基于数学模型的木瓜浓缩汁流变学特性研究*

谢三都，陈惠卿，陈奎

（闽南科技学院，福建 泉州 362332）

浓缩果蔬汁的流变学特性主要是指果蔬汁的流体型态、流变参数与其温度、浓度的变化规律[1]，其与浓缩果蔬汁的贮运、食用品质、后续加工所涉及的工艺设计、设备选型、能量消耗、产品质量控制等有关，能帮助了解食品的组成、分子形态以及内部结构等特征[2-6]。目前，浓缩果蔬汁流变学特性的研究主要有慈姑浓缩汁[7]、黑豆酸奶[8]、金柑浓缩汁[9]、海棠浓缩汁[10]、苦瓜复合饮料[11]、柚子浓缩汁[12]、青梅浓缩汁[13]、橄榄浓缩汁[14]、葡萄浓缩汁[15]、芒果浑汁[16]等，对这些果蔬的生产设计起到的积极的作用。到目前，未见木瓜浓缩汁流变学特性的研究性报道。

本文选用木瓜浓缩汁为研究对象，采用NDJ-5S数显粘度计和MCR301高级流变仪，探讨木瓜浓缩汁的浓缩终点，测定其流变学特性；并分别研究了温度、浓度对木瓜浓缩汁粘度的影响，在此基础上，分析了温度与浓度对木瓜浓缩汁的综合影响，以期丰富果蔬汁流变学领域及指导木瓜浓缩汁的生产实践。

1 材料与方法

1.1 材料

木瓜浓缩汁：福建绿泉食品有限公司，可溶性固形物含量为32 °Brix。

1.2 仪器与设备

NDJ-5S数显粘度计：邦西仪器科技（上海）有限公司；

Physica MCR301高级流变仪：奥地利安东帕公司；

SHB-III型循环水式多用真空泵：上海玛尼仪器设备有限公司；

IKA RV10 V/V-C型旋转蒸发器：艾卡（广州）仪器设备有限公司；

WYA-2S数字阿贝折射仪：上海精科仪器有限公司。

1.3 试验方法

1.3.1 不同浓度木瓜浓缩汁的制备

以32 °Brix木瓜浓缩汁为基料，通过真空旋转蒸发仪（真空度：0.85 MPa、温度60 ℃、旋转速度：120 r/min）进行浓缩，获得40、50、60、70 °Brix的木瓜浓缩汁，备用；将32 °Brix木瓜浓缩汁梯度稀释为30、20 °Brix木瓜浓缩汁，备用。

1.3.2 木瓜汁浓缩终点的判断

采用NDJ-5S数显粘度计在室温（25 ℃）下测定木瓜浓缩汁的粘度，研究木瓜浓缩汁浓度与粘度的对应关系，木瓜浓缩汁的浓度分别为20、30、40、50、60、70 °Brix，寻找木瓜浓缩汁粘度突增的跃变点，该跃变点所对应的浓度即为木瓜浓缩汁的浓缩终点。

1.3.3 木瓜浓缩汁的流变学特性

采用MCR301高级流变仪测定木瓜浓缩汁（60 °Brix）在温度为25 ℃时的剪切应力（τ，Pa）与剪切速率（γ，s-1）之间的关系曲线，根据流变学原理，通过回归分析获得木瓜浓缩汁的流变学特性参数，并判定其流变类型。

1.3.4 温度对木瓜浓缩汁粘度的影响

采用NDJ-5S数显粘度计测定不同浓度（20、30、40、50、60 °Brix）的木瓜浓缩汁在温度分别为20、30、40、50、60 ℃的粘度，绘制木瓜浓缩汁粘度与温度的关系图，通过回归分析获得反映温度对木瓜浓缩汁粘度影响的数学模型。

1.3.5 浓度对木瓜浓缩汁粘度的影响

采用NDJ-5S数显粘度计测定不同温度（20、30、40、50、60 ℃）的木瓜浓缩汁浓度分别为20、30、40、50、60 °Brix时所对应的粘度，绘制木瓜浓缩汁粘度与浓度的关系图，通过回归分析获得反映温度对木瓜浓缩汁粘度影响的数学模型。

1.3.6 温度和浓度对木瓜浓缩汁粘度的综合影响

为了更准确预测木瓜浓缩汁在不同温度和浓度时的粘度，研究并确定温度和浓度对粘度综合影响的数学模型。

2 结果与分析

2.1 木瓜汁浓缩终点的判断

由图1可知，当木瓜浓缩汁的浓度从20 °Brix上升到60 °Brix时，其粘度相应增加但增加较慢，由0.00343 Pa·s变为0.0391 Pa·s；但木瓜浓缩汁的浓度达到70 °Brix时，其粘度相应达到0.336 Pa·s，显著高于60 °Brix时木瓜浓缩汁的粘度（P＜0.01），即其粘度突变点为60 °Brix。因此，可选择木瓜浓缩汁浓度为60 °Brix作为生产中的浓缩终点。

