从融合到创新：基于GeoGebra的数学深度教学①

罗建宇

(江苏省张家港市沙洲中学 215600)

面对“怎样培养人”、“如何让核心素养落地”等关键问题，数学课堂教学变革需向纵深推进，以深度教学为抓手，让学生的深度学习真正发生在数学课堂之上．鉴于高中数学学科的抽象性与概括性，为实现数学课堂教与学的良性互动，让学习在抽象的数学与生动的现实间构建联系通道，高中数学教学离不开现代教育技术的支持和助力．本文以GeoGebra为例，谈谈如何创生追求品质与意义的深度教学课堂，促进学生的深度学习，发展学生的数学学力．

1 GeoGebra与深度教学

问诊我们的数学课堂，常常可以见到一些现象：课堂热闹活动多样，数学的思考却淹没在花样翻新的形式中；教者不讲道理，跳过概念生成直接变式应用；学者不求甚解，简单模仿(甚至死记硬背)学习数学；满足于数学知识与技能(经验)的简单积累，却没有将碎片化的知识点联系起来考察，整体性的认识更无从谈起；这样的教学弊端归结于一点，就是缺乏深度，直接导致学生体验不深切、思维不深入和理解不深透，自然难以对学生的学习与发展产生深远的影响．

于是，走进学生情感和思维的深处，触及学科本质与知识内核，离不开深度教学．何为深度教学(Deep Teaching)，学界并没有统一的认识，综合文[1]-[4]的观点，我们以为深度教学强调的是对教学内容全面且深刻的理解，追求的是师生间的深度交流和对话，指向的是学生思维和情感的深度发展．而联系到“深度”一词的本意，是“触及事物本质的程度，或事物向更高阶段发展的程度”，本文将深度教学界定为，一种反映学科本质、推动学生认知从表层结构进入深层结构的教学，一种能够吸引学生深度参与其中思考学科问题、生成学科思维的教学．

具体到数学学科而言，深度教学首先体现在知识内容的呈现上要触及数学的本质，即展现概念、原理的发生、发展过程，让学生知其然更要知其所以然；同时注重知识间的横向、纵向联系，把握知识、方法、思想之间的关系，“置知识于系统之中，让所学知识牢不可破”；更为重要的是，深度教学要激发学生的数学学习热情，让学生从数学学习过程中获得朴素而广泛、深厚而灵动的数学思想，学会数学地思维，即“以深刻的思想启迪学生”，而这其中特别重要的4个环节，包括联系的观点，问题引领，交流和互动，努力帮助学生学会学习[5]．显然，这样的深度教学很难为传统的“一支笔一块黑板一张嘴”的教学手段所能承载，于是“运用现代技术手段，把现代技术作为学生学习和解决数学问题的强有力的工具”便成了数学深度教学的必然选择．

作为一款“专为教与学的动态数学软件”，GeoGebra实现了“形”(几何Geometry)与“数”(代数Algebra)的完美融合，代数运算系统(CAS)的完美嵌入为数学探究提供无限可能，指令输入和工具构造让动态演示过程更加生动，多模块区域间的关联互动保证高中数学内容的全面覆盖．GeoGebra带给我们的，不仅是更加方便快捷的数学，更是理想的深度学习平台和深度教学工具．它为我们提供了“多元联系表征”的学习环境，可以将抽象的数学知识直观化，使数学的关联性变得可见甚至可操作，从而能深入学科内部，帮助学习者洞悉数学本质；它能构建“抽象的数”与“可见的形”之间的联系通道，帮助学生超越表层知识符号的学习，进入知识内在的逻辑形式和意义领域，体现“数学是清楚的、自然的、水到渠成的”；它能突破数学“难以意会，无法言传”的障碍，实现以思维的分析带动具体知识和技能的学习，真正做到“教懂、教活、教深”；它操作简单即学即用，能够真正交到学生手中(不限于计算机操作，在平板电脑、智能手机等移动终端上也能流畅运行)，提高学生学习的积极性和参与度，从而真正促进学习方式的变革．

