三能级钾原子气体三维傅里叶变换频谱的解析解*

赵超樱 谭维翰

1) (杭州电子科技大学理学院,杭州 310018)

2) (山西大学光电研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

3) (上海大学物理系,上海 200444)

利用投影切片定理、傅里叶位移定理和误差函数给出三能级钾原子气体三维傅里叶变换频谱在T=0界面的解析解.固定均匀线宽,非均匀展宽和对角线相关系数可以定量地识别,通过在适当方向上拟合三维傅里叶变换频谱谱峰的切片来确定.结果表明,非均匀展宽增大,频谱图沿着对角线方向延伸,对角线相关系数增大,频谱图逐渐变圆,振幅也逐渐变小.

1 引 言

基于三脉冲瞬态四波混频技术[1]的多维傅里叶变换光谱学的诞生是超快光谱学的一个重要进展.多维光谱学的概念最初是从20世纪核磁共振发展起来的[1],最常见的是二维相干谱[2],2010年,Siemens等[3]应用投影切片定理首次解析求解了二维傅里叶变换光谱中任意非均匀的对角线和交叉对角线切片共振线型,其结果可用于实验数据中多个共振的均匀和非均匀展宽的定量测量.二维光谱具有的特点也使它成为了研究各种结构和动态的重要工具,例如,水中的氢键动力学[4]、半导体量子阱[5−8]的多体动力学等.2013 年,Li等[9]首次在实验上实现了钾原子气体的三维傅里叶变换谱,该变换谱能清晰地揭示每条路径的跃迁能、弛豫速率和偶极矩.2015 年,Bell等[10]应用投影切片定理首次解析求解了二维傅里叶变换谱.其结果可用于任意非均匀共振的二维相干谱实验.二维光谱具有分解不同的量子激发路径的能力,所以用二维光谱研究碱金属原子体系.2017 年,Titze和Li[11]计算了激发脉冲序列在特定相位匹配方向上的三阶非线性光学响应,其结果与文献[9]在 T=0 截面的实验结果一致.国内,清华大学戴星灿课题组[12−14]使用多维傅里叶光谱的方法对碱金属分子量子系统中的动力学过程进行了详细的研究.南京大学肖敏课题组[15,16]采用超短脉冲,并在其基础上发展了对抽运的相关探测、时间分辨荧光等超快光谱学方法.近几年,陕西师范大学的李晓辉课题组[17−20]开展了石墨烯等二维材料的非线性光学和超快光子学的研究工作.考虑到文献[12]只给出了钾原子气体三维傅里叶变换谱的数值解,没有给出频域谱的解析解,因此,本文给出了钾原子气体三维傅里叶变换谱在 T=0 截面的解析解,其结果与文献[9,11]的数值解一致.

2 三维傅里叶变换谱

早期的三维相干光谱的实验[21,22]是基于样品对5个激发场的五阶非线性响应的,但是为了获得更完整的电子跃迁信息,研究三维光谱时对电子跃迁主要集中在了三阶非线性响应上.本文选用能级系统简单的碱金属原子蒸气研究三维傅里叶变换谱[12−14],如图1 所示.

图1 四波混频原理图Fig.1.Four wave mixing schematic.

在 t1,t2,t3时刻分别发射第一个、第二个、第三个脉冲信号,其中τ为第一个脉冲和第二个脉冲之间的时间延迟,T为第二个脉冲和第三个脉冲之间的时间延迟,t为发射时间.四波混频起因于非线性光学中的三阶非线性极化[23],满足动量守恒k4=k1-k2-k3和能量守恒ω4=ω1+ω2+ω3.频率为 ω4的光波产生的三阶非线性极化强度为

基于密度矩阵公式,光与物质相互作用的Bloch方程为

其中,矩阵元Hij=ℏωiδij-μijE(t),ℏ ωi为i态的能量,μij为i,j两能级跃迁电偶极矩;弛豫算符 Γ的矩阵元Γij=1/2(γi+γj),γi,γj为i,j能级能级的布居数衰减率.

