基于行列式的预编码码字选择方法

王海泉，李国彬，郑思思，沈 雷

(杭州电子科技大学通信工程学院 杭州 310018)

大规模多输入多输出(multiple input multiple output,MIMO)技术[1]能够大幅度提升系统的频谱效率和传输可靠性，是第五代移动通信技术的关键技术之一[2-4]。在大规模MIMO系统中，基站配置有大量的天线，达到数十根甚至几百根，能够充分挖掘并利用空间维度资源，在同一时频资源中为多个用户提供服务。

在大规模天线实际应用环境中，大量线性阵列天线在有限空间基站中的部署难度极大，因此，为了能在实际可操作的环境中部署大规模天线，FD(full-dimension)-MIMO应运而生[5-7]。FD-MIMO系统中天线的排列部署方式为2D(two-dimension，二维)或者3D天线阵列结构，不仅在垂直方向上排列天线，还能在水平方向上排列天线，充分利用空间自由度，能够有效地部署数目庞大的天线并发挥出大规模天线优势。

在FD-MIMO下行系统中，获取信道状态信息(channel state information,CSI)是一个十分重要的步骤。对于时分双工(time division duplexing,TDD)系统，上下行链路通过相同频段信道下的不同时刻进行区分，具有互易性[8]，因此，基站能通过利用上行CSI来估计出下行CSI。而在频分双工(frequency division duplexing,FDD)系统中，上下行链路的信息传输是在不同的频率上进行，互易性不再存在，因此基站为了获取CSI，需要发送训练序列给用户，经用户估计、量化，再反馈回基站[9]。本文研究工作是在FDD模式下FD-MIMO有限反馈系统的预编码设计。文献[10]提出了一种基于DFT的双码本设计方案，在2D信道中具有良好的性能。文献[11]提到了Kronecker积码本，在FD-MIMO系统中，运用已有的格拉斯曼(Grassmannian)码本分别去量化垂直与水平方向的信道信息，再通过Kronecker积运算得到预编码码字。文献[12]通过将信道进行奇异值分解，并分别用DFT码本对其中一组奇异向量进行量化，最后通过Kronecker积生成最终码字。然而，该方法忽视了分解后的其他奇异向量对信道的贡献，只采用一组奇异向量并不能很大程度上还原出信道特征，放弃对其他奇异向量的利用势必会对系统性能产生不利影响。

在有限反馈系统中，预编码码字的选择与反馈开销是两个核心的问题，本文深入研究FD-MIMO有限反馈系统中的这两个核心问题。相较于[12]中的方法，本文方法利用了两个奇异值所对应的奇异向量，两组奇异向量能更加逼近信道特征，并提出了基于行列式的选码准则，将两组奇异向量的信息用一个行列式进行表示，选出更加准确的码字。同时，还给出了确定合理反馈比特数的方法。最后进行仿真验证与结果分析。

1 系统模型

本文考虑基于FDD的FD-MIMO下行系统的典型系统模型，遵循文献[12-13]的信道模型假设，天线按照均匀平面阵列(uniform planar arrays,UPA)结构排列，在垂直和水平方向上均有波束成形增益。

基站端安装有M=Mv×Mh根天线，其中Mv是垂直方向上的天线数，Mh是水平方向上的天线数，dv是垂直方向上的天线间距，dh是水平方向上的天线间距，图1给出了天线阵列排列的示意图。

式中，

a∈{v,h}；ψv=sinφv；ψh=sinφhcosφv； φv表示波束仰角； φh表 示波束方位角[14]； λc是中心频率fc所对应的波长，满足c=fcλc；c是光速。则信道h可写成：

在该系统中，基站向单天线用户发送信号，用户接收到的信号表示为：

式中，ρ是系统的归一化信噪比；h∈CM是前面所述的信道模型；f∈CM是预编码向量；s∈C是基站向用户发送的数据符号，且满足E [s]=0和E [|s|2]≤1；n～CN(0,1)是加性复高斯白噪声。

