捕捉数学活因子 提升经验积累力

夏常明

[摘 要]数学经验积累力是指把数学学科知识纳入学生个人数学经验系统的能力，是衡量学生数学素养的重要标准。数学经验积累力的发展，离不开前延、冲突、联结三个活因子。数学经验积累力立足于学生数学活动，捕捉前延、冲突、联结活因子，不断发展完善。学生在不断优化完善数学经验积累力的同时，其数学基本活动经验也不断获得优质发展。

[关键词]数学活动;活因子;经验积累力

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）35-0041-03

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，同时指出“数学课堂教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，积累数学基本活动经验”。

数学经验积累力是指把数学学科知识纳入学生个人数学经验系统的能力，是衡量学生数学素养的重要标准。这里的数学经验积累力，不仅包含总量（即学生数学基本活动经验的宽广程度），也包含质量（即学生数学基本活动经验的积累效率），更重要的是增量（即学生数学基本活动经验的创新程度以及把数学基本活动经验转化为数学素养的程度）。数学经验积累力的发展，离不开前延、冲突、联结三个活因子。前延是一切数学活动的基础，它能发掘经验积累力，保证数学基本活动经验前行;冲突是数学活动的资源，能够把数学活动引入深处，发展经验积累力，提升数学经验的品质;联结则赋予了数学基本活动经验预设性和假定性的意义，完善经验积累力，让数学基本活动经验充满活力。

一、捕捉前延活因子，发掘经验积累力

杜威曾经指出：真正的经验是具有连续性的。每一种数学经验都建立在已有经验之上，同时又以某种方式纳入和改變着原有经验的性质。数学课程标准指出：数学教学活动必须建立在学生已有的经验基础之上。需要指出的是，小学生数学经验的前延不仅包括数学结构性知识，还包括数学程序性知识，更是包括大量的生活经验。这些数学经验的前延是零散的、模糊的、感性的，更有甚者是毫无科学道理的，但这些前延都是学生个性化的感性经验，是积累数学经验的活因子。为此，在设计数学教学活动之前，教师要准确捕捉学生已有数学经验的前延活因子，并根据其特点灵活选择恰当的活动形式，高效激活学生的数学思维，发掘学生数学基本活动经验积累力。

例如，苏教版教材五年级下册“圆”第一课时时展示了几种不同的画圆方法。

第一种，圆规画圆。学生通过自主操作尝试，都能够熟练掌握。

第二种，器具画圆。找到圆形器具，用一只手压住，另一只手用笔描边画圆。

第三种，绳子画圆。绳子一端系在铅笔上，另一端固定在中心点上，以其为圆心，拉直绳子作半径，旋转绳一周即可画圆。

第四种，转圈画圆。教师手拿带勺子的竹竿，舀上石灰，以自己的脚为中心，原地转圈。

除了第一种方法外，教材均是以静态的方式呈现出其余三种方法，学生很难感受。教师用课件的方式动态展示四种画圆的方法，让学生观察、比较：不同的画圆方法，有什么相同之处？学生通过观察、比较，很容易得出：都有一个中心点和固定长度，即圆心和半径。

师：画圆的时候要注意什么？

生1：中心点位置不能偏，偏了就画不圆了。

生2：固定长度的距离要保持好，不能忽长忽短。

师：中心点是圆心，固定长度是圆的半径。关于圆心和半径，你还有哪些认识？

生3：圆心能够确定圆的位置，因为这些圆的位置都是由圆心决定的。

生4：在同一个圆内，半径的长度都是相等的。可以从不同画圆的方法中看出来。

生5：在不同的圆内，半径的长度是不相等的。

……

动手操作是学生认识图形、探索与图形有关知识的一个重要方法和途径。课中，教师让学生动手画圆，在画圆过程中认识圆的相关特征。其中，器具画圆、绳子画圆、转圈画圆是学生日常生活中经常见到或使用过的方法，这些都是学生关于画圆经验的前延因子。生动熟悉的生活素材与生活情境和自己的亲身经历可以使数学由抽象变得具体，激发学生的学习兴趣。学生通过画圆操作，不仅掌握了画圆的技巧，还发现了圆的相关特征。教师巧妙利用课件，动态展示了画圆的方法，捕捉了前延活因子，极大地调动了学生的学习积极性，有力地促进了学生主动思考。

二、捕捉冲突活因子，发展经验积累力

奥苏伯尔在有意义学习观点中指出：在新知识的学习中，认知结构中原有经验起决定作用，这种原有的知识经验对新知识起固定作用。学生必须积极主动地使这种具有潜在意义的新知识与认知结构中的旧知识发生相互作用。课程标准指出，学生课堂学习的过程，是自主建构新知的过程，是学生与课堂诸因素之间相互作用的过程。在这个过程中，冲突是有意义的学习所必不可少的。不同学生个体年龄大小、心理特征、认知结构等方面存在差异，即使面对相同知识，不同学生仍然会积累不同的活动经验，甚至是前后冲突的经验。如果出现冲突经验，学生自身经验系统就处于一种失衡状态，冲突此时成为“因子”。在小学数学学习活动中，教师要善于把学生数学经验冲突当成资源，从外在的表现形式入手，展现学生的思维过程，从而把学习活动引入深处，逐步发展学生数学基本活动经验积累力。

