基于GPIO的磁悬浮系统的输出反馈抗干扰控制

穆静静，兰奇逊，李秋红，李亚楠

(河南城建学院 数理学院，河南 平顶山 467036)

磁悬浮是通过电磁力作用于物体使其克服自身重力保持悬浮的一种新技术。由于磁悬浮技术不仅具有无接触、功耗低、输出大、污染少等优点，而且能有效地延长机械设备使用寿命，降低能量损耗，适用于真空、高温等特殊环境。因此，磁悬浮技术得到了更广泛地关注和应用，如磁悬浮列车、高速磁悬浮电机、磁悬浮轴承等。在磁悬浮系统结构中，最主要的环节是控制器，而控制器的效率主要受控制技术的影响。因此，近年来较多控制方法被应用到磁悬浮系统的抗干扰控制中[1]，建立了液浮陀螺仪浮子有源磁悬浮控制模型，并对各个结构参数进行了鲁棒性分析研究,设计了满足系统动态性能和鲁棒稳定性要求的H∞控制器，提高了系统的抗干扰能力与动态性能[2]；考虑到磁悬浮系统质量和空气间隙大范围变化对系统的影响，设计了动态输出反馈鲁棒控制器，克服了非线性反馈线性化和滑模控制需要空气间隙变化速度信息的缺点，降低了复杂性，提高了系统性能[3]；将RBF-ARX模型的LQR控制器技术应用于磁悬浮系统，设计了基于物理模型的LQR控制器，并运用仿真实验验证了所给控制算法的有效性[4]；提出了一种指数趋近滑模控制方法，使磁悬浮球系统在小偏差范围内的给定位置上具有良好的跟踪性能[5]；将PRL-SMC控制算法用于磁悬浮列车的控制系统，并提出改进型的DPRL-I-SMC控制算法，得到了较好的控制效果。

上述结果虽然都从不同程度上提高了磁悬浮系统的抗干扰能力，但都建立在抑制干扰而不是补偿或抵消干扰的基础上，属于被动抗干扰控制方法。因此开展磁悬浮系统的主动抗干扰控制研究具有重要意义和价值。目前，关于磁悬浮系统的输出反馈抗干扰控制研究并不多见。在系统只有部分状态已知的情况下，为了提升系统抗干扰性能，论文以一类磁悬浮系统为研究对象，利用广义比例积分观测器技术，给出了系统的一种输出反馈抗干扰控制器的设计方法。同时，对系统的稳定性进行了分析，仿真结果表明在所给控制器下系统输出可以跟踪上期望的参考轨迹。

1 磁悬浮系统模型

基于牛顿运动定律，磁悬浮系统的模型可以描述为以下系统[6-9]：

(1)

模型中，m是悬浮球的质量，g是重力加速度，Fd是外部负载干扰，c是摩擦系数，磁控力模型可以用式(2)表示：

(2)

其中，i是输入电流，z是从电磁体的底部到球顶部的距离，a和b是由磁芯、钢球和线圈的特性确定的常数。

(3)

为了达到控制目的，一些温和的假设如下：

假设2：标称非线性函数是已知的，即

(4)

其中，m0,a0和b0分别是m,a和b的标称值。

(5)

下面利用输出反馈占优技术和GPIO研究不确定系统(5)的鲁棒稳定问题,本文控制器的设计思路如图1所示。

图1 输出反馈控制器的设计框图

2 基于GPIO的控制器设计

2.1 基于GPIO的鲁棒控制器设计

为了实现系统(5)的输出反馈抗干扰控制，需要做以下假设：

假设3：干扰满足以下两个条件：

(1)d∈Cp；

(2)存在一个常数θ，满足|d(p)|≤θ。

根据假设3，我们定义以下辅助变量：

(6)

不确定系统(5)可以扩展为以下形式：

(7)

系统(7)可以写为以下矩阵形式：

(8)

对于系统(8)，做以下坐标变换

(9)

其中L≥1是比例增益，将在以后确定。

(10)

2.2 基于GPIO的输出反馈抗干扰控制器设计

可以用以下形式构造系统(8)的GPIO[8,10]

(11)

其中H=[h1,…,hp+2]T是Hurwitz多项式p(s)=sp+2+hp+2sp+1+…+h2s+h1的系数。

在提供的GPIO(11)下，基于GPIO的输出反馈抗干扰控制器可以表示为

(12)

式(12)中，k1，k2是常数。

3 稳定性分析

(13)

通过系统(10)的第一个2阶子系统和(13)的系统：

(14)

令K1=[k1k2]，则在控制器(12)下，系统(14)的闭环系统可以写成

(15)

从上面的分析可以很容易地证明A1-B1K1和A-HC是Hurwitz矩阵。因此，不难证明矩阵：

(16)

根据理论分析，可以得到定理1。

定理1：假设1～假设3成立，在输出反馈抗干扰控制器(12)下，闭环系统(15)的状态将全局有界，并将收敛到有界区域。

证明：对于闭环系统(15)，选择Lyapunov函数

V(Z)=ZTPZ

(17)

(18)

由于L>1，则可以从假设1得出

(19)

和

(20)

借助于不等式(19)和式(20)，可以证明存在一个常数c>0，则：

结合式(18)得出

(21)

(22)

通过选择

L≥max{(2c+1)λmax(P),1}

(23)

从等式(22)得出

(24)

从不等式(24)可以得出结论，闭环系统(14)的所有状态将全局稳定到有界区域B。从等式(14)中可以明显看出当t→∞时，θ→0，然后在提出的输出反馈抗干扰控制器(12)下，不确定系统(5)的所有状态将以指数收敛至原点。

推论1：考虑不确定非线性系统(5)，如果假设1～假设3成立，则在输出反馈抗干扰控制器(12)下，闭环系统是全局指数稳定的。

注：在系统(5)中，假定集总扰动d(t)由固定的泰勒多项式建模p-1项，带一个剩余项[9-10]。该模型可用于描述各种干扰，例如恒定干扰，多项式干扰等。根据设计的GPIO，将获得模糊估计p。据观察，当p=1时，GPIO将被退化为扩张状态观测器。

4 仿真研究与分析

为验证输出反馈控制器(12)的有效性，进行以下仿真实验。磁悬浮系统的参数设为[11]：m0=0.3 kg,a0=0.1,b0=5.8,g=9.8 m/s2。

同时，为了表明所提出的控制方法的有效性，假设所需的位置轨迹为：

为了说明所提出的控制方法的抗干扰能力和鲁棒性，假设MLS所受的外部干扰为，

这里设参数m=0.32 kg,a=0.09,b=6.0，和c/m=4.5。

通过选择以下控制参数进行仿真：k1=1,k2=2,h1=24,h2=216,h3=864,h4=1 296，L=10，仿真结果如图2～图5所示。

图2显示了输出反馈控制器(12)能够把磁悬浮系统的输出转向所需的位置。从图3、图4可以看出，系统的状态和集总扰动都可以得到有效的估计。图5给出了所需的电流响应。

图2 实际位置和期望位置

图3 跟踪误差及其估计值

图4 集总干扰及其估值

图5 电流信号的响应

5 结论

仿真结果表明，对于磁悬浮系统(1)，在本文所设计的输出反馈抗干扰控制器下，系统的输出信号可以快速地跟踪上期望的轨迹，说明了控制器的可行性和合理性，同时也印证了理论分析的正确性。仿真结果显示出系统的状态和集总干扰得到了有效的估计，说明控制效果良好，达到了抗干扰的目的。