切线模量法在分层地基沉降计算中的应用

刘清华，杨光华，，3，4，孙树楷，姜 燕，，3，4，贾 恺，，3，4

(1.华南理工大学土木与交通学院，广东 广州 510641;2.广东省水利水电科学研究院，广东 广州 510635；3.广东省岩土工程技术研究中心，广东 广州 510635；4.广东省山洪灾害突发事件应急技术研究中心，广东 广州 510635)

1 概述

地基沉降计算一直是基础工程设计中的难题，如果地基变形估算不足，小则引起工程建筑开裂，大则可能造成建筑物倾倒等严重的工程事故。目前，我国应用最为广泛的地基沉降计算方法是将压缩模量作为计算指标的分层总和法，该方法物理概念清晰，计算简便，易于在工程中推广应用。但与实际沉降情况相比仍有较大差异，其计算结果需要进 行经验修正，这是由于压缩模量是由室内压缩试验得到的，采用的土样已经受到扰动，其土体结构已经破坏。除此之外实验室内完全侧限的边界条件与土体的实际受力状态存在差异，因此不能反映出原状土的非线性变形特征以及土体模量受到应力水平等因素的影响[1]。

原状土地基的载荷试验成果曲线能够反映地基土逐级加载至土体极限状态过程中的非线性变形特征，因此可以用来确定土体的非线性变形参数，为计算地基的非线性沉降提供准确的参考依据。现有的地基沉降分析方法估算不准确，主要是存在两个问题：一是无法获得可靠的土体变形参数；二是无法获得上部荷载作用下地基土准确的应力分布。而利用现场原位试验尤其是载荷试验的成果可以获得比室内试验更加可靠的变形参数，这也是载荷试验可靠性的来源。杨光华教授[2-3]的切线模量法是将现场载荷试验结果曲线进行双曲线拟合，求取切线模量法的参数，然后通过切线模量法求得土体在不同应力水平下的切线模量，用于计算地基土的非线性沉降，其结果与采用压缩模量得到的结果相比更加准确。这是由于土体产生非线性变形，主要是受到了应力水平的影响。对地基不同深度点根据其应力水平由切线模量方程确定出计算点原状土的切线模量，用该切线模量替代压缩模量对地基沉降进行分层总和法计算将比直接使用压缩模量更符合实际情况。

由于切线模量法是建立于压板试验基础上，有读者认为压板尺寸小，不能反映深部土体的影响，该方法对深厚土层尤其是分层土能否适用存在疑问。本文通过均质土与不同分层土的沉降对比计算，说明切线模量法同样能够用于分层土地基的沉降计算，也能反映分层土地基不同层土体对沉降变化的影响。由此说明切线模量法在分层地基沉降计算中并不依赖于现场压板试验，可以由室内试验或其他原位试验等方式得到各层土的切线模量法参数，即可以用于反映分层土的影响。杨光华等[4]曾采用旁压试验确定深部砂层的切线模量的变化，用标贯试验确定不同深度砂土的内摩擦角。本文用上硬下软和上软下硬的分层土地基的沉降与全硬和全软土地基的沉降对比计算，验证了切线模量法对分层地基的沉降计算的适用性。

2 原状土沉降计算的切线模量法

地基在某一上部荷载pi下增加增量荷载Δpi，则某深度hj处分层厚度为Δhj的土层产生的沉降可近似计算为[3]：

(1)

式中Eij为对应pi在hj处原状土的等效线模量；假设增量荷载Δp过程中土体的变形是线性的；α为应力分布系数；Δpiα表示Δpi在hj处所产生的应力增量；Δhj为土层分层厚度；Δpi所产生的沉降可按分层总和法确定为：

(2)

Eij的确定是该计算式能否准确计算沉降的关键。根据土的本构特性，Eij主要取决于该点处的应力水平，室内土样试验可按Duncan-Chang模型确定。

一般可假设土体的压板试验p～s曲线为一双曲线方程，即：

(3)

该曲线任意点的切线导数为：

(4)

(5)

式中D为试验的压板直径；μ为土的泊松比；ω为系数;E0为原状土的初始切线模量。

式(4)的导数是p～s曲线的切线模量，不是土体的切线模量。假设在某一级荷载Δp下为增量线性，则对压板试验引起的沉降增量按半无限弹性体的Bussinesq解为：

(6)

Et为压板底部位对应某一荷载p处增加一增量荷载Δp时的土体等效切线模量，则：

(7)

(8)

引入一个破坏比系数Rf，则式(8)可改写为：

(9)

由式(9)可得反映不同荷载水平的土体切线模量，以其代替传统分层总和法的压缩模量Es，采用分层总和法，如公式(1)(2)，可计算得到上部某一荷载下的地基沉降量，也可以得到地基逐级加载情况下的p～s沉降曲线，从而为设计施工提供参考。