例如，在教学“小数除以小数”时，让学生上黑板板演“7.98÷4.2”。

第一位学生算出0.19。算理：4.2的小数点向右移动一位，用7.98除以42，所得到的结果就是0.19。

第二位学生算得19。算理：4.2的小数点移动到最右边，7.98的小数点也移动到最右边（很显然，他忘了应该是移动相同位数）。

第三位学生算得1.9。算理：4.2的小数点向右移动一位，7.98的小数点也跟着向右移动一位。

师：对于上述几种不同的计算方法，你有什么发现吗？

生1：第一位同学把除数小数点向右移动了一位，而被除数没有变化。

生2：第二位同学把除数小数点向右移动了一位，却把被除数的小数点向右移动了两位。

……

可误主义数学观下，数学经验在“批判—认同”的建构中创新。学生主体同时建立和构造关于新经验认知结构的过程。既要建立对新知识的理解，将新知识与已有经验建立联系，又要将新知识与原有认知结构结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。学生在尝试解决小数除以小数的问题之前，已经积累了小数乘以小数、整数除以小数、小数除以整数等相关数学知识经验。这些未经提炼和优化的经验，很大一部分还处于一种因操作性和情境性太强而不能与之分离，或者停留于不能转化为结构表征的浅层次经验。当学生运用这些浅层次经验去解决问题时，必然会出现不科学、不严谨，甚至错误的结果，产生数学经验“冲突”因子。为此，教学中教师需要及时引导学生回顾富含个人经历的数学活动，并进行讨论、反思、总结，以实现感性经验理性化，个人经验社会化，零散经验系统化。

三、捕捉联结活因子，完善经验积累力

数学基本活动经验分为静态和动态两方面。从静态上看，数学活动经验是知识;从动态上看，数学活动经验是过程。日常教学中，教师容易将数学经验客体化，将一切人类认识成果当作静态经验。本质上，数学基本活动经验是由经验生问题，通过知识与学生的相遇，实现经验意义的增加。其中，联结起到了关键作用。联结是心理原理的一个重要概念，在这里，联结赋予了数学基本活动经验预设性和假定性的意义，通过学生感受与理解、归纳与抽象、感悟与升华、体验与反思等活动，经验具有了活力，变得鲜活，情感和思想有了联结，从而得出了新的数学基本活动经验。需要指出的是，学生新的数学基本活动经验不一定是科学的，也不一定是正确的，但是已触及了经验的内在联结。也许学生并不清楚这种内在联结，也不能清楚地表达这种内在联结，但是学生是能感受到这种内在联结的。

例如，教学苏教版教材五年级上册“平行四边形的面积”时，出示例1中的一组图形。

有的学生采用数格子的方法，有的学生把不规则的图形转化成长方形这一规则图形。

师：比较这两个图形的面积时，是数方格方便，还是转化后再比较方便？

师：把不熟悉的、较复杂的图形转化成熟悉的、简单的图形，是计算图形面积的一种常用方法。

师：你能想办法求出平行四边形的面积吗？

（学生演示各种剪拼方法）

师：这些方法各不相同，方法之间有相同的地方吗？

生：它们都是沿着平行四边形的一条高剪开的。

师：所有的平行四边形都能用刚才的方法转化成长方形吗？

……

上述平行四边形的面积计算教学分两个层次进行。第一层次，要求学生判断例1两个图形的面积是否相等，引导学生在动手操作中体会到：不规则图形可以转化成规则图形，割补、平移是实现转化的基本方法。同时让学生明确，转化前后的图形的形状虽然发生了变化，但是面积是不变的，为学习平行四边形面积计算做好准备。第二个层次，首先要求学生独立动手操作，完整经历把平行四边形转化成长方形的过程;其次，展示学生独立剪、拼的成果，引导学生观察和比较，建立初步猜想。学生在剪拼活动中的操作是有个性特征的，在拼的过程中获得的经验又是多样的。通过引导学生对比不同的剪拼方法，发现共同特征：沿着平行四边形的一条高把它剪成两个部分。最后，组织学生参与平行四边形面积公式的推导活动。对于转化前后两个图形面积以及相关边长的对应联结，学生在活动已经有了感知，并且在平行四边形面积公式的推导过程中数学经验积累力得到了很好发展。

学生在实际操作、主动猜想、观察比较和推理抽象的过程中发现了各种图形之间的内在联系，并且进一步合乎逻辑的推理抽象出平行四边形面积公式。这样的教学安排，不仅让学生充分经历了平行四边形面积公式的推导过程，使学生积累数学活动经验，还让学生充分经历了由建立猜想到验证猜想，获得正确结论的过程，同时感受到数学经验之间的内在联结。

综上可知，教师在观察的基础上，从简单问题入手，让学生经历猜想和发现的过程，不断尝试和反思，进而建构一定的数学直观感知和判断能力，从而提升学生的数学经验积累力。数学经验积累力的提升并不是一两次感性直观行动就能完成的，也不是简单的理性模式，而是要多捕捉数学学习活动中的活因子。数学源于生活，但不等同于生活。教师必须充分利用学生的原有经验，从中捕捉数学活因子，设计生动有趣、直观形象的数学活动，让学生在生动具体的情境中提升数学经验积累力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法，2011（6）.

[3] 杜威.经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4] 张鑫.波普尔知识增长四段图式理论的思考[J].广西民族师范学院学报，2010（6）.

[5] 皮亚杰，英海尔德.儿童心理学[M].北京：商务印书馆，1980.

【本文系江蘇省教育科学“十二五”规划立项课题“小学生数学基本活动经验‘积累力提升策略的研究”的阶段研究成果之一。】

（责编 黄春香）