在该FD-MIMO有限反馈系统中，用户接收到信号后，在预先设定好的码本集中选出最优的码字fo，即：

式中，a∈{v,h}；Bv为垂直方向反馈比特数；Bh为水平方向反馈比特数。将选出的最优码字的索引值信息通过反馈链路传送给基站，由基站生成最终的预编码码字f。

系统的归一化增益 Γ[12]定义为：

系统的吞吐量C表示为：

本文设计出更为有效的预编码码字选择方案，并确定合理的反馈开销大小来提高系统归一化增益与系统吞吐量，从而改善系统性能。

2 Kronecker反馈码本与反馈开销

在目前的理论研究和实践中，Kronecker积码本在FD-MIMO系统中受到广泛关注。文献[12]将FD-MIMO信道模型进行分解，表示成数对向量的Kronecker积的线性组合，再利用其中一对向量进行选码，将选出的码字进行Kronecker积组合成预编码码字。本节具体说明其做法，随后提出一种确定反馈开销的方法。

2.1 Kronecker反馈码本方案

2.1.1 码本的生成

2.1.2 选码过程

令：

式中，h[a:b]表示取出向量h中第a个元素到第b个元素组合成的向量。即将前面所述的FD-MIMO系统中的信道h进 行重排列，得到的是一个Mv×Mh的信道矩阵，其第k行第l列个元素表示FD-MIMO信道中第k行第l列根天线与用户间的信道。之后，进行奇异值分解(singular value decomposition,SVD):

式中，U和V分别是左奇异向量矩阵和右奇异向量矩阵； Σ是由各奇异值 σk按降序排列组成的对角阵。

再考虑对u1和v1进行量化，其中u1和v1分别是经SVD后的矩阵U的第1列和矩阵V的第1列，即最大奇异值所对应的左奇异向量和右奇异向量。用DFT码本用来量化信道，量化准则为：

2.1.3 最优码字

令：

式中，fv与fh分别由式(11)和式(12)确定。则fkron为最优码字。

在该方案中，通过将信道进行重排列并分解，采用最大奇异值所对应的特征向量分别对垂直与水平两个辐射路径进行量化，最后通过Kronecker积运算生成最终码字。最大奇异值对应的特征向量一定程度上反映了信道特性，同时采用该方案在特定情况下也能达到一定的系统性能。然而只采用一对特征向量会忽视其他信道特征，该方案的系统归一化增益与吞吐量仍有很大的提升空间，本文首先提出一个确定反馈比特数的公式，然后在该方案的基础上提出一个更优的预编码码字设计准则，对系统有更好的性能提升。

2.2 反馈比特数的确定

反馈比特数的确定在有限反馈系统中是一个十分重要的环节，反馈开销过小会降低系统可靠性，而反馈开销过大则会影响系统的资源利用率与实现复杂度，因此确定适当大小的反馈比特数至关重要。

令：

下面对该反馈比特数确定公式进行解释：

记辐射路径方向向量为：

码本中第i个码字fi为：

选码的基本原理是在码本中选择码字fi0使得达到最大。即：

则有：

式中右边所有Ma个加项中，角度最大的项的角度为|(φ−θi)(Ma−1)|。为了使得加上每一项后幅值都能有所增加，即让每一根天线都能产生增益，需要所有角度(φ−θi)l(l=0,1,···,Ma−1)限定在某一集中区域。这里，要求：

式中，α是一个待定的数，且 0 ＜α＜π/2，可以称之为角度分辨率，该值越小，数值就越大，增益也随之增大，但反馈比特数Ba也越大。这里α=π/4是一个合适的取值，随后有仿真验证，则有：

为了更好地说明式(21)第一步推理，如图2所示，当反馈比特数为Ba时 ，码本集中共有个码字，可以看成将0到 2 π的角度区间分成等分，每个角度分区间大小为 2 π/，在最坏的情况时，信道角度 φ刚好落在每个角度分区间的中间位置，此时信道与码字的角度差(φ−θi)为分区间的一半长，即 π/。

3 基于行列式的预编码码字选择

本文的预编码码字选码方案利用了信道矩阵奇异值分解出的两对特征向量，并应用信道矩阵与码字的最大系统波束成形增益基本原理，推出了基于行列式的选码准则。通过利用行列式准则能够同时筛选出垂直和水平方向上的最优码字，最后通过Kronecker积生成预编码码字。

