“自准直法”测量凸透镜的曲率半径与折射率

尹霖

【摘 要】介绍了一种测量凸透镜曲率半径及折射率的简便方法，适用于双凸、平凸、凹凸透镜，具有简便、快速的特点。

【关键词】凸透镜;曲率半径;折射率;自准直法;牛顿环

自准直法是测量凸透镜焦距的一种常用方法，但透镜在平面镜和物体间移动的过程中，会在物平面上两次出现等大倒立实像。用手挡住平面镜，一个像会消失，另一个像依旧存在：这表明只有第一个像才是自准直法中物体经平面镜反射而成的像，第二个像则是物体经凸透镜后表面反射而成的像，与平面镜无关。通过对凸透镜后表面反射成像过程的推导，可以得到关于凸透镜前后两个表面曲率半径和折射率的十分简洁的表达式。

图1 自准直法中的两次成像

一、凸透镜后表面反射成像推导

图2 成像过程，折射、反射、折射

设凸透镜前表面的曲率半径为R1，后表面的曲率半径为R2，折射率为n，空气的折射率为1，成像时物体与透镜的距离为x1，考虑到成像过程分为三步，即前表面折射、后表面反射、前表面再次折射，带入球面镜折射、反射成像公式：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

自准直法测得的物方焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■   （1）

将透镜翻转180°重复实验，同样会出现两次成像，注意此时前表面的曲率半径为-R2，后表面的曲率半径为-R1，成像时物体与透镜的距离为x2：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■    （2）

将（1）（2）再次带入焦距公式可得：n=■+1    （3）

由结论（1）（2）（3）可以得到自准直法测量凸透镜前后表面曲率半径R1、R2及折射率n的具体步骤：

1.使用自准直法测量透镜的焦距f;

2.透镜继续移动，找到透镜自身反射成像，测量物体距透镜的距离x1;

3.将透镜翻转180°，重复步骤1、2，测量物体距透镜的距离x2;

4.将x1、x2、f带入（1）（2）（3）式即可计算R1、R2、n。

二、实验测量

1.双凸透镜

为了对上述结果进行验证，首先选取了一块双凸透镜进行了测量，结果如下：

（x1、x2、f不确定的来源为成像的清晰范围为±5.0mm）

x1、x2、f、R1、R2应遵守球面镜成像中的符号法则：在透镜左侧为负、右侧为正，R1、R2的结果说明此透镜确为双凸透镜，折射率符合常见玻璃的折射率。

2.平凸透镜

考虑到牛顿环实验可以测量平凸透镜的曲率半径，又选择了一块平凸透镜，分别使用了自准直法和牛顿环方法测量了该透镜的曲率半径，结果如下：

（x1、x2、f不确定的来源为成像的清晰范围为±5.0mm）

结果中R1=∞，很好的说明了透镜的一面为平面，此时 X2=f物平面上会同时出现两个倒立实像，这点可以在实验中看得很清楚，挡住平面镜一个像消失，另一个像不消失。

（最小二乘法处理，钠光波长λ=589.3nm）

可以看到两种方法对于平凸透镜凸面曲率半径的测量结果是相当一致的，但自准直法的精度相对较低，这与用肉眼直接判断成像的清晰程度有关。

3.凹凸透镜

双凸透镜和平凸透镜的实验数据表明：透镜的凸面xf呢？实验发现确实是这样的：

（x1、x2、f不确定的来源为成像的清晰范围为±5.0mm）

结果中R1<0、R2<0说明了透镜为凹凸透镜，但实验时由于x2较大，透镜与物平面距离较远光线较弱，需要仔细寻找。

三、结束语

理论推导及实验说明了自准直二次成像法可以测量各类凸透镜（双凸、平凸、凹凸）的曲率半径和折射率，通过比较二次成像时的距離x和透镜的焦距f，可以快速判断凸透镜的凸、平、凹面，特别是在曲率半径较大接近平面时，具有简便、快速的特点。

【参考文献】

[1]吕斯骅.新编基础物理实验[M].北京：高等教育出版社，2006：46

[2]苏芳珍.用自准直法测薄凸透镜焦距实验中“真”“假”像的判断[J].延安大学学报：自然科学版，2008，27（4）：40-42

[3]姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，1993：172

（陆军军事交通学院基础实验中心，天津 300161）