MM教育方式的源与流

华志远

(无锡市第一中学 MM教育方式研究所 214031)

2019年11月29日至30日，全国第12届数学方法论与数学教育学术研讨会，暨MM实验30周年纪念活动，在无锡隆重举行，来自全国各地的数学家、数学教育家、专家学者和教师云集无锡，研讨当前数学教育方法，展望未来发展之大计.

1 MM教学方式的缘起及内涵

1989年，在已故著名数学家徐利治教授的指导下，由无锡市教研中心特级教师徐沥泉领题，开展了“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的数学教育实验，简称MM(Mathematical Methodology)实验，由于实验的顶层设计视野开阔，立意高远，思路清晰，操作具体，又贯通各年龄层次的数学教育，因而在全国各地包括台湾、香港都产生了深远的学术影响.1994年MM实验结题时，王梓坤院士、徐利治教授等组成的专家组给予实验高度的评价，从而为MM实验的示范、辐射和推广起到了极其重要的作用.

所谓MM教育方式就是运用数学方法论的观点来指导数学教学，即应用数学的发展规律、数学的思想方法和数学中的发现、发明与创新的观点设计数学教学，其教学目标是提高学生的一般科学素养、社会文化修养，形成和发展他们的数学品质.MM教育方式源于G·波利亚的数学教学思想及方法论模式，同时又在实践中不断加以改造、发展和创新，以发挥数学课程的科学价值和文化价值.MM教育方式应遵循两个基本原理：一是将教学、研究和发现同步协调地推进：二是既教猜想又教证明.在教学过程中，有意识、有目的、恰当地操作好8个变量，即数学的返璞归真教育、审美教育、发现法教育、数学家优秀品质教育和数学史教育、数学中的演绎及合情推理和一般解题方法的教育.

2 MM教育方式为何历久弥新

上世纪80年代后期，经过拨乱反正，我国基础教育得到了全面修复，但当时应试教育愈演愈烈，不仅影响了学生学习的好奇心和积极性，而且对师生的身心健康造成了伤害，为此教育部发出了推进素质教育的号召，“MM实验”作为学科教学的素质教育典范，得到了各级领导和教育界的普遍关注.受行为主义强化学习理论的影响，当时国内数学教育的主流是突出教师的讲解和学生的练习，从“精讲多练”到“精讲精练”、“变式训练”等，虽然教学方式不断升级，但都离不开练习，其目的主要是为了巩固与熟练掌握.“熟能生巧吗？”数学界的许多有识之士对此提出了质疑.1987年8月，无锡市的数学教师参加了“全国数学方法论和数学史研讨会”，听取了徐利治教授关于“数学方法论和G·波利亚数学教育思想”的系列讲座，而后又参加了由周春荔、杨世明先生主持的“首届波利亚数学教育思想研讨会”，1989年成立了无锡市MM课题组，从此数学方法论的研究在无锡落地生根，开花结果，相应的数学方法论理论、实践经验和研究方法，在MM实验的设计者、组织者和专家学者的推动下，逐渐向全国十多个省、市、自治区扩散.

进入90年代，建构主义理论传入我国教育界，这与MM教育方式的教育目标，即激发学生的创造性，促进数学中的发现和发明，是一脉相承的，于是数学的发现法教育成为当时最为时尚的教学范式，至今仍具有深刻的影响.许多优秀教师的教学案例，注重知识发生阶段的教学，加强数学思想方法的渗透，重视解题思维过程的分析、暴露、设计和反思，从而将教学、研究和发现进行整合，使之同步协调的开展.在公式、定理及习题教学中，既教猜想又教证明，成为广大教师普遍认同的原理，数学教学翻开了以独立思考为核心理念的新篇章.从当时的教研论文来看，数学思想方法、发现法、数学史、审美教育等，成为最为热门的研究话题，这与MM教育方式的传播和影响密不可分.2001年，笔者参加了在华南师大举办的国家级骨干教师培训，期间有幸与香港大学梁贯成教授进行了互动交流，笔者提问：“您如何评价国内的数学教育研究？有没有什么建议？”他回答道：国内的数学教育一类是以文献研究为主，但对教学实践的影响如何难以评价；另一类是教学经验研究，由于缺乏理论支撑，学术影响力有限.但也有一些成功案例，如无锡的MM教育方式，不仅理论基础坚实，而且操作变量具体，实践应用广泛，在国内和港台都有影响力.

21世纪初，一场以培养学生创新意识和实践能力为目标的基础教育课程改革拉开了帷幕.课改初期，新课程的理念犹如一股清风，的确给基础教育带来了新的气象，各种围绕课改的教研活动如火如荼，教学的呈现形式可谓多姿多彩.课堂上，师生互动，生生互动，人机互动，教学气氛一改以往沉闷的局面，掌声、笑声、欢呼声不绝于耳，但内容的贫乏、思想的空洞、能力与素养的缺失，使课堂教学缺乏思维的张力.随着专家学者对这种热闹非凡课堂的质疑，教学又回归理性.为此，广大教师从不同的视角去审视这次课改，逐渐从一时迸发出的教学热情，转向冷静的研究反思；逐渐从课改的形式设计，转向教学的内涵发展.MM教育方式再次成为数学教育的关注焦点，其操作变量中，多个成为核心素养的要素，成为教学研究的重点.