2 数学深度教学的实施策略

数学可以在学生的内心深处培植理性的种子，开展深度教学的意义恰在于此．通过创设真实的学习情境，吸引学生参与其中，深入思考学科问题；构建灵动的数学资源，推动学生数学理解的同时，引领数学思维从表层进入深层；开展多样的实验探究活动，在经历“数学化”的过程中，触及数学内核；结合主题单元教学，从更广泛的角度联系分析问题，在数学内涵的不断追问中，学会严谨、审慎地看待问题、理解世界．

2.1 情境创设，走进思维深处

我们知道，离开了师生间真正的情感交流和思维碰撞的课堂，即便学到更多的方法、考到更高的分数，也难以引发学生的共鸣，更谈不上“心向往之”．正如德国哲学家雅思贝尔斯所言，“教育就是一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂．”知识和技能只有进入学生的情感和思维，凝聚为个体生命的智慧和精神时，才有可能在学生心灵深处相遇、融汇．于是深度教学需要创设真实灵动的情境，以境启知由知怡情，走进学生心灵深处，以深刻的思想启迪学生．

案例1 函数周期性的教学

“周而复始”的变化规律可以用周期性这个概念来实行定量的刻画，然而学生对于周期T和周期函数的概念理解需要一个过程．于是需要创设情境，呈现足够丰富的样例，让学生有机会经历从“形”的认识到“数”的刻画的过渡；而创设情境时，不仅限于简单的基本三角函数，如y=sinx、y=cos2x等，还要有相对复杂的函数(只限于图形的认识，暂不涉及具体周期的求解)，如h(x)=2sin(3x)+cos(2x)等．从简单到复杂的过渡，可以保证学生对周期性有全面而深刻的认识．事实上，周期性并不只是三角函数所独有的，在经历周期性的学习后，可借助于软件来构造一些函数，这对学生的深度理解是不可或缺的．

情境在数学学习过程中有着极其重要的作用，借助于现代教育技术创设灵动的数学情境，为学生的数学理解构建一条件场域，为真实的数学学习行为开辟路径、启发思考，从而保证我们的教学真正走进学生情感和思维深处．当然，数学情境不仅是数学知识产生的背景，也内嵌有数学思想方法的表达；它不仅能激发数学问题的提出，也能为数学问题的解决提供信息和依据[6]．这样的情境创设自然离不开教师对教与学的“意义”的追问和找寻．

2.2 联系表征，促进深刻理解

促进深刻理解，需打开学生学习与发展的内部转换通道，一方面，要推动学生的学习认知从感性走向知性和理性，即从表面的模糊的认识走向事物联系和事物本质的把握和判断，从外部的操作感知走向内部的理解认知．另一方面，要实现数学对象的多元联系表征，因为数学概念的抽象概括性决定了单一表征往往难以充分揭示数学本质，而高中学生数学学习困难的一个重要原因就是对问题不能做出适宜的表征、不能在多种表征之间进行转换，从而深度教学就要凸显多元联系表征的优势，帮助学习者实现各种表征形式的操作与转换．

如前所述，GeoGebra可以轻松实现数与形的“联系表征”，让数学的关联性变得可见可操作，促进深刻理解．以线性规划为例，代数区中的不等式与绘图区中的可行域直接对应，从而为探索两者之间的关联提供了非常方便的实验平台．

