以看出，P点电场方向为水平向左;由图8（乙）可知，正、负电荷在P点电场的叠加，其大小为E=2k cos？兹=2k  =2k ，故选项C正确.

答案：C

【点评】当题中出现是曾相识的图像、模型时，要对所学的知识、方法进行迁移、类比、等效的方法.

（五）极限特殊值法：把某个物理量的变化推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论.

【例7】（2012·安徽高考）如图9（甲）所示，半徑为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=2πkσ[1- ]，方向沿x轴. 现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图9（乙）所示. 则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（ ）

A. 2πkσ0B. 2πkσ0

C. 2πkσ0D. 2πkσ0

解析：根据半径为R的均匀带电圆形平板在P点的电场强度E=2πkσ[1- ]，可推知当带电圆板无限大时（即当R→∞）的电场强度E=2πkσ，对于无限大带电平板，挖去一半径为r的圆板的电场强度，可利用填补法，即将挖去的圆板填充进去，可得这时Q点的电场强度EQ =2πkσ0，则挖去圆板后的电场强度EQ′=2πkσ0-2πkσ0[1- ]=2πkσ0 ，故选项A正确.

答案：A

【点评】此题中由于带电圆形平板不能视为点电荷，所以不能用公式E= 求电场强度，显然无法直接通过物理规律推导得出结论，但题目中给出了该电场强度的求解公式，要充分利用题目中所给条件，选择极限特殊值法解决问题.

（六）量纲特殊值法：对于以字母形式出现的计算题选择题，物理公式表达了物理量间的数量和单位的双重关系，可以用物理量的单位、特殊值来衡量和检验该物理量的运算结果是否正确.

【例8】（2010·福建高考）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确. 如图10所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q>0），而且电荷均匀分布. 两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r

A. E= -

B. E= -

C. E= -

D. E=  -

解析：与点电荷的场强公式E=k 比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除;由电场强度的分布规律可知，当r=a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B项错误;综上所述，可知D项正确.

答案：D

【点评】对于题中信息得出的公式学生不知所云，若用量纲单位并配合特殊值可以快速解决此类题.

（七）斜率法

（1）v-t图像斜率分析带电粒子的加速度，进而依据牛顿第二定律qE=ma分析电场力、电场强度、比荷等有关物理的特点.

（2）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零.

（3）Ep-x图像可以判断电场力的大小，即k= = =F，图像的斜率大小和正负分别表示电场力的大小和方向.

【例9】（2014·安徽高考改编题）一带正电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动. 取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图11所示. 下列图像中合理的是（ ）

解析：由于粒子只受电场力作用，因此由F电= 可知，Ep-x图像的斜率大小即为粒子所受电场力大小，从题图可知，图像的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，由于粒子只受电场力作用，由动能定理△Ek=Eq△x，得k= =Eq，则斜率随位移的增大而越来越小，与B选项矛盾，故B错;由因 =Eq，A对;粒子受到的电场力随位移的增大而越来越小，因此加速度随位移的增大而越来越小，D项正确;又因a= = ，v-t图像的斜率减小， C项错误.

答案：AD

【点评】本题是关于图像的“信息题”. 以图像为载体考查电场力的性质与电场能的性质，考查理解题目的新信息并且应用信息解决问题的能力. 本题切入点在于根据，Ep-x图像得到电场力的变化规律，突破口在于根据牛顿第二定律得到加速度的变化规律，然后结合动能定理分析.

跟踪训练

1.（多选）在光滑的绝缘水平面上，有一个正三角形abc，顶点a、 b、 c处分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图12所示，D点为正三角形外接圆的圆心，E、 G、 H点分别为ab、 ac、 bc的中点，F点和E点关于c点对称，则下列说法中正确的是（ ）

A. D点的电场强度为零，电势可能为零

B. E、 F两点的电场强度等大反向，电势相等

C. E、 G、 H三点的电场强度和电势均相同

D. 若释放c处点电荷，c处点电荷将一直做加速运动（不计空气阻力）

2. 如图13所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空. 将电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷. 空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的. 已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z= 处的电场强度大小为（k为静电力常量）（ ）

A. k B. k C. k D. k

3. 如图14所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q>0）的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量） （ ）

A. k B. k C. k D. k

4. 如图15所示，一均匀带正电绝缘细圆环水平固定，环心为O点. 带正电的小球从O点正上方的A点由静止释放，穿过圆环中心O，并通过关于O与A点对称的A′点. 取O点为重力势能零点. 关于小球从A点运动到A′点的过程中，小球的加速度a、重力势能EpG、机械能E、电势能Ep电随位置变化的情况，下列说法中正確的是（ ）

A. 从A到O的过程中a一定先增大后减小，从O到A′的过程中a一定先减小后增大

B. 从A到O的过程中EpG小于零，从O到A′的过程中EpG大于零

C. 从A到O的过程中E随位移增大均匀减小，从O到A′的过程中E随位移增大均匀增大

D. 从A到O的过程中Ep电随位移增大非均匀增大，从O到A′的过程中Ep电随位移增大非均匀减小

5.（多选）位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图16所示，ab、cd分别是正方形两条边的中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、ab上的点. 则下列说法正确的是（ ）

A. P、O两点的电势关系为φP=φO

B. P、Q两点电场强度的大小关系为EQ

C. 若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零

D. 若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功

6. 两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图17所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则（ ）

A. N点的电场强度大小为零

B. A点的电场强度大小为零

C. NC间电场强度方向指向x轴正方向

D. 将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功

1. AD 2. D 3. B 4. D 5. AB 6. D

责任编辑   李平安