MM教育方式为何能够历久弥新，不受时代的局限？因为它是在学习和借鉴了国内外数学方法论的理论成果，并把它与我国数学教育改革的实践相结合，率先在较大范围内成功地进行了具有教育科学形态的数学教育实验，具有较强的科学性、人文性、操作性及实效性.徐利治教授指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现、发明与创新的一门学问.”这对当下课堂教学中的“去数学”现象、低质量的学案练习法等具有一定的警示作用.

3 MM教育方式在传承中发展

新的世纪，人类社会已进入了一个科学与人文相融合的时代.高科技的发展本质上是数学的发展，从日常的抖音、App软件，到人脸识别、量子通讯，再到金融安全、现代战争等，无不涉及到算法和数学技术，因此世界各国都越来越重视数学科学价值的发掘.数学发展过程中本身积淀的文化价值，如理性思维、数学精神、数学思想方法等都能让人终身受益，此外，由于数学在社会、生产、生活中的应用，因此数学文化与诸多文化产生交融，从而对人类文明具有积极的推动作用.正如2000年里约热内卢宣言中指出的那样：“纯碎数学与应用数学是理解世界及其发展的主要钥匙.”世界各国都把数学教育作为提高国民素质的重要手段，有的国家甚至把数学提到国家核心竞争力的战略高度.中国的数学教育自然不甘落后，进入新世纪，明显加快了数学课程改革的步伐，并在数学教育方法上力求返璞归正，追求更高的品质，这无疑为贯彻MM教育方式提供了更加广阔的平台.

3.1 在国家课程中传承MM教育方式

首先，国家课程相对具有稳定性，前期积累的丰富经验，依然具有重要的教学价值，只是在背景材料、教学环境等内隐性课程资源发掘上，应力求做到与时俱进；其次，对于新增的内容，则应依据MM教育方式的理念进行设计研发，并通过同课异构、研究课、示范课等形式，加强学术研讨，逐步达成共识.以导数及其应用的教学为例，我们以数学史中微积分的四大问题为线索，设计数学问题及任务，让学生在猜测、反驳及证明中，追踪数学家、科学家的原创思维路径，实现数学知识、思想方法的意义构建.

如“瞬时变化率”第一课时，涉及到曲线的切线问题，笔者是这样设计数学任务让学生操作和思考的：在物理上，我们学过一束光线射到平面镜上一点反射的规律，那么光线射到凸透镜上一点，如何反射？结合图形，先研究最熟悉的凸透镜为球面镜的情形，再探索凸透镜为抛物线镜面的问题.在此背景下，引导学生复习：(1)在初中，我们学过圆的切线，它是怎么定义的？(2)这样的定义能否来定义抛物线的切线？以求过抛物线y=x2上一点P(1,1)的切线方程为例.学生很快找到了反例：直线x=1，为此学生增加了“且不穿过曲线”的限制，笔者称之为与古希腊数学家类似的定义，引发了学生的笑声，那么把抛物线换成y=x3会如何呢？学生发现这样的定义依然有局限性.直到十七世纪下叶，德国数学家莱布尼茨将切线定义为“连续曲线上无限接近两点的直线”，即用运动观点和极限思想，才解决了一般曲线的切线问题.接着回到上节课的例题：分别求函数y=x2在区间[1,1.1]、[1,1.01]、[1,1.001]上的平均变化率，并解释它们的几何意义.通过几何画板演示，并抽象成一般的情形，即求在区间[1,1+Δx]上的平均变化率，就是割线的斜率为2+Δx，当Δx→0时，割线逐渐成为切线，于是切线的斜率为2，把例题一般化就得到了曲线切线、导数的定义.在课堂小结时，除了对知识和方法的梳理外，笔者引领学生从数学方法论的视野，谈谈怎样研究、发现和学习数学，受到广大师生的一致好评.从本节课的教学进程来看，MM教育方式的两个原理和多个操作变量得到了很好的贯彻执行.

3.2 在校本课程中贯彻MM教育思想

学校课程建设中，倡导“国家课程校本化，校本课程精品化”，校本课程已成为学校特色发展的核心要素.新一轮课改的目标是培养学生关键能力和核心素养，数学文化、数学探究和数学建模是主要的课程依托，但受高考升学率的牵制，在国家课程实施中，较难兼顾这三大课程的学习，而校本课程为这三大模块提供了新的教学平台.以我校开设的数学校本课程来看，学生经历了从困惑、感知到喜欢、期待的过程.但由于受知识的局限，一些以高等数学为背景的数学史、数学美、数学探究、数学建模、数学哲学等，学生很难深切体验到其真正的数学价值，因此，教师应以MM教育方式的理念为依据，开发高观点下的中学数学案例，并结合学生学情及国家课程进度，精心设计教学.

