信道预测和天线选择空时码的RCEE分析

李光球，汪玲波，钱 辉，陈浩椅

(杭州电子科技大学通信工程学院 杭州 310018)

遍历容量、误码率、中断概率等参数常用于表征多输入多输出(multi-input multi-output,MIMO)无线通信系统的性能，但它们不能用于解决MIMO无线系统在给定可靠性(差错概率)下的复杂度折衷问题。文献[1]提出的随机编码错误指数(RCEE)为解决以上问题提供了一种有效的途径，并在MIMO无线通信系统[2-6]和无线中继系统[7-9]中获得了应用。文献[2]首次将离散无记忆信道上的RCEE推广到MIMO衰落信道。文献[3-6]分别推导了瑞利乘性衰落信道、瑞利多匙孔衰落信道、Nakagami-m衰落信道、η−μ或 κ−μ衰落信道上MIMO无线系统或正交空时分组编码(OSTBC)无线系统的RCEE、遍历容量、截止速率、删改指数的闭合表达式。文献[7-9]分别研究了两跳或多跳放大前传无线中继系统在瑞利衰落信道、Nakagami-m衰落信道、η−μ或 κ−μ衰落信道上的RCEE。文献[2-6]的研究结果只适用于接收端具有理想信道状态信息(channel state information,CSI)、平均发射功率受限且各发射天线等功率分配的块衰落信道应用场景。然而，在实际的无线通信系统中，由于反馈时延等因素的影响，往往只能使用过期的CSI进行译码与解调，从而导致系统性能恶化[10]。最小均方误差(MMSE)维纳信道预测器能够改善MIMO块衰落信道上反馈时延引起的无线系统误码性能恶化问题[11-14]。文献[14]采用MMSE信道预测器改善发射天线选择(TAS)/OSTBC编码无线系统的误码性能，但没有研究其中的收发天线数、发送块长、MMSE维纳滤波信道预测器长度等参数在给定传输可靠性下的实现复杂度折衷问题。本文将从RCEE的视角通过对RCEE及与之有关系的遍历容量、截止速率、删改指数等参数的推导与仿真对其进行研究。

1 系统模型

考虑如图1所示的时间选择性MIMO瑞利块衰落信道上采用信道预测和发射天线选择(TASP)、接收端采用最大比合并(maximal ratio combining,MRC)和最大似然译码的(Lt,N;Lr)TAS/OSTBC编码无线系统。表1给出文中用到的一些系统与信道参数定义。

表1 系统与信道参数

假定输入信号先经符号周期为Ts的数字调制，之后经码率为Rs=M/T的OSTBC码进行编码，即将M个调制信号OSTBC编码成T个OSTBC符号，最后由Lt根发射天线中使接收端MRC合并器输出信噪比为最大的N根天线按块发送出去，其中1 ≤N≤Lt，传输帧结构如图2所示，其中帧(块)长Nc=Lt+LMT，LM为正整数。每帧的前Lt个符号为按正交设计[12]的用于信道估计与预测的导频信号，导频符号的发射功率为Ep，每帧的后(Nc−Lt)个符号为OSTBC编码后的信号，且OSTBC编码矩阵的元素为调制符号及其共轭的线性组合。

TASP/OSTBC编码无线系统的输入与输出之间关系为：

式中，X、Y、H、V分别为N×Nc维的发送信号矩阵、Lr×Nc维的接收信号矩阵、经天线选择后的Lr×N维实际信道矩阵以及Lr×Nc维的加性白高斯噪声矩阵。假定矩阵V的各个元素相互独立且均服从CN(0,N0)分布。

考虑Nb个独立的相干间隔，假定系统的发射功率在N根发射天线上平均分配且在块编码长度为NbNc的链路上能够实现可靠通信，则有E{tr(XXH)}≤NcP。表2中给出了文中用到的一些数学符号或函数定义。

表2 一些数学符号/函数的定义

假定采用文献[12]中预测长度为Lp的MMSE信道预测器进行的估计和预测，于是得到信道预测矩阵

基于信道预测矩阵，可以完成发送端的发射天线选择，具体过程如下：计算各列的Frobenius范数，并按从大到小进行重新排序，删除重新排序后矩阵的后(Lt−N)列，将与重新排序后矩阵前N列对应的原N根发射天线选定为OSTBC码的发射天线并进行OSTBC编码。

式中，ρp=rHR−1r为功率相关系数[12]；Lp维矢量r、Lp×Lp维矩阵R的各元素取值可由文献[12]或文献[14]给出；N(u+D)∈ CLr×N为元素相互独立且均服从CN(0,1)分布的加性白高斯噪声矩阵。