3 分层土与均质土地基沉降对比

3.1 案例概况

如果土层是均质土，则可以利用压板试验的p～s曲线反算原状土的粘聚力，内摩擦角，也可以由压板试验的曲线确定E0、pu值，再由式(9)可得反映不同荷载水平的土体切线模量，以其代替传统分层总和法的压缩模量Es，采用分层总和法计算地基沉降。但当土层是多层土时，利用压板试验反算c、φ值不方便。但这也不能说明切线模量法就不再适用于多层土的地基沉降计算。从工程经验来看，一个均质硬土地基和一个上覆硬土层下卧软土的地基(硬土层参数一致)，应该是有软弱下卧层的地基沉降更大。现在用切线模量法进行一个案例的计算，验证切线模量法能够体现这种差异性。

以下是一个均质硬土地基、均质软土地基和一个具有软弱下卧层的上硬下软分层土地基以及一个相反的上软下硬分层土地基(不同地基的硬土层、软土层参数一致，总体计算深度一致)，基础的尺寸与土层参数如图1～4所示。对于图1中均质硬土地基的情况，假设基础宽度3 m×3 m，埋深d=0.5 m，硬土层c=30 kPa，φ=24°，γ=20 kN/m3，土层厚度为d=6 m。对于图2中上硬下软土层的情况，假设基础宽度3 m×3 m，埋深d=0.5 m，硬土层c=30 kPa，φ=24°，γ=20 kN/m3，土层厚度为d1=3 m，软土层c=10 kPa，φ=10°，γ=19 kN/m3，土层厚度为d2=3 m。而图3中地基为均质软土层，软土参数与分层土地基一致，土层厚度d=6 m。图4中上软下硬土地基取与上硬下软土地基相同的基础与土层参数，只是上下土层位置互换。由这些条件通过切线模量法得到两种均质土地基与两种分层土地基的p～s曲线进行对比。

实际基础下地基深宽修正后的承载力特征值为：

fa=fak+ηbγ(b-3)+ηdγm(d-0.5)

(10)

式中b为基础宽度,m，当小于3 m时按3 m考虑，大于6 m时按6 m考虑；d为基础埋置深度,m；fak是土层的未修正承载力特征值；ηb、ηd是深宽修正系数。

若已知土的c、φ值，则由c、φ值也可以确定地基深宽修正后的承载力特征值为：

fa=Mbγb+Mdγmd+Mcc

(11)

式中Mb、Md、Mc为承载力系数，由φ值确定；b为基础宽度,m，大于6 m时按6 m取值，小于3 m时按3 m取值；d为基础埋置深度,m；c为土层粘聚力强度。

由式(10)可知，若b=3 m，d=0.5 m，则式中的fa值与fak相等。为此，若已知土的c、φ值，则按式(11)用b=3 m，d=0.5 m计算的fa值也应相等于特征值fak，因此，可以用b=3 m，d=0.5 m时的式(11)计算硬土和软土的承载力特征值fak。

1) 对于硬土，c=30 kPa，φ=24°，其承载力系数根据《建筑地基基础设计规范》(GB 50007—2011)中的表5.2.5确定，Mb=0.8，Md=3.87，Mc=6.45，得到实际基础尺寸下的承载力特征值：

fak=fa=3Mbγ+0.5Mdγm+Mcc

=3×0.8×20+3.87×20×0.5+6.45×30

=280.2 kPa。

已知硬土的承载力特征值fak=280.2 kPa，其变形模量E0可以按照文献[5]表3.9插值得到，E0=21.8+(280.2-200)/(300-200)×(40-21.8)=36.4 MPa。根据文献[5，6]，变形模量E0与初始切线模量Et0存在Et0=2E0的关系，因此进一步得到硬土层的初始切线模量Et0=72.8 MPa。

2) 对于软土，c=10 kPa，φ=10°，以此类推可以确定其承载力系数Mb=0.18，Md=1.73，Mc=4.17，得到实际基础尺寸下的承载力特征值：

fak=fa=3Mbγ+0.5Mdγm+Mcc

=3×0.18×19+1.73×19×0.5+4.17×10

=68.4 kPa。

已知软土的承载力特征值fak=68.4 kPa，其变形模量E0同样可以按照文献[5，6]表3.9插值得到，E0=0.6+(68.4-50)/(100-50)×(4.8-0.6)=2.15 MPa，同理可得软土层的初始切线模量Et0=4.3 MPa。

3.2 均质硬土地基

采用切线模量法计算图1均质硬土地基的p～s曲线。基础宽度b=3 m，埋深d=0.5 m。基础施加每级荷载增量为50 kPa，即Δp=50 kPa，分层厚度Δh=0.2 m，取每层土的中心点位置进行计算，计算深度h取6 m，故可分30层，以第一级荷载P=50 kPa为例说明计算过程。其中，理论计算时选取的初始切线模量是取前面计算得到的结果。

第一级荷载下，第一层土计算深度为z1=0.1 m，附加应力系数Kc=0.999 6，则该深度处附加应力：

Δσ=50×0.999 6=49.98 kPa，

=978.20 kPa。

该层土的切线模量:

