数值计算方法教学新探索

全宇晖

（华南理工大学 计算机科学与工程学院，广东 广州 510000）

大学本科计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，它既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用广泛性与实际试验的高度技术性的特点。作为一门数学课程，它与其他基础数学课程又有着本质区别，它不仅研究自身的理论，而且更多地与实际问题相结合，提供真正具有应用价值的理论成果。掌握计算方法的基本理论及其应用对理工科大学生提高专业素养和从事专业研究都具有重要意义。

一、计算方法课程教学中存在的问题

计算方法同时具有较强的理论性和实践性，如何让学生在有限的教学课时中有效地学习知识的本质内涵和思想并辩证地加以运用，是该课程教学中需要重点考虑的问题。

1.理论教学。一般计算方法的理论教学大纲和教学内容由教育部统一设定。课程具体讲授时，其内容会根据教材选取的不同和教员讲课风格的差异而有所侧重和不同。学习计算方法课程需要较强的逻辑性、抽象性和较坚实的数学基础。对于工科学生而言，其数学理论基础较为薄弱，如果按数学类专业课程教学模式进行理论教学，同学们很容易在学习时产生畏难情绪，从而对这门课程缺乏学习兴趣。

2.实践教学。传统上计算方法课程把教学重点放在理论的严谨性和完整性方面，而淡化了实用性和实验性的技术特征。这一点为普遍的计算方法课程教学者所认同。对于需要解决实际问题和完成具体工程任务的工科学生而言，仅仅掌握理论层面的知识是不够的。在教学中需要结合行业特点和学生的具体数学背景，培养学生对数值计算方法在实际工程背景中应用的理解和其解决问题的思维与能力。

二、计算方法教学新方法

针对上述问题，我们在现有的计算方法课程教学内容中引入研究性教学内容，采用基于问题的启发式问答的交互教学方式，并安排课时适时进行实践应用，以提升学生的学习兴趣和改善教学的质量与效果，教学模式如图1所示。研究性启发式教学是教师基于教与学实践的真实问题，精心设计教学内容，启发学生在接近真实的研究性情境中通过合作、探究、发现等方法提出、理解和解决问题，因而帮助学生学习方式由浅层（如听讲、记笔记、埋头苦学而不进行深度反思等方式）向深度学习（如探究、讨论、质疑、小组合作、批判、发现等），由被动学习向主动学习转变的一种教学模式。我们依托精心设计的教学内容、教学过程和科学的考核方式，使学生在解决问题的过程中既能掌握理论和实践相关知识，又能逐步熟悉和掌握计算思维的相关概念和方法。

1.设计启发式的研究性教学内容。研究性教学方法采用的一种重要模式是“问题解决模式”，问题是本课程研究性启发式教学的中心。在计算方法的具体教学中，我们选择恰当的问题，创建合适的问题情境以激发学生的学习兴趣，合理安排知识导入点，并且充分挖掘教材中蕴含的相关研究性问题，拓展学生的知识面，再结合研究性场景实践教学，培养学生的各项能力。

图1 基于问题的研究性启发式计算方法新教学模式

（1）精心安排知识导入点。本课程使用启发式教学的方式，通过选择来自实际生活中的例题，再抽象出数学问题，最后使用计算方法求解。将“启发”贯穿研究性教学过程的各个环节。计算方法课程的教学大纲如表1所示。在具体的教学过程中，我们根据教学各个章节的内容，将相应问题情境呈现在学生面前，启发学生提出问题和探究解决方案，并由此引出教学知识点。例如，在讲解第二章线性方程时，选择了图像去模糊作为一个启发式的引入问题。首先，由实际问题建立对应的数学模型：一幅图像从清晰退化成模糊图像的过程，实际上是从一个矩阵通过矩阵乘法变换成到另一个矩阵的数学过程。这个变换过程，通常通过矩阵乘法Ax=b实现，其可以分解成由A的行向量和x进行点乘得到b的等式组成的线性方程组。假设我们已知退化的图像矩阵b和变换矩阵A，需要求解清晰图像的矩阵x，这个过程可以实际上就是一个求解线性方程组的过程。