以数学文化中“集合的萌芽与发展”为例，笔者教学设计的路径是这样的：(1)集合的萌芽及简单应用；(2)伽利略及数学家的困惑；(3)“一一对应” ：康托打开了无限集度量的大门；(4)千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金；(5)“刮胡子问题”引起的困惑(第三次数学危机).限于篇幅，这里给出中间部分教学片段：

师：1638年，天文学家伽利略提出如下问题：全体自然数与全体平方数哪个多哪个少？同学们能猜出答案吗？为什么？

生：全体自然数多，因为部分少于全体.

师：同学们回答得爽快，但伽利略当时却困惑不解，数学家也难以回答，因为这里涉及到了数学的一个神秘地带：无限问题如何度量？类似的问题：全体正整数与全体正偶数谁多谁少？相同端点的圆弧上的点与弦上的点谁多谁少？让我们穿越时光隧道，回到伽利略提出疑问约200年后的1873年，因为就在这个时间节点，康托尔开始了有关集合和无限问题的变革性研究. 他用“一一对应”作为衡量集合大小的一把“尺子”，这样，如果两个集合之间能够建立一一对应关系，就说这两个集合“等势”. 如n↔n2、n↔2n等，同时把正整数集称为“可数集”，其势记为0(读作“阿列夫零”). 他还证明了实数集R与自然数集N不能建立起一一对应关系，从而证明了实数集是“不可数”的，其势记为(读作“阿列夫”)，从而解决了伽利略问题. 同年12月7日，他把这一发现写信给另一位研究无限问题的德国大数学家戴德金，数学史学家把这一天看作集合论的诞生日. “一一对应”思想就是康托尔打开无限集度量大门的钥匙，从此现代数学的基石——集合论进入了一个崭新的时代.随后，康托发表了系列研究论文，1883年出版了专著《集合论基础》. 但人们自古以来一直认为“全体大于部分”，因此遭到包括他的老师、柏林学派的领袖克罗内克的严厉批判和排挤，甚至限制他到柏林大学任教，这给康托尔带来了巨大的心理压力，1884年患上了精神分裂症，经过一段时间的恢复，为了捍卫真理，他继续探索，勇往直前. 随着克罗内克的去世，他的成果受到数学界尤其是法国大数学家阿达玛的重视，不久就在测度论、拓扑理论中获得了应用，并发现了=2，很快集合思想渗透到了数学的各个分支之中，从而对数学的发展产生了巨大的影响，成为整个现代数学的基础.

在无锡一所四星级高中数学文化节中，本节课作为示范课，近千名师生参与其中，评课时，同行都认为课堂很好地贯彻了MM教育方式的理念，学生既有积极的思考和交流，又能真切感受到数学文化的魅力.

4 MM教育方式重在队伍建设

由于MM教育方式倡导的是一种研究性的教与学，相应的教学设计具有一定的综合性、复杂性和开放性，因此对教师专业化的发展提出了较高的要求.一方面，教育行政部门和教研机构应加强MM教育方式的理论学习和实践培训;另一方面，各名校应体现其示范辐射作用，依托课程基地、名师工作室、课题研究组等学术团体，相互配合，共同协作，精心设计，并在教学实践中加以改进和优化，形成MM教育方式的课程资源库，供广大教师学习和选用，从而使MM教育方式成为课堂教学的常态.实践证明，再好的教学范式，仅靠个别教师的单打独斗，很难收到教学的整体成效，只有依赖专业团队的共同努力，才能取得突破性的进展.这里团队成员的组成应具有专业性、异质性、活动性和引领性，如科研机构的专家、一线的优秀教师及教研员等，通过开发、收集典型案例，并在实施、评价及研讨中加以整合和优化，逐渐将成果向广大教师推广，以实现区域性MM教育方式的经验共享.如我校利用江苏省课程基地，成立了“MM教育方式研究所”，意在提炼“MM实验”过去成功的经验，立足当下数学课堂，发掘优秀的MM教育方式案例，并在总结、反思和探索中，凝练MM教育思想，让MM教育方式在传承中发扬光大.正值MM实验30周年之际，作为MM教育方式的发源地，无锡理应走在前列.

MM教育方式从数学方法论出发，吸收其它优秀教育理论的精髓，并加以融会贯通，这一数学教育理念，在实践中得以传播，在研究中得以发展，体现出其旺盛的生命力.宏观视野定格局，微观方略出效果.只要我们不忘初心，牢记使命，MM教育方式定能让广大师生感受到它独特的价值和魅力，从而成为中国数学教育的品牌.