比较式(2)、式(3)不难发现：两式的唯一区别仅在于功率相关系数不同，因此以下关于TASP/OSTBC编码无线通信系统的有关推导结果均适用于TASD/OSTBC编码无线系统，只需将其中的ρp用功率相关系数替代即可。

图3给出了ρp和ρd随归一化时延fdτ变化的性能曲线。由图3 可知：1) 当fdτ一定时，ρp＞ρd；2) 若不考虑反馈时延，即理想CSI情况，此时令fdτ=0，则 ρp=1；3) 当fdτ越小，ρp越接近于1，即越接近于理想CSI时的情况。基于以上分析，可以预期采用信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE性能优于TASD/OSTBC编码无线系统。

式 中 ，n(Lr,t1,···,tN)为 表 达 式(y1+y2+···+yN)Lr−1(y2+···+yN)Lr−1···yNLr−1中y1t1y2t2···yNtN的系数；集合

令 ρp=1，式(4)可退变为文献[15]中的式(7)，即理想CSI下的TAS/OSTBC编码无线通信系统为本文的特殊情况。

利用部分分式展开定理和拉普拉斯反变换后，可得 γ的概率密度函数(probability density function,PDF)为：

式中，

2 性能分析

当输入信号服从高斯分布，在信息传输速率为R的连续输入输出MIMO信道上采用信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE可表示为[5]：

2.1 RCEE计算

将式(4)代入式(10)，可得：

式中，

下面分别利用Tricomi超几何函数[16]和Meijer-G函数推导式(14)的解析表达式。

利用文献[4]，有：

由式(14)可推得：

由文献[5]：

由式(14)可推得为：

式中，U(u1;u2;y)为Tricomi超几何函数[16]。

将式(17)、式(19)分别代入式(13)，可得时间选择性瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的两种RCEE解析表达式。

令 ρp=1，将式(5)代入式(11)、式(12)，利用式(19)可得瑞利块衰落信道上理想CSI下的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE表达式为：

不难发现，式(20)的结果与文献[5]中瑞利块衰落信道上理想CSI下的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE完全相同，即文献[5]的结果是本文的特殊情况。

2.2 遍历容量

利用RCEE与遍历容量的关系[2]，可得瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的遍历容量为：

令

利用文献[4]：

可推得：

再利用式(16)，由式(24)可推得：

将式(5)代入式(21)，并利用式(17)可得瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的遍历容量为：

2.3 截止速率

利用文献[2]可得瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的截止速率为：

利用式(14)和式(17)，可推得：

2.4 删改指数

RCEE认定所有的好码和坏码对平均错误概率的影响相同，因此，在低速率区域内可以通过删除所有的坏码来改善RCEE的性能限[5]，由此得到删改指数。删改指数Eex(R,Nc)定义为[5]：

式中，

将式(5)代入上式，可得：

利用式(14)和式(17)，可得瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统删改指数的表达式为：

2.5 所需的编码长度

由文献[2]可得瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的错误概率与其Er(R,Nc)的关系为：

式中，β*(ρ)为式(11)的(ρ,β,Nc)取最大值时的 β值，且 0 ≤β≤N；L=Nc×是系统为获得上述错误概率时所需的块编码长度。分析式(33)可知：当Pe一定时，增大RCEE，则L会减小，即编解码的实现复杂度可以降低。

3 数值计算与仿真结果

采用文献[13]相同的信道参数，以Ts=10−6s，fd=100Hz，Lp=5，Ep=30dB，N=2为例，研究Lp、Lt、Lr、Nc、等参数对瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE、遍历容量C、截止速率R0和删改指数等的影响，结果如图4～图8所示。

图4给出了Nc=20时瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的(Lt，2；Lr) TASP/OSTBC编码无线通信系统的RCEE曲线。由图4可知：1) 利用Meijer-G函数和Tricomi超几何函数分别计算得到的RCEE结果完全相同；2) 信息速率R越大，RCEE越小，R=2 nat/symbol时的(Lt,2;Lr)=(2,2;1)、(4,2;1)、(4,2;2) TASP/OSTBC编码无线系统的RCEE比R=1 nat/symbol时分别减少约 0.116、0.205和0.41；RCEE的减小意味着要获得与低R值时相同的传输可靠性所需要的块编码长度要增加，即系统的编译码实现复杂度相应增大；3) 在系统与信道参数设置相同时，TASP/OSTBC的RCEE大于TASD/OSTBC 的 RCEE；当R=1 nat/symbol和Pe=10−6时(4,2;1) TASP/OSTBC、TASD/OSTBC编码无线系统所需的编码长度分别60与80，意味着采用MMSE信道预测器能够有效降低TASP/OSTBC无线系统所需要的块编码长度，从而降低编译码复杂度；4)当N与R一定时，增大Lt或Lr，RCEE相应地增大，因此为获得相同的信息传输速率和传输可靠性要求，编码长度L可以减小。