课程中每次讲解新类型的算法时，均先由实际问题建立数学模型，然后通过讨论分析得到解决该模型的算法及其理论基础，最后比较评估算法的优缺点并对算法进行提炼和改进。在讲解完一类算法后，适时总结，指出这类算法所能解决问题的类型，讲清这类算法中各种算法之间的区别和联系，并尽可能地帮助学生分析如何改进已有的算法。

（2）挖掘教材中蕴含的研究性问题。数值计算方法可以运用到计算机科学的各个研究方向中，也蕴含着许多研究性问题。我们以较为熟悉的图像处理和分析方向为基础，有意识地将各种最新的研究方向在课程教学中体现出来。例如，在讲解多项式插值的方法之后，引入多项式的不同应用例子，如图像修补和图像超分辨率。在课堂教学中，强调学生主动发现问题、参与课堂讨论，鼓励学生在适当的引导中自己得出结论，以提高学生的主观能动性，也增强自信心；强调学生对课程所学知识举一反三；通过在教学过程中有意识地引入科学前沿的问题，培养学生的创新意识、实践动手能力和基础的科研能力。

表1 计算方法课程教学大纲

（3）实践教学。在有限的教学课时中，我们专门安排了学时来进行基础实践教学和研究性场景实践教学，便于学生及时学以致用。结合课程教学内容，我们设计相关实践任务，启发学生主动思考相应的对策，再跟专家的计算方法进行比较，分析优劣，进而转入算法的思想、流程和设计的反复教学，剖析所学计算方法解决工程问题的实际效果及适用范围。实践教学具体形式以计算机进行上机实验的形式进行，内容包括MATLAB使用基础、数值函数实现基础、线性方程组求解与图像去模糊任务等。图2为计算机创新班学生利用计算方法进行图像去模糊的实验结果展示。从实际应用背景出发的启发式教学体现了数值算法的价值和意义，不但能提高学生的学习兴趣和思考能力，而且能让他们在系统掌握理论知识的同时熟悉如何运用数学知识去解决实际问题的基本过程。

图2 图像去模糊实验结果示例

2.构建合理的教学评价体系。传统教学考核方式仅以笔试成绩来评定学生对知识的掌握情况，无法体现学生对计算思维的理解和运用程度。其评价指标应该由原来单一的知识技能测评转向对学生在研究性教学过程中展现的知识、能力和态度等综合素质进行测评。评价内容包括：学生在研究性教学过程中的态度、方法，收集整理信息的能力、团队意识合作精神、成果的表达等方面，对于计算机科学专业的学生而言，计算方法的编程实现能力也应是考核的一个重点。本课程的考核由平时成绩、实践成绩和卷面成绩三部分组成。实践成绩的评定通过实验成绩和项目成绩组成，主要考查学生基本的编程能力、项目成绩。除了编程能力外，还考查了分析、解决问题的能力，以及团队分工协作能力。平时成绩的考核较为灵活多样，包括课程的提问、项目小组答辩、学生相互评价等。教学过程、实践和理论考核相结合，既体现了考核的客观性，满足对学生培养目标的基本要求，也体现了公平性，使得有主动性、创新性的学生得到相应的优秀评价结果。

三、效果与结语

我们通过分析计算方法课程教学中存在的问题，对其教学方法进行改革。经过两年的教学实践，学生的评教结果均为优秀，且反馈都比较正面。通过学校教学问卷调查，计算机学院本科学生反映该课程教学内容设置合理，通过该课程不仅能掌握课程相关的理论和实践知识，还较好地培养自己的计算思维以及动手能力。甚至有部分学生反映该课程的教学极大地提高了其科研兴趣。这一定程度上表明以研究性启发式教学和实践教学相结合的方式来进行计算方法课程的教学，对于激发学生学习兴趣，帮助其理解掌握及运用计算知识有着较好的作用。目前我们在课程中引入的研究性课题只是大千世界的冰山一角，在今后的教学实践中我们将尝试引入更全面的研究应用方向。