案例2 阿波罗尼圆的深刻理解

我们知道，到两定点A、B的距离之比为定值t(≠1)的动点P轨迹为圆(通常称之为阿波罗尼圆，简称阿氏圆)．对于阿氏圆的理解，不应仅限于代数推演的方式确认，而应想办法让学生“看见”真实的圆，从而认识到阿氏圆以MN为直径(M、N为直线AB上的两定比分点)而非AB，这样可以用特殊法确定阿氏圆方程．然而更深刻的问题是，定值t是如何影响并决定阿氏圆的形状大小的．于是有必须做进一步的探究(通过软件拖动滑动条，改变t的值)：当t∈(0,1)，阿氏圆偏向A点一侧(A在圆内B在圆外)，随着t的不断增大，阿氏圆从A点往外扩张发散(半径增大)；当t∈(1,+∞)时，阿氏圆偏向B点一侧(B在圆内A在圆外)，随着t的增大，阿氏圆逐渐往B点处收敛缩进(半径减小)．通过这样的动态探究可以看到阿氏圆的全貌，即从A点处生长到B点处消亡、从偏A一隅逐渐扩张到居B一侧逐渐收缩(其中的分界恰为t=1时的垂直平分线，可谓泾渭分明)．既可以从整体上联系思考把握阿氏圆的变化特征，也可帮助学生在具体问题求解时迅速确认阿氏圆的位置形状．

借助数学软件开展数学探究，可以实现同一数学对象的不同表征方式的多元呈现，不但可以让学生感受数学的“美”(美妙)，更可创设情况体会数学的“真”(真实)；当然推动学生的深刻理解，需要关注不同表征形式的“同现”，更要重视有内在联系的“共生”，以此达成表征系统内转换与系统间转译的“水到渠成”．

2.3 实验探究，推动自主发现

教是为了学，深度教学需要为学生打开一扇窗户，让学生透过这扇窗户，去发现无限的世界．而推动学生自主发现离不开数学实验的土壤，通过实验手段来学习、验证和发展数学，可以将抽象的结论寓于其中，使学生经历一个从具体到抽象的过程，从而见到数学的全貌；在问题的发现、方法的形成、知识体系的构建过程中，让学生感悟蕴含其中的数学思想和数学方法．

案例3 二分法求方程近似解的实验探究

掌握算法的关键在于算理的思考，如果只是采用“告诉”的方式教学，精妙的数学思想只会淹没在繁杂的形式演算之中．让学生在软件界面上自行选择方程和初始有解区间(以方程x3-3x+1=0和初始区间(1,2)为例)，面对长度递减的系列有解区间：(1,2)→(1.5,2)→(1.5,1.75)→(1.5,1.625)→(1.5,1.563)→(1.531,1.563)→(1.531,1.547)→…二分的含义自然可以“呼之欲出”，而方程近似解也在“不言中”．事实上，这样的实验可以简单重复，面对丰富的素材和样例，学生自然会追问如何二分、为何可以二分，查看相应数学对象的属性，“零点存在定理”便可以“浮出水面”．

借助于数学实验，让学生亲历数学知识的建构过程，在“做”中理解数学、发现数学，而不是简单的应用数学解决问题，可以让原先枯燥无味的数学公式、数学概念、数学定理变得鲜活起来；正是有学生的亲身参与，这样的教学更能走进学生的内心深处，从直观、想象到猜想、发现，“做”数学的过程中丰富感知，在直观感知的基础上建立表象，在表象提取与运用中发展想象．值得说明的是，GeoGebra创设的实验素材不仅可以发送给学生，也可直接发布到网上，这样学生可以随时随地使用任何终端开展实验探究．

2.4 聚焦主题，触及本质内涵

只有从更广泛的角度，也即用联系的观点进行分析思考，才能达到更大的认识深度；反之，也只有达到了更大的认识深度，才能更好发现不同对象之间的联系[5]．于是深度教学要求我们应跳出各个细节从整体上进行分析思考，用整体性认识指导各个具体内容的教学， 通过“结构性教学”帮助学生学会“结构性思维”．这就需要教师有一个整体的大单元观，能够按照逻辑的顺序(由简单到复杂、由低维到高维)把握各个相关内容，并通过数学知识的整合和教学内容上的有意义链接开展主题教学．如果将日常教学中的每个课时理解为一个一个点的话，那么“大单元”就是一条主线、一个面，而主题教学的任务则是结点成线，将无数个小点联贯起来形成结构和体系．