2.2 木瓜浓缩汁的流变学特性

一般情况下，浓缩果蔬汁的剪应力（τ，Pa）与剪切速率（γ，s-1）之间的关系一般可表述为[17]：

式中：

τ为浓缩果蔬汁的剪应力，Pa；

α为浓缩果蔬汁的粘度系数，Pa·s；

γ为浓缩果蔬汁的剪切速率，s-1；

n为木瓜浓缩汁的流变指数。

当n=1时，流体为牛顿流体；当n＜1时，流体为假塑性流体；当n＞1时，流体为胀塑性流体。

由图2可知，木瓜浓缩汁所受剪应力随着剪切速率增加而变大，但增大速率逐渐放缓，曲线的斜率即为粘度，且粘度逐渐变小，呈剪切稀化现象。

目前，全市主要有租赁、转包、转让、入股、托管等五种土地流转形式。从具体实践看，90%以上采用的是租赁、转包和转让这3种形式。租赁主要是大面积连片集中流转，租金一般在每亩800-1000元，也有少数的超过1000元或低于800元的。

采用Ostwald模型对图2中曲线进行回归分析，得到回归方程 τ= 0.0517·γ0.6843。其中，回归系数α=0.0517 Pa·s，即为木瓜浓缩汁的粘度系数；木瓜浓缩汁的流变指数n=0.6843＜1，说明木瓜浓缩汁（60 °Brix，25 ℃）为假塑性流体；相关性系数R2=0.9911，回归方程能较好地表达木瓜浓缩汁剪切速率与剪应力之间的关系。

2.3 温度对木瓜浓缩汁粘度的影响

由图3可知，增加木瓜浓缩汁的温度，不同浓度的木瓜浓缩汁的粘度均呈下降趋势，且浓度越高其粘度下降速率越大。

一般情况下，可用阿累尼乌斯方程[7]反应浓缩果蔬汁的粘度与温度之间的关系：

式中：

η为流体粘度，单位：Pa·s；

k为频率因子，单位：Pa·s；

Ea为流体的活化能，单位：kJ/mol；

R为气体常数，单位：8.314 J/（kg·K）；

将公式⑵两边取自然对数，得：

通过对图4关系线的回归分析，得到了不同浓度下温度与粘度关系的回归方程和k值和活化能Ea值，如表1所示。

由表1可看出，随着木瓜浓缩汁浓度的上升，其活化能Ea相应增大，说明随着木瓜浓缩汁中可溶性固形物含量的增加，流动能耗增大，不利于浓缩汁的流动，可通过升温加以改善，提升其流动性。由表1相关系数R2可知，R2＞0.9700，表明预测值与实际值比较一致，回归方程有效性高。

表1 木瓜浓缩汁的阿累尼乌斯方程的参数和相关系数

2.4 浓度对木瓜浓缩汁粘度的影响

从图5可以看出，增加木瓜浓缩汁浓度，其粘度相应增加，在相同温度下，木瓜浓缩汁的浓度越高，其粘度越高。由此可见，木瓜汁浓缩物中可溶性固形物的含量对粘度的影响较大，温度越低，效果越明显。

根据文献[18]，浓缩果蔬汁反应浓度与粘度之间关系的方程主要有以下2种：

式中，M和N均为常数；C为浓度。运用公式⑷和⑸分别对图5中的曲线进行回归分析，其相关系数分别为R12、R22，不同温度相关系数见表2。由表2可知，不同温度情况下，均有R12＞R22，说明公式⑷比公式⑸更适合作为方程反应不同温度条件下木瓜浓缩汁的粘度与浓度之间关系。因此，图5的测量值按式⑷进行分析，结果见表3。

由表3可知，温度升高，常数N减小，说明温度升高减缓了由于浓度增加所引起的粘度增加。因此，浓缩果蔬汁的实际生产中，宜事先判断其粘度突变点防止因浓度增加引起粘度上升明显而不利于生产操作。其中，R12＞0.8800，说明预测值与实际值吻合度较好。

2.5 温度、浓度对木瓜浓缩汁粘度的综合影响

近年来，随着果蔬浓缩汁流变学特性研究的深入，预测木瓜浓缩汁温度和浓度对其粘度影响的主要数学模型[19]：

式中：

C为木瓜浓缩汁浓度，单位：°Brix；

K1、K2、K3为常数。

表2 不同模型表达浓度对木瓜浓缩汁粘度关系的比较

表3 浓度对木瓜浓缩汁粘度的影响

表4 温度和浓度对木瓜浓缩汁粘度的综合影响

利用数据处理软件Matlab R2014a对式⑹进行多元非线性回归分析的结果如表4所示。由表4可以看出，由式⑹回归拟合得到的相关系数R2=0.9682，说明数学模型η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2）能预测木瓜浓缩汁的粘度与温度和浓度之间的关系，其T∈（20 ℃，60 ℃），C∈（20 °Brix，60 °Brix）。

3 结论

一般情况下，果蔬汁浓度高其粘度则大，反之则小。果蔬汁浓缩有利其贮存与运输，但果蔬汁浓缩时其浓度不宜太高，浓度太高导致其粘度过大，其流动性能会变差反而对贮藏与运输不利，木瓜浓缩汁的浓缩终点为60 °Brix。

木瓜浓缩汁在温度为25 ℃、浓度为60 °Brix时，木瓜浓缩汁为假塑性流体，其流变学特性曲线为 τ=0.0517·γ0.6843，相关性系数R2=0.9911。

数学模型：η=M·EXP（N·C） 反映了木瓜浓缩汁的浓度与粘度之间的关系，不同浓度时其相应的回归方程如下：

数学模型：η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2），R2=0.9682，该数学模型适用范围为：温度20～60 ℃、浓度30～55 °Brix，反映了温度和浓度对木瓜浓缩汁粘度的综合影响。