跃迁频率有一个二维高斯函数的非均匀分布[11]:

非均匀线宽和关联函数是

利用费曼图,可以得到图谱中6个峰对应的量子路径.例如,T=0 时,A 路径为[11]

为了分析三维傅里叶频谱的线形,重新定义新变量t′=t+τ为时域中的对角线方向,τ′=t-τ 为时域中的交叉对角线方向[3].通过时域中对交叉对角线上的投影进行傅里叶变换来计算频域中交叉对角线的切片,称之为投影切片定理[10].也就是说,切片沿着ωt′,位移沿着ωτ′;切片沿着ωτ′,位移沿着ωt′.二维频域沿 ωx方向上的位移Δωx相当于在二维时域中乘以e-iΔωxt,如图2所示.

利用误差函数:

图2 (a) 二维时域;(b) 光子回波信号的频率坐标;(c) 二维时域投影在对应于沿的切片的对角线上;(d) 沿 的切片对应的交叉对角线上的二维时域投影Fig.2.(a) 2D time;(b) frequency coordinates for photon echo signals;(c) 2D time projection onto the diagonal corresponding to a slice along (d) 2D time projection onto the cross diagonal corresponding to a slice along.

在时域中,将A路径[11]下对应的三阶非线性极化方程形式简化如下:

其中,均匀线宽为 Γ10和Γ20,非均匀线宽为 δ ω10变为 δ ω20.

对其进行傅里叶变换,将图像从空间域转换到频率域.A路径[10]下对应的频域形式为

根据投影切片定理,通过如下坐标变换[10]:

A路径下对应的频域谱的解析解为

同理可得,将 δ ω10变为 δ ω20,将 Γ10变为 Γ20,就是B路径的解析结果[11].

根据参考文献 [11],C-F 路径中含有 tτ 交叉项,时域的解析解可简写为

第1种情况,当δ ω10=δω20,R=1 时,频域谱SC1(ωt,ωτ),SD1(ωt,ωτ),SE1(ωt,ωτ),SF1(ωt,ωτ)能够得到和A路径(7)式一致的解析解.

第2种情况,当δω10=δω20,R /=1 时,频域谱的解析解变为

由于δω10=δω20,所以频域谱SD2(ωt,ωτ),SE2(ωt,ωτ),SF2(ωt,ωτ) 能够得到和 C路径一致的解析解.

第3种情况,当δω10=mδω20,R=1 时,频域谱的解析解为

表1 非均匀展宽和对角线相关系数之间的关系Table 1.The relation between in-homogeneous line-width and the diagonal correlation coefficient.

第4种情况,当δω10=mδω20,R /=1 时,频域谱的解析解为

同理可得,将 δω10变为δω20,E,F 分别与 C,D 路径的解析解一致.

从(10)—(17)式中可以看出,路径差别仅仅与Γ和δω有关.接下来,通过数值模拟观察 Γ和δω 分别对光谱的影响.

3 数值模拟

数值模拟中,取如下参数 :ω10=386THz,ω20=388THz.根据 (9),(10)式,路径A不含对角线相关系数R的交叉项,B路径所得三维傅里叶变换频谱图与A路径的图是一样的.根据(11),(12)式,路径C-F含对角线相关系数R的交叉项.比较图3 和图4,固定 m=1.5,改变 R,随着R的减小,SC2(ωt,ωτ) 谱形逐渐变圆,振幅逐渐变小.比较图3和图5,当 R=1 时,即对角线相关系数相同,m的变化可以看作是非均匀线宽的变化,随着m 的减小,SC3,E3(ωt,ωτ) 谱线范围向两边延长,频谱图变细长.比较图4和图6,改变非均匀线宽,随着m的减小,SC4,E4(ωt,ωτ) 谱线范围向两边延长,频谱图变细长.比较图5和图6,改变对角线相关系数,SC4,E4(ωt,ωτ) 图像变得更圆.

固定均匀线宽Γ10,Γ20,与非均匀展宽相关的参数 R,m,δ ω10,δ ω20可以定量地识别,通过在适当方向上拟合三维谱峰的切片来确定[3].为了能更清楚地观察到对角峰和非对角峰随着参数的变化而发生的变化,将A-F路径的频谱图画在一张图中,进一步得到 T=0 界面完整的三维傅里叶变换频谱图.如图7、图8所示,左上角为A路径模的图谱,右下角为B路径模的图谱,右上角为C路径模的图谱,左下角为 D路径模的图谱,根据(13)式和(15)式,E路径所得三维傅里叶变换频谱图与 C路径的图是一样的.根据(14)式和(16)式,F路径所得三维傅里叶变换频谱图与D路径的图是一样的.这样就得到了 T=0 界面各个路径完整的截面图.但是对于A,B两条路径来说,改变对角线相关系数并不会影响它们的图谱,由于A,B两路径的频谱图位于整体图的对角峰位置,对角峰不受R的影响,因为它们是由单一的跃迁分别决定的.C,D两路径的频谱图位于整体图的非对角峰位置,非对角峰会受到R的影响,因为非对角峰与两个跃迁都有关系,因此受到它们之间相关性的影响.比较图7(a)和图(b),得到的结果与参考文献[11]里的图5(a)完全一致.