3.1 信道模型的分解

式中，uk和vk分别表示矩阵U和V的第k列；uk,m表示uk的第m个元素。由此可以看到，信道h可以由重排列后的信道经SVD产生的对奇异向量线性组合得到。各奇异向量可以表征信道信息，奇异向量越多，表征的信道信息越完整。当h的空间相关性较大时，利用前面较少的一部分uk和vk的线性组合便能较准确地还原出信道h，前面提到的方案便是利用了其中一对奇异向量。

3.2 基于行列式准则的选码方案

在前一节描述的方案中，只利用了最大奇异值所对应的奇异向量进行码字选择，当空间相关性较小时，最大奇异值所对应的奇异向量并不能较完整地反映信道特性，利用该方案并不能准确有效选出最佳码字。因此，为了更准确地进行码字选择，需要量化更多个奇异向量的信息，这样量化后的最佳码字能够更接近实际信道。充分利用信道分解后的两个奇异值对应的奇异向量进行最佳码字的选择。

由式(22)，可以写出：

利用两组奇异向量近似表示信道h。

令最优码字fo为：

式中，fv,o和fh,o分别是垂直方向和水平方向上选出的最优码字。则最优码字需满足：

由式(23)，有：

要选出最优码字，即令式(26)右边达到最大。将式(26)右边换一种形式，表达为：

最后得到最优码字fo=fv,o⊗fh,o。

4 仿真结果与分析

通过仿真比较和验证反馈比特数确定的合理性以及所提预编码码字选择方案的性能。仿真环境在前面所述的FD-MIMO典型场景下，表1给出了系统仿真时的参数设定。

表1 系统仿真参数设定

为了验证确定反馈比特数式(14)的合理性，图3给出了各天线反馈比特数与归一化增益关系曲线。对于各组天线，归一化增益均随反馈比特数的增加而增大，且均有先迅速增大后慢慢变缓的趋势。对于天线数Mv×Mh为4×4的天线，当反馈比特数小于4时，随反馈比特数的增加，归一化增益的增幅很大，而当反馈比特数继续增加时，归一化增益的上升趋势并不是很明显，因此综合反馈开销成本以及系统性能，此时垂直或水平方向上的反馈比特数选择为4。同样的，当天线数为6×6和8×8时，反馈比特数小于5时的归一化增益增幅十分明显，大于5时就变得缓慢。对于8×8、10×10的天线，反馈比特数小于6时的归一化增益上升趋势较大于6时要明显许多。因此，将上述各天线的垂直(水平)方向反馈比特数设定成式(14)确定的4、5、5、6、6是合理可行的。

图4和图5所示的两条曲线分别是应用文献[12]的原有方法与本文所提方法的系统误码率和吞吐量曲线。图4中，发送天线设定为4×4，垂直(水平)方向反馈比特数由本文确定反馈比特数的公式得出，设定为4。可以看到，本文方法的误码率性能优于文献[12]的方法，特别地，在高信噪比环境下，本文方法性能提升近2 dB。图5中，对应于各天线，两种方法垂直(水平)方向反馈比特数均分别设定为4、5、5、6、6。可以看出，对于各天线数，本文方法的系统吞吐量均高于文献[12]的方法。因此本文提出的方法优于原有方法，具有更优性能。

5 结 束 语

本文研究了FD-MIMO有限反馈系统中，预编码码字的量化选择方案以及反馈开销的确定。首先在给出的FD-MIMO系统典型信道环境中，采用基于DFT码本的Kronecker积码本构造方案，将信道重排列并进行奇异值分解，利用前两个大的奇异值所对应的奇异向量分别对垂直和水平两个辐射路径进行量化，即利用行列式准则进行码字选择，给出并解释了合理确定反馈比特数的公式。仿真结果表明，本文提出的反馈比特数确定的方法合理可行，利用行列式选码方案，能够更充分地反映信道特征信息，在相同反馈比特数目下，系统的性能较已有结果有较好地提升。