声学超表面抑制第一模态研究

赵瑞 严昊 席柯 温志湧

摘要：以声学超表面为研究对象，采用线性稳定性理论，研究了声学超表面导纳幅值与相位对超声速边界层内第一模态的影响。研究结果表明，当导纳相位θ接近0.5π时，第一模态趋于稳定；与此同时，在一定范围内导纳幅值的增大能够增强第一模态的稳定性，但超出该范围后幅值的增大会激发第一模态。在此基础上，采用反向设计的思想，通过对声学超表面微结构的几何尺寸进行优化设计，实现其在马赫数为4的平板边界层流动中抑制第一模态的目标。

关键词：声学超表面；第一模态；线性稳定性分析；边界层转捩；超声速流动

中图分类号：O354.5文献标识码：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.11.013

基金项目：国家自然科学基金（11872116，11991030，11991033）

层流和湍流流动在壁面摩擦阻力、噪声和气动加热等方面有巨大差别[1-3]。湍流区气动加热远大于层流区，而热流峰值一般出现在流动转捩区，高超声速时可达层流热载荷的三倍[4]，因而需配置额外的热防护系统、采用主动冷却技术或进行弹道调整，但会造成高超飞行器成本与重量的增加[5]。层流到湍流的转捩过程与环境扰动密切相关[6]，一般来说，高超声速飞行器使用尖前缘和尽量光滑的蒙皮表面可以抑制由于粗糙元引起的旁路转捩以及横流不稳定性，但无法抑制由于第一模态或Mack第二模态诱发的转捩。低马赫数时，第一模态是转捩的主要诱因，随着马赫数的增加，Mack第二模态逐渐占据主导地位[7-8]。

为了降低飞行阻力，增加有效载荷比，有效抑制转捩成为国内外高超领域的研究热点。声学超表面对飞行器流场影响较小，同时能够明显抑制Mack第二模态，且其结构可与热防护系统进行一体化设计，因此受到国内外广泛关注[9-11]。Mack第二模态被认为是一种声学扰动模态。声学超表面通过设计表面微结构几何尺寸和排布方式，实现特定的声学特性（如吸声、近零阻抗、可控反射方向等），从而抑制或破坏Mack第二模态的增长或传播。Malmuth等[12]最先提出可以使用超声波吸收表面（吸声型声学超表面的一种，通过孔/缝内黏性耗散声波能量，达到抑制转捩的目的）来稳定Mack第二模态，并在加州理工学院的风洞试验中得到证实[13]。国内赵瑞等[14]给出了计及相邻孔间干扰的二维缝隙超表面阻抗模型，优化设计了吸声型超表面，并提出可抑制Mack第二模态的近零阻抗型超表面[15]。近零阻抗型超表面使反射声波的相位与入射波的相位在壁面处相反，声压相互抵消，破坏了Mack第二模态传播机制，从而抑制转捩。此外，国内朱德华等[15]采用线性稳定性理论与直接数值模拟相结合的方式，研究了不同孔隙排列情形对Mack第二模态的影响，并指出顺排多孔表面推迟高超声速边界层转捩的能力更强。涂国华等[16]采用时间模式的直接数值模拟对马赫数6的平板边界层进行研究，在较广的参数范围内考察了微圆孔超表面的开孔率和孔半径对Mack第二模态扰动波幅值增长率的影响，得到了最优开孔率和孔半径沿流向的分布。李闯和董明[17]采用直接数值模拟方法研究了局部矩形凹槽对马赫数6的高超声速平板边界层中Mack第二模态扰动演化的影响，研究表明当孔深小于0.25时，凹槽深度增加，对不稳定模态的抑制作用增加；但更深的凹槽对不稳定波的抑制作用减弱。郭启龙等[18]采用二维数值模拟研究了微缝隙超表面对高超声速边界层Mack第二模态扰动增长的抑制作用，研究表明缝隙型超表面能在宽频范围内有效抑制Mack第二模态，且控制效果随着开槽率的增大而增强。朱文凯等[19-20]通过理论与试验研究表明，Mack第二模态在可渗透材料表面的增长速度更快，发展区域更大，但由于后期非线性干扰更弱，能够起到抑制转捩的作用。