主题教学要求教师能从一节一节的教学中跳出来，整体把握数学课程．这样的主题单元概念可以出现在章首语的教学中，如教学三角函数时，可以通过案例1帮助学生认识“三角函数是描述客观世界周期性变化规律的重要数学模型”，同时也将后阶段学习的角的概念推广、三角变换等纳入到函数研究的框架中(作为必要的知识准备而进行的概念推广)，当然也可以体现在章节复习课中．当然主题单元更多的体现在章节内容学习过程中，以某段重点或关键内容为依托，联系相关知识点进行纵向和横向的融通，既可以以数学中通性通法、数学思想为单元，如“函数方程思想”，也可以以重要的教学主线为单元，如“数的概念推广”．

主题教学是进入深度教学的核心．一方面需要教师本身必须对于相关内容有深刻的理解，不仅能够准确把握相应的“核心内容”，还要有整体的大知识观；另一方面，在内容设计时，要基于学生已有认识，符合螺旋上升的认知发展规律，处理好细节与整体、“生成”与“再认识”等关系．

3 从融合走向创新的思考展望

深度教学是培养学生核心素养的有效路径，也是当下课堂教学改革向纵深推进的实质与方向，然而知易行难，要真正触及学科本质推动学生认知走向深层谈何容易；另一方面，“重视信息技术运用”已是共识，但如何“实现信息技术与数学课程的深度融合”却是举步维艰．而技术应用与深度教学的结合，恰可以让我们“豁然开朗”，不仅深度教学有了切实的抓手，而且技术应用也焕然一新，从融合走向了创新．

3.1 技术融合，开展深度教学的必然选择

深度教学要求反映学科本质，然而数学对象之间严格的数量关系和几何关系、运动与变化中的数学规律等本身就难以把握，更何况要跳出细节从整体上思考、学会“结构性思维”，于是借助技术的表征优势，为概念理解创设背景，为规律探索启发思路，为问题解决提供直观，如案例2可以帮助学生从单个的阿氏圆认识中跳出来整体思考，从而建立定值t与阿氏圆的直接联系，在认识全貌的同时保证具体问题解决时的快速定位．事实上，技术的应用不仅限于为深度教学提供资源，它还推动数学学习方式的转变，案例3告诉我们，技术本身就是数学，可以将 “向书本学习数学”变为“向技术学习数学”，数学实验的开展正可以促进学生的自主发现和真正理解，从而技术支持下的教学环境为学生“沉浸”于学习提供支撑．

3.2 深度教学，创新技术应用的应然方向

技术应用固然可以改进我们的教与学，但技术本身只是工具，发挥技术的教育价值离不开深度教学的理念指引，而从促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟出发，恰可以为我们带来技术本身的创新应用．如案例1中所以想到构造周期函数，也是基于深度教学的需求．事实上，帮助学生理解数学本质、促进学生高水平思维参与，就不能停留于抽象概念的简单具象化呈现，而需要从具体教学内容出发，研究学生的认知难点和技术优势，明晰技术具体用在哪里、如何使用、为什么要使用，进而设计环节、架设桥梁以启发思维，或理解数学内容，或探索、发现和解决问题．所以说，正是有了深度教学的方向引领，有了对“技术”、“设计”和“学习”的意义的不断追问和深刻理解，我们便能为技术赋予应有的教育价值，从而为创造性地应用技术开辟道路．

“以深刻的思想启迪学生”，让我们的课堂散发应有的魅力，离不开教师自身的深度研究(研究数学、研究教学、研究学生、研究技术)，唯有对学科内容的全面深刻理解才能有课堂教学的“深入浅出”，唯有对学生学情的深度追问才有课堂教学的“指点有方”，唯有对技术应用的创造性理解才有课堂教学的“游刃有余”，基于此我们需要“简单问题，深度思考，心往高处，行向远方”．