复变函数多值性问题在习题中的探究

曲木拉古 秦岭

【摘  要】棣莫弗公式（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ的得出用到了einθ=（eiθ）n，但是einθ是否就毫无疑问地等于（eiθ）n呢？该文从一道习题的错误解法出发，發现einθ与（eiθ）n并不能随便划等号，需要分情况具体讨论。

【关键词】棣莫弗公式;初等多值函数;多值函数单值化

■在“数学物理方法”课程中，有一道很常见的习题：将有序波列f（t）=cos2πv0t，-TT用傅里叶积分作展开。展开过程中会涉及到积分G（ω）=■■cos2πv0te-iwtdt。有位学生想：因为cos2πv0t=■，而e■=（ei2π）■=（1）■=1，同理，e■=1，这样的话cos2πv0t=1（无论v0t的值为多少），很明显不大对，接着往下做自然也不能会得出正确答案。为什么会这样呢？该生认为问题出在e■=（ei2π）■=（1）■=1上，认为e■与（ei2π）■与（e■）2不能划等号，并作了表格进一步说明：

这里有两个问题：一是表格里的计算究竟对不对;二是e■与（ei2π）■与（e■）2究竟能不能划等号。

首先来看表格里的计算。这其实涉及到了多值函数Zα（为了简明起见，直接讨论α为实数的情况）。众所周知，lnz为多值函数，其函数值为ln|z|+i（ψ+2kπ），k=0，1，2，3...，有无穷多个;根式函数■也为多值函数，有n个根。那么Zα呢？Zα=eαlnz=eα[ln|z|+i（ψ+2kπ）]=eαln|z|eiαψeiα2kπ，k=0，1，2，3，...，它的不相同值有多少个需要分情况讨论：①若α为整数，则eiα2kπ=1，Zα的值只有一个，为单值函数;②若α为有理数，则可写为α=■（■为不可约的分数），那么Zα=eαln|z|ei■ψe■，这时k取0，1，2，…q-1都对应着不同的值，而再往后取将会与前面的q个值辐角相差2π的整数倍;③若α为无理数，Zα有无穷多个值。

回到表格，我们看到，第三行中对应着Zα，α=2为整数，是第一种情况，为单值函数，表中的计算没有问题。而第二行中的Zα当α=0，1，2，3时，为单值函数，计算没错，但当α=■，■，■时，对应着第二种情况，为多值函数，将分别有2、3、4个根，那么我们用哪个根和第三列进行对应呢？这就涉及到了多值函数单值化。

对于初等多值函数而言，其多值性主要是由辐角的多值性造成的，要想化为单值函数，就必须破坏原来的定义域，使动点无法绕支点转动，也即对辐角进行限制，上述多值函数支点在0、∞，可限制z的辐角范围为0

回到表格第二列，（ei2π）■=（1）■=e■=e■■，由于单值化要求：0

再来看第二个问题，e■与（ei2π）■与（e■）2究竟能不能划等号，写简明一点，也即（ein）m与einm与（eim）n（n，m为任意实数）是否能划等号？我们来具体计算一下：

（ein）m=e■=em[0+i（n+2kπ）]=eimnei2kπm;（eim）n=en1ne■=

e■=eimnei2kπn;einm可以看到，要使（ein）m=（eim）n=einm，只有m和n都取整数，ei2kπn=ei2kπm=1，才能成立;那如果m和n不是整数呢？那这时我们只需要将多值函数单值化，在我们这情况中，令k=1，这样（ein）m=（eim）n=einm也能成立。这也是我们在刚才对表格的讨论中所采用的方法。

综上所述，通过对一道习题错误解法的讨论，我们发现，复变函数有时由于其多值性，具体应用时要多加注意;另外，在棣莫弗公式的推导中，einθ与（eiθ）n并不能随便划等号，需要分情况具体讨论：一种情况是n为整数（也是书中默认的情况），einθ=（eiθ）n;另一种情况是n不为整数，那么需将多值函数单值化后才能划等号。

【参考文献】

[1]刘连寿等.数学物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.12

[2]陆全康，赵蕙芬.数学物理方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.8

[3]霍淑洲.多值复变函数的单值解析分支[J].西安石油学院学报，1990第5卷第4期

[4]赵峰，谷云东.多值函数中几个似是而非的结论[J].吉林师范大学学报，2010年2月第1期

（基金项目：国家自然科学基金理论物理专款11647095）

（成都师范学院物理与工程技术学院，四川 成都 611130）