然而，Fedorov等[21]研究表明，声学超表面会导致第一模态不稳定。Stephen等[22]研究了规则微结构的声学超表面对第一模态的影响，发现其能够激起非轴对称的扰动模态。Wang和Zhong[23]发现Mack第二模态的不稳定性与声学超表面的导纳相位有关。田旭东等[24]提出了一种反向设计方法，考虑在不激发第一模态的同时，有效抑制Mack第二模态所需的导纳相位与幅值。但是截至目前，如何使用超表面抑制第一模态的研究鲜有报道。

本文研究了声学超表面导纳幅值与相位对超声速边界层内第一模态的影响规律。采用反向设计的思路，通过优化设计超表面微结构几何参数，实现单频和宽频范围内抑制第一模态的目的。

1研究方法与模型

1.1线性稳定性理论

可压缩黏性流体高超声速或超声速边界层中的不稳定性问题可以使用线性稳定性理论分析[8，25-29]。可压缩黏性流体的Navies-Stocks方程为：

反向设计思路首先通过不稳定模态的无量纲角频率确定抑制该模态所需的导纳幅值和相位，再寻找满足上述条件的声学超表面结构参数。以下各节中将采用这种设计思路。

2.1第一模态单频抑制策略

2.1.1导纳对单频第一模态的影响

当扰动频率为80kHz时，x*在0～0.4m范围内对应的无量纲角频率为0～0.127。从图2中可以看出，该无量纲角频率范围对应第一模态。因此对单频抑制策略的研究，选择扰动频率为80kHz。图3研究了雷诺数Re为2358时（x*= 0.4m），在不同导纳幅值|A|下，导纳相位θ对第一模态和Mack第二模态增长率σ的影响。对于第一模态，当相位θ在π附近时，第一模态增长率增加；相位θ接近0.5π时，第一模态增长率减小。随着导纳幅值|A|的增加，第一模态出現的频率范围也在θ≈π处扩大。从图3（c）中可以看出，当|A| = 4时，第一模态和Mack第二模态在θ= 0.75π附近合并，并不利于超表面针对性设计。因此可以认为，当超表面相位θ接近0.5π，且幅值|A| < 4时，可以有效抑制第一模态。

進一步研究导纳相位θ与幅值|A|对第一模态的影响。如图4所示，在相位θ分别为0.5π和0.55π时，幅值对不同流向位置处第一模态的影响。图4表明，相位θ取0.5π和0.55π时，幅值|A|在一定范围内对第一模态都有抑制作用，但超过该范围，则会激发第一模态。随着流向位置x*增大，能够抑制第一模态的幅值|A|逐渐变小。显然，若使整个边界层内第一模态皆受抑制，应以x*=0.4m处抑制效果最佳的导纳幅值作为设计的上限，此处无量纲角频率亦为最大值。此外，图4（a）和图4（b）两者相较，相位θ=0.5π时，抑制效果更明显。

2.1.2反向设计

为抑制80kHz扰动频率激发的第一模态，导纳相位θ应接近0.5π，幅值|A|应尽量满足式（11）。本文在以下参数空间中通过数值求解式（9）来计算所需的导纳幅值与相位：0.1≤H*≤5mm，0.1≤Ar≤1.5，0.2≤n≤0.8。最终确定声学超表面所需的几何参数为：H*= 0.35235mm，n = 0.5246，Ar = 1.5；此时x*= 0.4m处导纳幅值和相位分别为2.7552和 0.5227π。

为了验证设计的声学超表面的性能，图6给出了扰动频率为80kHz的第一模态增长率。如图6所示，在80kHz下，经过设计的声学超表面使第一模态的增长率在流向各位置处都有所降低。

2.2第一模态宽频抑制策略

2.2.1导纳对宽频第一模态的影响

2.1.1节内已通过图3说明了导纳相位θ接近0.5π时，在宽频内可以降低第一模态的增长率。为了考虑对宽频内第一模态的抑制效果，需以沿流向各位置不同频率对应的增长率的最大值为参照来研究导纳相位和幅值对第一模态的抑制效果，并且在宽频对应的无量纲角频率范围内均需满足抑制条件。图7（a）和图7（b）为导纳相位θ= 0.5π时，在不同的导纳幅值|A|下的第一模态的最大增长率及其相应的角频率关系，幅值|A|沿箭头方向从0增长到2，步长为0.2。从图7（a）可以看出，随着导纳幅值|A|的增加，第一模态的最大增长率逐步降低。图7（b）表明，当导纳幅值|A|在一定范围内增加时，第一模态最大增长率对应的角频率无明显变化；当雷诺数Re较大时，无量纲角频率约为0.064。