图5给出了fdτ对瑞利块衰落信道上(4,2;1)TASP/OSTBC、TASD/OSTBC编码无线系统RCEE性能的影响。由图5可知：1) 在低信噪比和低归一化时延下TASD/OSTBC编码无线系统的RCCE和TASP/OSTBC的RCCE几乎相等，这是因为它们不仅具有形式相同的解析表达式，而且还因为功率相关系数都近似为1；2) 当fdτ增大时，TASP/OSTBC的RCEE大于TASD/OSTBC的RCEE，当fdτ=0.1、=15dB时，TASP/OSTBC的RCEE比TASD/OSTBC大约0.09，再次表明采用MMSE信道预测器后可以改善RCEE，并能够减小在给定可靠性要求下系统所需的块编码长度，从而降低系统的实现复杂度；3) TASP/OSTBC与TASD/OSTBC的RCEE性能差异分化点与平均接收信噪比有关，越大，开始分化的fdτ值越小，当=8 dB时，在fdτ=0.02开始分化；当=15dB时 ，在fdτ=0.01开始分化；4)fdτ一定时，越大，采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE越大，如当fdτ=0.1时，=15dB时 ，TASP/OSTBC的RCEE比=8 dB时大约0.23。

图6给出了Nc对瑞利块衰落信道上(4,2;1) TASP/OSTBC编码无线系统的RCEE性能影响曲线。由图6可知：1) 增大Nc，TASP/OSTBC的RCEE减小，当R=1 nat/symbol，块长Nc=30、40、50时，TASP/OSTBC的RCEE比Nc=20时分别减小约0.122、0.183 和 0.226；2) 由式(33)，当R=1 nat/symbol和Pe=10−6时，TASP/OSTBC编码无线通信系统所需的块编码长度分别为80、120、200、350，由此可知：Nc越大，TASP/OSTBC编码无线系统所需的块编码长度越长；3) 当块长Nc趋向于无穷大时，RCEE趋于0，这意味着系统传输信息的错误概率将不可能任意小；4) 遍历容量C均为3.8 nats/symbol，且与Nc无关。

图7给出了瑞利块衰落信道上(4,2;2) TASP/OSTBC编码无线系统的R0性能曲线。由图7可知：1)R0随着的增加而增大；2) 当一定时，R0随着Nc的增加而减小，但遍历容量C与Nc无关，且R0与C之间的这种差异使得截止速率R0更有意义；当=10 dB、fdτ=0.1时，Nc=20时的R0比Nc=10时小约0.53 nats/symbol，Nc=30时的R0要比Nc=20时小约 0.33 nats/symbol；3) 当fdτ较小(如fdτ=0.02)能接近理想CSI时的R0性能；fdτ增大，截止速率R0减小，当fdτ=0.1且=16 dB时，采用(4,2;2) TASP/OSTBC的截止速率比对应系统理想CSI情况下小约0.13 nats/symbol。

图8给出了瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的(4,2;1)、(4,2;2) TASP/OSTBC编码无线系统的删改指数和RCEE。由图8可知：TASP/OSTBC编码无线系统的删改指数和RCEE都随着R的增大而减小，且在低R区域，删改指数比RCEE大，当R小于1.1 nats/symbol时，(4,2;2) TASP/OSTBC编码无线系统的删改指数大于其对应的RCEE。由式(33)可知：在相同的传输可靠性要求以及低R区域下，采用删改指数计算所需的TASP/OSTBC块编码长度更小。

由图4～图8可知，瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC无线通信系统的RCEE、遍历容量、截止速率和删改指数的数值计算结果与仿真结果吻合，从而验证了文中理论推导的正确性。

4 结 束 语

本文推导了时间选择性瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE、遍历容量、截止速率和删改指数的解析表达式，其性能指标的数值计算与仿真结果相一致，验证了文中理论推导的正确性。结果还表明收发天线数、块长、MMSE信道预测器长度等均会对采用信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统的RCEE产生影响。通过对RCEE、截止速率和删改指数等参数的分析，可研究采用信道预测的TAS/OSTBC编码无线系统在给定传输可靠性下的编译码实现复杂度折衷问题。