含粲四夸克态的夸克势模型研究

李京川

摘  要：从x（3872）被发现以来，物理学家对含粲共振态产生了浓厚的兴趣，组分夸克模型对传统的两夸克组成的介子和三夸克组成的重子能谱解释得十分到位。文章以变分法解四夸克体系的薛定谔方程用以解释含粲共振态质量，主要是用谐振子波函数展开四夸克波函数的空间部分，通过四体Moshinsky变换等方式得到任意两个夸克的相互作用。

关键词：夸克势模型;四体系统;谐振子

中图分类号：O572         文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）03-0010-02

Abstract： Since the discovery of X （3872）， physicists have developed a strong interest in the resonance with charm. The component quark model has a very good explanation for the energy spectrum of baryons composed of two quarks and three quarks. In this paper， the Schrodinger equation of the four quark system is solved by the variational method to explain the mass of the four quark system with charm. The main way is to expand the space part of the four quark wave function by the harmonic wave function. The interaction of any two quarks is obtained by the four body Moshinsky transformation.

Keywords： quark potential model; four body system; harmonic oscillator

广泛被人接受的是，物理学家们认为强子有两大类，即由两夸克构成的介子，以及三夸克构成的重子。在以量子色动力学[1]为基础的夸克势模型的框架下，很多强子的质量已经成功地被计算了出来，强子内部夸克间的势由短程区域起主要作用的单胶子交换势和长程区域起主要作用禁闭势构成，其中禁闭势是唯像的给出，量子色动力学要求：（1）色禁闭，由带颜色的夸克构成的强子其整体对外必须是处于色单态的，即整体不显颜色。（2）在短程区域，QCD相互作用是渐进自由的，跑动耦合常数在大动量转移时大小接近于零，即夸克之间自由运动。（3）守征对称性自发破缺，流夸克获得动力学质量变为组分夸克。

量子色动力学并没有排除由两个夸克和两个反夸克构成的四夸克态。自从x（3872）[2]等含粲共振态被发现以来，物理学家尝试用组分夸克模型解释它们。常见的比如有，解释为粲偶素的激发态，分子态，四夸克态[3]等等。粲偶素的激发态指的是将其看做两夸克组成的介子，分子态指的是两组夸克反夸克组成色单态后再整体呈色单态，四夸克态有三种情况：其一，夸克夸克构成的反三重态再与反夸克反夸克构成的三重态共同构成色单态;其二，夸克夸克构成的六重态再与反夸克反夸克构成的反六重态共同构成色单态;其三，两对夸克反夸克构成色八重态后再整体呈色单态。

夸克间的哈密顿量为：

势能部分为单胶子交换势和标量禁闭势和矢量禁闭势。

单胶子交换势为：

标量禁闭势为：

矢量禁闭势为：

其色波函数可以用杨图表示为（见图1）

图1

相应的群表示为

其刚好为颜色算符的本征态

以及

得到其本征值。

但对于颜色算符4等，色波函数就不是其本征态，我们需要利用

得到其本征态，进而得到颜色矩阵元。

对于其自旋空间部分

这里s12，s34代表一二粒子以及三四粒子的自旋，S代表总自旋。？籽代表一二粒子相对坐标，？姿代表三四粒子的相对坐标。K代表一二粒子以及三四粒子的质心的相对坐标。l？籽？姿代表前两个谐振子角动量的矢量和，lk代表第三个谐振子的角动量。波函数为算符的本征态，可以直接作用。

但对于

对自旋部分可以根据不可约张量算符进行运算，但空间部分需要在另一组谐振子坐标下展开

这里下标？籽？籽代表一三粒子的相对坐标，？姿？姿代表二四粒子的相對坐标，v（r13）就方便运算了。

参考文献：

[1]D. J. Gross and F. Wilkes， Phys. Rev. Lett. 1973， 30， 1343.

[2]D. E. Acosta，et al.， [CDF II Collaboration]， Phys. Rev. Lett.， 2004，93： 072001.

[3]H. HΦgaasen， J.-M. Richard， and P. Scorba， Phys. Rev. D， 2006，73： 054013.