2.2.2反向设计

从图2中可以看出，第一模态对应的无量纲角频率范围为0～0.12。根据上文对于单频第一模态的研究，无量纲角频率最大值占主导地位，即在ω=0.12时能满足抑制条件，则ω在0～0.12范围内均能满足抑制条件。因此，为抑制宽频第一模态，在设计过程中无量纲角频率取其中最大值，即0.12，导纳相位θ应接近0.5π，为避免模态融合导致的不稳定，幅值|A|的取值范围为0～2。

图8给出了宽频设计的声学超表面的导纳相位和幅值的云图。图8（a）表明，当ω在0～0.12范围内时，导纳相位θ接近0.5π，导纳幅值|A|在0～2范围内。因此设计的声学超表面满足抑制第一模态的要求。

为验证设计的声学超表面的性能，对不同频率下的第一模态增长率进行了计算，如图9所示。在不同扰动频率下，第一模态的增长率在各位置处都有所降低。通过反向设计得到的声学超表面可以降低第一模态的不稳定性。

3结论

本文使用线性稳定性理论分析了声学超表面对超声速边界层中第一模态的影响规律。研究表明，当导纳相位θ接近0.5π时，第一模态趋于稳定；在一定范围内增大导纳幅值能够增强第一模态的稳定性，但超出该范围幅值的增大会激发第一模态。以扰动频率80kHz为例，导纳相位在0.5π～0.55π范围内可以抑制第一模态：当导纳相位取0.5π时，幅值在0～5.22范围内对第一模态有抑制作用；当导纳相位取0.55π时，幅值取0～1.81对第一模态都有抑制效果；并拟合了抑制效果最佳的幅值与相位之间的关系。对于抑制宽频第一模态，当导纳相位取0.5π，导纳幅值|A|在0～2内增加时，第一模态的最大增长率逐步降低。运用反向设计的思想，优化设计了缝隙型声学超表面以抑制80kHz下的第一模态，可使最大增长率减小32.14%；又设计了孔宽和孔深逐渐增加的缝隙型声学超表面，在一定频率范围内，流向各位置处第一模态增长率均有所降低。

不同来流工况下声学超表面导纳对第一/Mack第二模态的影响不尽相同。在后续工作中，将进一步研究以上策略在不同工况中的运用，也将在此基础上，使用eN方法预测声学超表面对边界层转捩的影响，进一步研究声学超表面的工程应用价值。

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（責任编辑王昕）

作者简介

赵瑞（1987-）男，博士，副教授。主要研究方向：高超声速气体动力学、计算流体力学。

Tel：15801555304

E-mail：zr@bit.edu.cn

严昊（1996-）女，学士。主要研究方向：高超声速气体动力学、计算流体力学。

Tel：13382392100E-mail：3220180057@bit.edu.cn

席柯（1986-）男，博士，副研究员。主要研究方向：高超声速气体动力学、计算流体力学。

Tel：13401084423

E-mail：cauchy86@163.com

温志湧（1964-）男，博士，教授。主要研究方向：高超声速气体动力学，计算流体力学。

Tel：852-27666644

E-mail：chihyung.wen@polyu.edu.hk

Research on Acoustic Metasurfaces for the Suppression of the First Mode

Zhao Rui1，*，Yan Hao1，Xi Ke2，Wen Zhiyong3

1. Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China

2. Research Institute of Navigation and Control Technology，Beijing 100089，China 3. The Hong Kong Polytechnic University，Kowloon 999077，China

Abstract： Taking the acoustic metasurfaces as the research object， the influence of the admittance amplitude and phase on the first mode in a high-speed boundary layer are analyzed using linear stability theory. It showns that the first mode is damped when the admittance phaseθtends to 0.5π. Meanwhile， the increase of amplitude in a certain range can enhance the stability of the first mode， while amplitude out of the range may amplify the first mode. Based on the requirements of the admittance phase and amplitude for the suppression of the first mode， the reverse design strategy is used for the structural design of the acoustic metasurfaces to satisfy the target which stabilizes the first mode on the flat plate boundary layer with the freestream Mach number 4.

Key Words： acoustic metasurfaces； first mode； linear stability analysis； boundary-layer transition； supersonic flow