图3 当δω10=δω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=1时 S C1(ωt,ωτ) 频谱图 (a)实部;(b)虚部;(c) 模Fig.3.The three-dimensional Fourier transform spectrum S C1(ωt,ωτ) with δ ω10=δω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=1:(a) Real part;(b) imaginary part;(c) module.

图4 当δω10=δω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=0.5时SC2(ωt,ωτ) 频谱图 (a) 实部;(b) 虚部;(c) 模Fig.4.The three-dimensional Fourier transform spectrum S C2(ωt,ωτ) with δ ω10=δω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=0.5:(a) Real part;(b) imaginary part;(c) module.

图5 当δω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=1时S C3,E3(ωt,ωτ) 频谱图 (a) 实部;(b) 虚部;(c) 模Fig.5.The three-dimensional Fourier transform spectrum S C3,E3(ωt,ωτ) with δ ω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz,Γ10=Γ20=0.05 THz,R=1 :(a) Real part;(b) imaginary part;(c) module.

图6 当 δ ω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz,Γ 10=Γ20=0.05THz,R=0.5 时 S C4,E4(ωt,ωτ) 频谱图 (a) 实部;(b) 虚部;(c)模Fig.6.The three-dimensional Fourier transform spectrum S C4,E4(ωt,ωτ) with δ ω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz,Γ10=Γ20=0.05 THz,R=0.5 (a) Real part;(b) imaginary part;(c) module.

图7 三维傅里叶转换频谱图(a)参考文献[11]中的图5(a),Γ 10=Γ20=0.05THz,δ ω10=δω20=0.2THz,(b) R=1 ;(c) R=0.5 Fig.7.Three-dimensional Fourier transform spectrum:(a) Fig.5(a) in Ref.[11],Γ 10=Γ20=0.05THz,δ ω10=δω20=0.2 THz;(b) R=1 ;(c) R=0.5.

图8 R不同时,三维傅里叶转换频谱,Γ 10=Γ20=0.05THz,δ ω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz (a) R=1 ;(b)R=0.5Fig.8.The three-dimensional Fourier transform spectrum with Γ 10=Γ20=0.05THz,δ ω10=0.3THz,δ ω20=0.2THz for different R:(a) R=1 ;(b) R=0.5.

通过比较图7(b)和图8(a),频谱图会随着非均匀线宽的增大而沿对角线方向有一定的延伸,对角峰的图谱也伸长了,一般来说,A,B 两路径对应跃迁的非均匀线宽不相等,对角峰在对角方向上具有不同的线宽,C,D两路径图谱对应的延伸较为明显.

4 结 论

首先利用投影切片定理对三能级钾原子气体三维傅里叶变换谱进行降维;其次利用误差函数将三阶非线性极化方程进行简化,傅里叶位移理论将谱从时域转换到频域,研究了三能级钾原子气体三维傅里叶变换谱与非均匀线宽、对角线相关系数R和m之间的关系.改变R,随着R的减小,谱形逐渐变圆,振幅逐渐变小.改变m,随着m的减小,频谱图变细长.最后,将A-F路径的三维傅里叶变换频谱图画在一张图中,得到 T=0 界面的完整的三维傅里叶变换频谱图.其解析解与文献[11]的图5(a)数值模拟图完全吻合.三维光谱中光谱峰的线形显示了非均匀展宽的重要性信息,通过对角峰的伸长表明存在非均匀展宽,两个跃迁的相对非均匀线宽由对应的对角线峰值的对角线宽揭示.此研究结果可进一步推广至任意截面的情况,最终给出三维光谱的完整的三维图.这有助于构建一套完整的体系来解释三维傅里叶频谱.

感谢美国佛罗里达国际大学物理系李鹤槟助理教授的讨论.