=65.55 MPa。

则第一层的沉降为：

第二层土计算深度为z2=0.3 m，附加应力系数Kc=0.994 4，则该深度处附加应力：

Δσ=50×0.994 4=49.72 kPa；

=1016.62 kPa。

该层土的切线模量为：

则第二层的沉降为：

以此类推，可求得每一层土的沉降值，将每一层土的沉降值叠加，最终求得第一级荷载下土体的最终沉降值：s1=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δs27=1.91 mm。

重复以上过程，可求得每级荷载下的沉降值，根据计算结果绘制压板尺寸下的沉降p～s曲线(见图5所示)。

可以看到，对于均质硬土层，附加应力会随深度增加迅速降低，而切线模量会随深度增加越来越接近初始切线模量，逐渐增大。应力水平也是随着深度增加而越来越小[7]。因此，土体随着深度的增加，基底应力扩散到深部的附加应力越来越小，极限荷载相对增加，应力水平降低，但对应深度处土体的切线模量会越大，因而随着深度的增加，沉降会加快收敛。

3.3 上硬下软土地基

对图2上硬下软土层的地基进行沉降计算，分为两层，地面下0～3 m和3～6 m分别是浅层硬土和深层软土。

1) 计算深度取6 m，每层厚度按0.2 m确定，将地基压缩层分为30层，每层均为0.2 m。

2) 将300 kPa的荷载分为6级加载到基础，每级荷载50 kPa，确定每一级荷载作用下各个压缩分层的沉降，将其累加便可得到地基土的最终沉降量。

计算过程中，0～3 m深度的土层取硬土参数φ=24°计算Nr，Nq，Nc，3～6 m深度的土层取软土参数φ=10°计算Nr，Nq，Nc，不同深度土的pu值由于c值的不同也会发生改变[8]，按照浅层土，深层土的初始切线模量Et1、Et2分别计算不同深度土层的实际切线模量Et，另外，浅层土，深层土的破坏比Rf也分别取值，计算得到每级荷载下的沉降。

按基础宽度3 m计算得到的p～s曲线如图8所示。

3.4 均质软土层地基和上软下硬土地基

同样对图3～4中的均质软土地基与上软下硬土地基进行沉降计算，按基础宽度3 m计算得到的p～s曲线如图11所示。

将两种均质土地基与两种分层土地基的荷载沉降p～s曲线放进一张图中进行对比(见图11);将全软地基与上软下硬地基在100 kPa下的土层压缩量沿深度的变化汇总(见图12);将全硬地基与上硬下软地基在400 kPa下的土层压缩量沿深度的变化汇总(见图13)。

对于上软下硬分层土地基，可以看到其切线模量分布以及应力水平分布图在3 m深度的上下土层分界处有一个突变。这是由于土层由软土过渡到了硬土，切线模量自然大幅增加，传递下来的附加应力减少，但深层硬土的极限荷载比软土大很多，因此应力水平急剧降低，深层硬土的沉降迅速收敛。对于分层土地基土层压缩量沿深度的变化情况，可以看到在3 m深度处分层土地基的压缩量都有一个突变，尤其是图13说明软弱下卧层对地基沉降影响比较明显，而均质土地基没有突变。

从结果来看，以上4种类型的地基(硬土层、软土层参数一致)，用切线模量法计算出相同上部荷载下的沉降情况，具有软弱下卧层的地基沉降总是大于均质硬土地基的沉降，而均质软土地基的沉降总是最大，上软下硬土地基的沉降则略小于均质软土地基，这与实际经验情况一致。与均质硬土地基相比，上硬下软土地基中软弱下卧层的存在确实使得地基沉降增加了，而切线模量法能够体现这种变化，说明这种方法同样能够适用于分层土地基的沉降计算，反映出分层土地基不同层土体的影响。

从图11可见，上软下硬情况与全软土的沉降比较接近，从图12的沉降沿着深度的变化情况可见，沉降珠要是发生于上层3 m土层内，这就是图11中表现的上软下硬与全软土沉降差异不大的原因。而从图13可见，上硬下软时沉降主要发生于下卧软土层，这就是图11中上硬下软时的沉降较大于全硬土层的原因，可见切线模量法可以反映分层土的变形特点，可以用于分层地基的沉降计算。

4 结语

本文通过两种均质土地基以及两种分层土地基(硬土层、软土层参数一致)的切线模量法沉降计算对比，得到了相同上部荷载情况下，具有软弱下卧层的地基沉降总是大于全硬土地基的沉降，而全软土地基的沉降总是最大，上软下硬土地基的沉降则略小于全软土地基的结果，这与实际经验情况一致。同时通过分析沉降沿深度的变化，说明这种方法同样能较好的反映分层土地基对沉降的影响，表明切线模量法能够较好的计算分层地基的沉降。对于多层地基，只要合理确定不同土层的切线模量法需要的土体参数，则可以应用切线模量法进行多层地基的沉降计算。