基于几何关系的刚体姿态描述矩阵的导出与解析

李叶龙 杨娟 马兴灶

摘要：从两直角坐标系各坐标轴间的几何关系入手，组合排列出刚体姿态描述矩阵的一般式，利用向量点积性质及刚体姿态描述矩阵的一般式推导出坐标旋转方程，进一步应用刚体姿态描述矩阵的一般式，借助两坐标系各坐标轴间几何关系，得出描述刚体姿态的三个基本旋转矩阵的具体形式;利用两坐标系的几何关系，借助辅助坐标系推导出描述刚体姿态的旋转通式，并由旋转通式得出描述刚体姿态的三个基本旋转矩阵的具体形式。

关键词：刚体姿态;坐标旋转;几何关系

中图分类号：TP18       文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2020）36-0015-04

Abstract：Starting from the geometric relationship of axes in two rectangular coordinate systems， the general form of the description matrix for rigid body attitude was obtained through permutation and combination， which was then used to derive the coordinate rotation equation based on the property of vector dot product. Further， applying the general form of the description matrix for rigid body attitude， and with the aid of the geometric relationship of axes in the two coordinate systems， the specific form of three basic rotation matrixes describing rigid body attitude was obtained. Also， by using the geometric relationship between the two coordinate systems and the auxiliary coordinate system， the general expression of rotation describing rigid body attitude was derived， which was then used to obtain the concrete form of the three basic rotation matrixes that describe rigid body attitude.

Key words： rigid body attitude， coordinate rotation， geometric relationship

前言

剛体的位姿描述包括位置描述和姿态描述，是机器人运动学的基本概念，其数学语言表述为位置（平移）向量和旋转矩阵，二者是刚体位姿齐变换矩阵的关键元素。其中所涉及的描述刚体姿态的三个基本旋转矩阵，是建立机器人操作臂运动方程、进行机器人操作臂运动方程求正反解的基础，特别是其所蕴含的坐标轴间几何关系是理解上述问题的关键，因其属于基础性内容，现有关于机器人技术方面的资料文献中，对描述刚体姿态的三个基本旋转矩阵的具体形式的导出过程均进行了不同程度的省略[1-3]，导致其成为初学者学习机器人技术的一个难点。针对于此，本文从两直角坐标系各坐标轴的几何关系入手，从两个方面对描述刚体姿态的三个基本旋转矩阵的产生及导出过程进行了系统性解析。

1 刚体的位姿

在机器人技术中，刚体间位姿（位置、姿态）关系通常借助其上固化的坐标系来确定，通过各固化坐标系间位姿关系反映刚体间位姿关系，研究中以坐标系间的平移向量及旋转矩阵来描述刚体的位姿。分析时通常假定两固化坐标系的位置（姿态）相同，然后研究两坐标系的姿态描述矩阵（平移向量），最后以姿态描述矩阵和平移向量为元素构成齐次变换矩阵来综合体现两刚体的位姿关系。刚体间的平移向量可通过平移方程进行求解，较为简便直观，如图1所示（只考虑位置关系，故两坐标系姿态相同）。坐标系{B}相对坐标系{A}的平移向量，可通过矢量三角形∠OAPOB进行求解，其平移方程如式（1）或（2）所示。而姿态关系则是在两坐标系拥有共同原点（只考虑姿态关系，故两坐标系位置相同）的情况下，通过坐标系间的旋转矩阵来表达。

式中AP为P点在{A}坐标系中的坐标;BP为P点在{B}坐标系中的坐标;AOB为{B}坐标系的原点在{A}坐标系中的坐标。其向量表式形式，如式（2）所示。

2 刚体姿态描述

2.1旋转矩阵的一般式

两坐标系的初始态如图2a所示，坐标系{A}与{B}重合，之后坐标系{B}相对{A}发生旋转，即坐标系{A}为参考系，坐标系{B}以过原点的某一直线为轴发生旋转，旋转后二者的几何关系发生改变（见图2b）。由图2b可见，{B}坐标系的三个单位主矢量（xB，yB，zB）与{A}坐标系的三个单位主矢量（xA，yA，zA）间形成一定角度，其中zB与xA，yA，zA间的角度分别以（zB，xA）、（zB，yA）、（zB，zA）的形式表示，依次类推两坐标系坐标轴间的角度共关系有9种组合，由此9个角度的余弦值按照一定方式排列可构成3×3矩阵。

将此矩阵的行（从上到下）分别表示坐标系{A}的xA，yA，zA三个单位主矢量方向，列（从左到右）分别表示坐标系{B}的xB，yB，zB三个单位主矢量方向，由此排列所得矩阵如式（3）所示，此矩阵可明确地反映出坐标系{B}相对于坐标系{A}的几何关系，即姿态描述，故将式（3）定义为刚体姿态描述的一般式。