圆锥曲线的切线问题研究

四川省宜宾市兴文县第二中学 肖 翔

过圆锥曲线上一点作切线，并求其切线方程，是学生在学习圆锥曲线知识的过程中一个头疼的问题。学生在代入过程中容易犯错，同时计算过程也容易出错。针对圆锥曲线的切线问题，需要总结出规律，以便学生在高考中能轻松应对，提高解决圆锥曲线的题型的能力。

一、椭圆的切线问题

过椭圆上一定点作椭圆的切线方程与过椭圆外的一点作椭圆的两条切线的切线弦。

1.过椭圆上的一点作椭圆的切线

解：当切线的斜率存在时，设过点P(x0,y0)的切线方程为y=kx+m，

代入椭圆方程得（b2+a2k2)x2+2kma2x+a2（m2-b2)=0，

当切线的斜率不存在时，过点P(x0,y0)的切线方程同样满足上式。

2.过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点弦直线方程

解：设两切点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直线为切点弦AB 所在的直线方程。

二、双曲线的切线问题

过双曲线上一定点作双曲线的切线方程与过双曲线外的一点作双曲线的两条切线的切线弦。

1.过双曲线上一定点作双曲线的切线

解：当切线的斜率存在时，设过点P(x0,y0)的切线方程为y=kx+m，

代入双曲线方程并化简整理得a2k2-m2-b2=0，

当切线的斜率不存在时，过点P(x0,y0)的切线方程同样满足上式。

2.过双曲线外一点作双曲线的两条切线，切点弦直线方程

解：设两切点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直线为切点弦AB 所在的直线方程。

三、抛物线的切线问题

过抛物线上一定点作抛物线的切线方程与过抛物线外的一点作抛物线的两条切线的切线弦。

1.过抛物线上的一点作抛物线的切线

例5：已知点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p＞0) 上的任意一点,求抛物线的切线方程。

解：过抛物线y2=2px(p＞0) 上的一点P(x0,y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)

同理可得，

过抛物线y2=-2px(p＞0) 上的一点P(x0,y0)的切线方程为：y0y=-p(x+x0)，

过 抛 物 线x2=2py(p＞0) 上 的 一 点P(x0,y0) 的 切 线 方 程 为：x0x=p(y+y0)，

过抛物线x2=-2py(p＞0) 上的一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x=-p(y+y0)。

2.过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点弦直线方程

例6：已知点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p＞0)外一点，过P 作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B,求过两切点A,B 的直线方程。

解：设两切点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)

则点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直线y0y=p(x+x0)上，

∴此直线为切点弦AB 所在的直线方程。